Rumus Logika Matematika Dan Tabel Kebenaran

Logika matematika ialah salah satu bahan pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika. Secara matematis, logika sanggup dianalisis menurut nilai-nilai kebenaran. Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari ibarat kepolisian yang memakai logika matematika untuk menganalisis suatu kasus. Selain itu, logika matematika juga paling banyak diterapkan dalam ilmu komputer, filosofis, dan penarikan kesimpulan dalam pelajaran bahasa Indonesia. Dalam logika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, ingkaran atau negasi, kesetaraan sampai penarikan kesimpulan yang sah dari beberapa pernyataan atau keadaan.


Pernyatan-pernyataan Dalam Logika Matematika
Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan lalu disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :

1. Negasi
   Negasi atau ingkaran ialah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang " " yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan bumi ialah bundar maka negasinya ialah bumi tidak bulat.
2. Konjungsi
   Konjungsi ialah pernyataan beragam yang dihubungkan dengan kata hubung "dan" atau disimbolkan dengan "∧". Pernyataan konjungsi spesialuntuk akan bernilai benar kalau kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.
3. Dijungsi
   Disjungsi ialah pernyataan beragam yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" yang disimbolkan dengan "∨". Disjungsi ialah kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi spesialuntuk akan bernilai salah kalau kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.
4. Implikasi
   Implikasi ialah pernyataan beragam yang diawali dengan kata kalau dan dihubungkan dengan kata hubung "maka" yang disimbolkan dengan "→". Misal p → q dibaca kalau p maka q.
5. Biimplikasi
   Biimplikasi ialah bentuk kompleks dari implikasi yang berarti "jika dan spesialuntuk jika" dan disimbolkan dengan "↔". Misal p ↔ q dibaca p kalau dan spesialuntuk kalau q.
6. Konvers
   Konvers ialah kebalikan dari implikasi ditandai dengan pertukaran letak. Misal implikasi p → q, maka konversnya ialah q → p.
7. Invers
   Invers ialah lawan dari implikasi. Pada invers, pernyataan yang terdapat dalam pernyataan beragam ialah negasi dari pernyataan pada implikasi. Misal implikasi p → q, maka inversnya ialah p → q.
8. Kontraposisi
   Kontraposisi ialah kebalikan dari invers sama halnya dengan konvers spesialuntuk saja pernyataannya ialah negasi atau ingkaran. Misal invers p → q, maka kontraposisinya ialah q → p.

Tabel Kebenaran

Keterangan :
B = benar
S = salah

Kesetaraan 
Kesetaraan ialah pernyataan-pernyataan yang bernilai sama atau bermakna sama. Kesetaraan dilambangkan dengan " ≡ ".

1. (p ∧ q) ≡ p ∨ q 
2. (p ∨ q) ≡ p ∧ q
3. p → q ≡ q → p
4. (p → q) ≡ (p ∧ q)
5. (p ↔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ p)
   
   

Penarikan Kesimpulan 

1. Modus Ponens
   p → q 
   p
   ———
   ∴ q 

misal :
Diketahui pernyataan sebagi diberikut :
1. Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Paris
2. Hari libur tiba
Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

Pembahasan
Misalkan :
p = Hari libur tiba
q = Rani berlibur ke Paris

Berdasarkan modus Ponens, diperoleh :

p → q 
p
———
∴ q


Makara kesimpulan yang sah ialah Rani berlibur ke Paris



2. Modus Tollens
   p → q 
         q
   ———
   ∴ p

misal :
Diketahui pernyataan sebagi diberikut :
1. Jika hari ini hujan, maka Lia tidak pergi ke kota
2. Lia pergi ke kota
Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

Pembahasan 
Misalkan :
p = Hari ini hujan
q = Lia tidak pergi ke kota
q = Lia pergi ke kota

Berdasarkan Modus Tollens diperoleh :

p → q 
      q
———
∴ p

Makara kesimpulan yang sah ialah Hari ini tidak hujan.



3. Silogisme
   p → q 
   q → r
   ————
   ∴ p → r
   
   misal :
   Diketahui pernyataan sebagi diberikut :
   1. Jika Tio menjadi juara kelas, maka Ibu akan membelikannya sepeda
   2. Jika ibu membelikannya sepeda, maka Tio akan senang
   Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.
   
   Pembahasan 
   Misalkan :
   p = Tio menjadi juara kelas
   q = Ibu membelikannya sepeda
   r = Tio senang
   
   Berdasarkan konsep silogisme diperoleh :
   p → q 
   q → r
   ————
   ∴ p → r
   
   Makara kesimpulan yang sah ialah Jika Tio menjadi juara kelas, maka Tio akan senang.