Soal Dan Balasan Memilih Koefisien Suku Banyak

1. Suku banyak (2x³ + 5x² + ax + b) dibagi oleh (x + 1) sisanya 1 dan kalau dibagi oleh (x - 2) sisanya 43. Nilai dari a + b sama dengan ...
   A. 13
   B. 10
   C. 8
   D. 7
   E. 4
   
   
   Pembahasan
   Suku banyak f(x) dibagi oleh (x + 1) sisa 1 maka f(-1) = 1
   f(x) = 2x³ + 5x² + ax + b
   ⇒ 2(-1)³ + 5(-1)² + a(-1) + b = 1
   ⇒ -2 + 5 - a + b = 1
   ⇒ - a + b = -2
   
   Suku banyak f(x) dibagi oleh (x - 2) sisa 43 maka f(2) = 43
   f(x) = 2x³ + 5x² + ax + b
   ⇒ 2(2)³ + 5(2)² + a(2) + b = 43
   ⇒ 16 + 20 + 2a + b = 43
   ⇒ 2a + b = 7
   Nilai a dan b sanggup ditentukan dengan metode eliminasi atau seubstitusi.
   -a + b = -2 ---> b = -2 + a ---> substitusi ke persamaan 2a + b = 7
   ⇒ 2a + (-2 + a) = 7
   ⇒ 3a = 9
   ⇒ a = 3 maka b = -2 + 3 = 1
   Makara a + b = 3 + 1 = 4 ---> opsi E.
   
   


2. Diketahui suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ - 3x² + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x - 1) sisa 11 dan dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a + b) ialah ...
   A. 18
   B. 10
   C. 8
   D. 6
   E. 4
   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa diperoleh :
   Dibagi dengan (x - 1) sisa 11 maka P(1) = 11
   ⇒ P(1) = 2(1)⁴ + a(1)³ - 3(1)² + 5(1) + b = 11
   ⇒ 2 + a - 3 + 5 + b = 11
   ⇒ a + b = 11 - 4
   ⇒ a + b = 7
   
   Dibagi dengan (x + 1) sia -1 maka P(-1) = -1
   ⇒ P(-1) = 2(-1)⁴ + a(-1)³ - 3(-1)² + 5(-1) + b = -1
   ⇒ 2 - a - 3 - 5 + b = -1
   ⇒ -a + b = -1 + 6
   ⇒ -a + b = 5
   
   melaluiataubersamaini metode substitusi diperoleh nilai a dan b.
   a + b = 7 → b = 7 - a → substitusi ke -a + b = 5
   ⇒ -a + b = 5
   ⇒ -a + (7 - a) = 5
   ⇒ -2a = 5 - 7
   ⇒ a = 1
   
   alasannya a = 1, maka b ialah :
   ⇒ b = 7 - a
   ⇒ b = 7 - 1 = 6
   
   Makara nilai 2a + b = 2(1) + 6 = 8 ---> opsi C.
   
   


3. Suku banyak f(x) = x³ + ax² - bx - 5 dibagi (x - 2) mempersembahkan hasil bagi x² + 4x + 11 dan sisa 17. Nilai a + b sama dengan ...
   A. -1
   B. 0
   C. 1
   D. 2
   E. 3
   
   Pembahasan
   Dibagi dengan (x - 2) sisa 17 maka :
   f(x) = H(x) . P(x) + S(x)
   ⇒ f(x) = (x - 2) (x² + 4x + 11) + 17
   ⇒ f(x) = x³ + 4x² + 11x - 2x² - 8x - 22 + 17
   ⇒ f(x) = x³ + 2x² + 3x - 5
   ⇒ x³ + ax² - bx - 5 = x³ + 2x² + 3x - 5
   Dari persamaan di atas diperoleh a = 2, dan b = -3.
   Makara a + b = 2 + (-3) = -1 ---> opsi A.
   
   


4. Jika x³ - 1 = (x - 2)(x - 3)(x + a) + bx + c maka nilai dari b - c ialah ...
   A. 50
   B. 24
   C. 18
   D. 15
   E. -4
   
   Pembahasan
   x³ - 1 = (x - 2)(x - 3)(x + a) + bx + c
   ⇒ x³ - 1 = (x² -5x + 6)(x + a) + bx + c
   ⇒ x³ - 1 = x³ - 5x² + 6x  + ax² -5ax + 6a + bx + c
   ⇒ x³ - 1 = x³ - (5 - a)x² + (6 -5a + b)x + 6a + c
   Karena di sebelah kiri tidak ada pangkat kuadrat, maka -(5 - a)x² = 0.
   ⇒ -5 + a = 0
   ⇒ a = 5
   Karena di sebelah kiri juga tidak ada variabel x derajat satu, maka :
   6 - 5a + b = 0
   ⇒ -5a + b = -6
   ⇒ -5(5) + b = -6
   ⇒ -25 + b = -6
   ⇒ b = 19
   Selanjutnya, dari persamaan yang diwarnai biru, diperoleh :
   6a + c = -1
   ⇒ 6(5) + c = -1
   ⇒ c = -31
   
   Makara nilai b - c = 19 - (-31) = 50 ---> ospi A.
   
   


5. Suku banyak x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 5 kalau dibagi oleh (x - 2) bersisa 7, sedangkan kalau suku banyak tersebut dibagi (x + 3) sisanya sama dengan 182. Nilai dari a² - 4ab +  4b² ialah ...
   A. 25
   B. 20
   C. 15
   D. 10
   E. 8
   
   

   

   
   Pembahasan 
   Dibagi oleh (x - 2) sisa 7 maka f(2) = 7
   f(x) = x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 5
   ⇒ 2⁴ + a(2)³ + 2(2)² + b(2) + 5 = 7
   ⇒ 16 + 8a + 8 + 2b + 5 = 7
   ⇒ 8a + 2b = -22
   ⇒ 4a + b = -11
   
   Dibagi oleh (x + 3) sisa 182 maka f(-3) = 182
   ⇒ (-3)⁴ + a(-3)³ + 2(-3)² + b(-3) + 5 = 182
   ⇒ 81 - 27a + 18 - 3b + 5 = 182
   ⇒ -27a  - 3b = 78
   ⇒ 9a + b = -26
   
   Nilai a dan b sanggup dihitung dengan metode eliminasi ataupun substitusi.
   Dari 4a + b = -11 ---> b = -11 - 4a ---> substitusi ke 9a + b = -26
   ⇒ 9a + (-11 - 4a) = -26
   ⇒ 5a = -15
   ⇒ a = -3, maka b = -11 - 4(-3) = 1.
   jadi a² - 4ab +  4b²  = (-3)² - 4(-3)(1) +  4(1)² = 9 + 12 + 4 = 25 ---> opsi A.