Model soal logaritma yang sering muncul dalam ujian nasional matematika :
- Menentukan hasil suatu logaritma menurut nilai logaritma yang diketahui.
- Menentukan nilai koefisien yang memenuhi persamaan logaritma.
- Soal aplikasi memilih akar persamaan kuadrat yang melibatkan logaritma.
- Soal aplikasi memilih himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma
Kumpulan soal
- (UAN 2005/2006)Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x ialah ...
A. 2log 3
B. 3log 2
C. log 2/3
D. -1 atau 3
E. 3 atau 1/2
Pembahasan :
Ingat kembali sifat logaritma :
alog b = alog c ---> maka b = c
⇒ 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
⇒ 2log 2log (2x+1 + 3) = 2log2 + 2log x
⇒2log2log (2x+1 + 3) =2log2x
⇒ 2log (2x+1 + 3) = 2x
⇒2log(2x+1 + 3) =2log22x
⇒ 2x+1 + 3 = 22x
⇒ 2x+1 + 3 - 22x = 0
⇒ 2x.21 + 3 - 22x = 0 ---> ubah menjadi persamaan kuadrat
⇒ (2x)2 - 2(2x) - 3 = 0
misal 2x = a, maka persamaan menjadi :
⇒ a2 - 2a - 3 = 0
⇒ (a + 1)(a - 3) = 0
⇒ a = -1 atau a = 3
Selanjutnya,
untuk a = -1
⇒ 2x = -1 ---> tidak ada nilai x yang memenuhi
untuk a = 3
⇒ 2x = 3
⇒ x = 2log 3 (opsi A)
- (UAN 2005/2006)Penyelesaian pertidaksamaan log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) ialah ...
A. x > 6
B. x > 8
C. 4 < x < 6
D. -8 < x < 6
E. 6 < x < 8
Pembahasan :
Ingat kembali sifat logaritma :
alog b + alog c = alog bc
alog b - alog c = alog b/c
melaluiataubersamaini memakai rumus tersebut :
⇒ log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
⇒ log (x - 4)(x + 8) < log (2x + 16)
⇒ log (x - 4)(x + 8) - log (2x + 16) < 0
⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / (2x + 16) < 0
⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / 2(x + 8)< 0
⇒ log (x - 4) / 2 < 0
Syarat :
⇒ biar log (x - 4) / 2 < 0 maka x > 4
⇒ log (x - 4) / 2 < 0
⇒log(x - 4) / 2 <log1
⇒ (x - 4) / 2 < 1
⇒ x - 4 < 2
⇒ x < 6
Kaprikornus penyelesaiannya ialah 4 < x < 6 (opsi C)
- (UAN 2006/2007)Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ...
A. 2/a
B. (2 + ab)/ a(1 + b)
C. a/2
D. (b + 1)/ (2ab + 1)
E. (a + b)/ (2 + ab)
Pembahasan :
Ingat kembali sifat logaritma :
alog b = xlog b / xlog a ; dengan x> 0 dan x ≠ 1
alog bx = x alog b
Karena yang diketahui ialah nilai 2log 3 dan 3log 5 maka ubahlah 15log20 ke dalam bentuk logaritma yang mengandung kedua logaritma tersebut.
⇒ 15log 20 = 3log 20 / 3log 15
⇒ 15log 20 = 3log (4.5) / 3log (3.5)
⇒ 15log 20 = 3log (22.5) / 3log (3.5)
⇒ 15log 20 = (3log 22 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
⇒ 15log 20 = (2 3log 2 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
Ingat kembali sifat logaritma :
alog b = 1/ (blog a)
Karena 3log 2 = 1/ (2log 3) = 1/a, maka :
⇒ 15log 20 = {2.(1/a) + b}/ (1 + b)
⇒ 15log 20 = {(2 + ab)/ a}/ (1 + b)
⇒ 15log 20 = (2 + ab)/ a(1 + b) ---> opsi B
- (UAN 2007/2008) Dikatahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 ialah ...
A. a/ (a + b)
B. (1 + a)/ (1 + b)
C. (a + 1)/ (a + b)
D. a/ a(a + b)
E. (a + 1)/ a(a + b)
Pembahasan :
⇒ 6log 14 = (2log 14)/ (2log 6)
⇒ 6log 14 = (2log 7.2)/ (2log 3.2)
⇒ 6log 14 = (2log 7 + 2log 2)/ (2log 3 + 2log 2)
⇒ 6log 14 = (2log 7 + 1)/ (2log 3 + 1)
⇒ 6log 14 = (a + 1)/ (b + 1)
⇒ 6log 14 = (1 + a)/ (1 + b) ---> opsi C
- (UAN 2008/2009)Diketahui 2log √(12x + 4) = 3. Nilai 3x ialah ...
A. 15
B. 5
C. 5/3
D. 3/5
E. 1/5
Pembahasan :
⇒ 2log √12x + 4 = 3
⇒2log√12x + 4 =2log23
⇒ √12x + 4 = 23
⇒ (√12x + 4)2 = (23)2
⇒ 12x + 4 = 26
⇒ 12x + 4 = 64
⇒ 12x = 60
⇒ x = 5
Kaprikornus nilai 3x = 3.5 = 15 (opsi A) - (UAN 2009/2010)Nilai dari (3log √6) / {(3log 18) - (3log 2)} ialah ...
A. 1/8
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 8
Pembahasan :
(3log √6) / {(3log 18)2 - (3log 2)2} = (3log 6 ½) / {(3log 9.2)2 - (3log 2)2}
= (½ 3log 6) / {(3log 9 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
= (½ 3log 3.2) / {(3log 32 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
= {½ (3log 3 + 3log 2)} / {(2 3log 3 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(2 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 ) - (3log 2)2}
= {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 +3log 22-3log 22}
= {½ (1 + 3log 2)} / (4 + 4 3log 2)
= {½(1 + 3log 2)} / {4(1 + 3log 2)}
= ½ / 4
= 1/8 ---> opsi A.
- (UAN 2010/2011)Nilai x yang memenuhi persamaan ½log (x2 - 3) - ½log x = -1 ialah ...
A. x = -1 atau x = 3
B. x = 1 atau x = -3
C. x = 1 atau x = 3
D. x = 1
E. x = 3
Pembahasan :
⇒ ½log (x2 - 3) - ½log x = -1⇒½log{(x2 - 3)/ x} =½log(½)-1
⇒ (x2 - 3)/ x = (½)-1
⇒ (x2 - 3)/ x = 2
⇒ x2 - 3 = 2x
⇒ x2 - 3 - 2x = 0
⇒ x2 - 2x - 3 = 0
⇒ (x + 1)(x - 3) = 0
⇒ x = -1 atau x = 3
Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
an = b ⇔ n = alog b ; b > 0
Karena b harus lebih besar dari nol, maka x = -1 tidak berlaku sebab akan menjadikan b bernilai negatif. Kaprikornus nilai x yang memenuhi persamaan itu ialah 3 ---> opsi E.
- (UAN 2011/2012)Diketahui 5log 3 = a dan 3log 4 = b. Nilai 4log 15 ialah ...
A. (1 + a)/ ab
B. (1 + a)/ (1 + b)
C. (1 + b)/ (1 - a)
D. ab/ (1 - a)
E. ab/ (1 - b)
Pembahasan :
⇒ 4log 15 = (3log 15)/ 3log 4
⇒ 4log 15 = (3log 3.5)/ 3log 4
⇒ 4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4
Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
alog b = 1/ blog a
Karena 3log 5 = 1/ 5log 3 = 1/a, maka diperoleh :
⇒ 4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4
⇒ 4log 15 = (1 + 1/a)/ b
⇒ 4log 15 = {(a + 1)/ a}/ b
⇒ 4log 15 = (a + 1)/ ab
⇒ 4log 15 = (1 + a)/ ab ---> opsi A.
- (UAN 2012/2013)Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = b. Nilai 3log 10 ditetapkan dalam p dan q ialah ...
A. (p + 1)/ q
B. (p + 1)/ pq
C. (q + 1)/ p
D. (q + 1)/ pq
E. (pq + 1)/ q
Pembahasan :
⇒ 3log 10 = (5log 10)/ 5log 3
⇒ 3log 10 = (5log 2.5)/ 5log 3
⇒ 3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3
Karena 5log 2 = 1/ 2log 5 = 1/p, maka diperoleh :
⇒ 3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3
⇒ 3log 10 = (1/p + 1)/ q
⇒ 3log 10 = {(1 + p)/ p}/ q
⇒ 3log 10 = (1 + p)/ pq
⇒ 3log 10 = (p + 1)/ pq ---> opsi B.
Emoticon