- Menentukan faktor suku banyak kalau salah satu faktornya diketahui
- Menentukan sisa bagi suatu suku banyak
- Menentukan sisa bagi suatu suku banyak menurut sisa bagi dari suku banyak yang lain
- Menentukan nilai variabel tertentu dalam suku banyak
- Menentukan persamaan suku banyak kalau sisa baginya diketahui
Kumpulan Soal
- (Ujian Nasional 2005/2006)Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 - 1) sisanya (12x - 23) dan kalau dibagi oleh (x - 2), sisanya 1. Sisa derma suku banyak oleh (x2 - 3x + 2) yaitu ...
A. 12x - 23
B. -12x + 1
C. -10x + 1
D. 24x + 1
E. 24x - 27
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa, suatu suku banyak sanggup ditulis sebagai diberikut :
P(x) = h(x) . g(x) + s(x)
dengan :
P(x) = suku banyak
h(x) = hasil bagi
g(x) = pembagi
s(x) = sisa pertolongan
melaluiataubersamaini demikian, maka suku banyak dalam soal sanggup ditulis sebagai diberikut :
P(x) = h(x) (x2 - 1) + (12x - 23)
P(x) = h(x) (x - 2) + 1
Selanjutnya, masih menurut konsep teorema sisa bila suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (ax - b), maka sisanya yaitu :
s(x) = P(-b/a)
dengan :
s(x) = sisa bagi
-b/a diambil dari (ax - b)
Sebagian buku memakai rumus s(x) = P(b/a). Sebenarnya itu sama saja spesialuntuk perbedaan cara saja. Sebagai contoh, misal pembaginya yaitu 2x - 4, maka sisa nya yaitu s(x) = P(-b/a) dengan catatan dari 2x - 4 diketahui a = 2 dan b = -4 sehingga P(-b/a) = P(4/2) = P(2). Sebaliknya dengan cara lain, s(x) = P(b/a) dengan catatan dari 2x - 4 diproleh x = 4/2 sehingga P(b/a) = P(4/2) = P(2). Makara bahwasanya sama saja.
Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
Dibagi dengan (x2 - 1) → -b/a = 1
P(1) = 12x - 23
P(1) = 12(1) - 23 = 12 - 23
P(1) = -11
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
P(2) = 1
Karena ditanya sisa bagi kalau dibagi dengan (x2 - 3x + 2), maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Karena x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x -1) maka sanggup dilihat bahwa untuk (x - 2) → -b/a = 2 dan untuk (x -1) → -b/a = 1. melaluiataubersamaini demikian maka diperoleh :
Dibagi dengan (x -1)
P(1) = ax + b
P(1) = a(1) + b
P(1) = a + b
P(1) = -11 → alasannya yaitu dari soal diketahui P(1) = -11
maka a + b = -11
Dibagi dengan (x - 2)
P(2) = ax + b
P(2) = a(2) + b
P(2) = 2a + b
P(2) = 1 → alasannya yaitu dari soal diketahui P(2) = 1
maka 2a + b = 1
Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai diberikut :
a + b = -11 → a = -11 - b → substitusi ke persamaan 2a + b = 1
2a + b = 1
2 (-11 - b) + b = 1
-22 - 2b + b = 1
-b = 23
b = -23
Karena b = -23, maka diperoleh
a = -11 - b
a = -11 - (-23)
a = 12
Makara sisa bagi suku banyak tersebut kalau dibagi dengan (x2 - 3x + 2) yaitu :
s(x) = ax + b = 12x + (-23) = 12x - 23 ---> opsi A.
- (Ujian Nasional 2006/2007)Jika f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24, sedangkan kalau dibagi dengan (2x - 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x - 2)(2x - 3), maka sisanya yaitu ...
A. 8x + 8
B. 8x - 8
C. -8x + 8
D. -8x - 8
E. -8x + 6
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa, suatu suku banyak sanggup ditulis sebagai diberikut :
f(x) = h(x) . g(x) + s(x)
dengan :
f(x) = suku banyak
h(x) = hasil bagi
g(x) = pembagi
s(x) = sisa pertolongan
melaluiataubersamaini demikian, maka suku banyak dalam soal sanggup ditulis sebagai diberikut :
f(x) = h(x) (x - 2) + 24
f(x) = h(x) (2x - 3) + 20
Selanjutnya, masih menurut konsep teorema sisa bila suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (ax - b), maka sisanya yaitu :
s(x) = f(-b/a).
dengan :
s(x) = sisa bagi
-b/a diambil dari (ax - b)
Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
f(2) = 24
Dibagi dengan (2x - 3) → -b/a =3/2f(3/2) = 20
Karena ditanya sisa bagi kalau dibagi dengan (x - 2)(2x - 3), maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). melaluiataubersamaini demikian maka diperoleh :
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
f(2) = ax + b
f(2) = a(2) + b
f(2) = 2a + b
f(2) = 24 → alasannya yaitu dari soal diketahui f(2) = 24
maka 2a + b = 24
Dibagi dengan (2x - 3) → -b/a =3/2
f(3/2) = ax + b
f(3/2) = a(3/2) + b
f(3/2) = (3/2)a + b
f(3/2) = 20 → alasannya yaitu dari soal diketahui f(3/2) = 20
maka (3/2)a + b = 20
Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai diberikut :
2a + b = 24 → b = 24 - 2a → substitusi ke persamaan (3/2)a + b = 20
(3/2)a + b = 20(3/2)a + ( 24 - 2a) = 20
(3/2 - 2)a = -4
-½ a = -4
a = 8
Karena a = 8, maka diperoleh
b = 24 - 2a
b = 24 - 2(8)b = 24 - 16b = 8
Makara sisa bagi suku banyak tersebut kalau dibagi dengan (x - 2)(2x - 3) yaitu :
s(x) = ax + b = 8x + 8 ---> opsi A.
- (Ujian Nasional 2007/2008)Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 - 15x2 - 10x + n yaitu (x + 2). Faktor lainnya yaitu ...
A. x - 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x - 6
E. x - 8
Pembahasan :
Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku banyak yaitu fungsi yang kalau suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis bila dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax - b, maka berlaku :
P(-b/a) = 0
dengan :
ax - b disebut faktor suku banyak P(x)
x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0
Karena dibagi dengan (x + 2) → -b/a = -2, maka diperoleh :
P(-b/a) = x4 - 15x2 - 10x + n = 0
P(-2) = (-2)4 - 15(-2)2 - 10(-2) + n = 0
16 - 60 + 20 + n = 0
n = 24
Karena n = 24, maka suku banyaknya menjadi :
P(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24
melaluiataubersamaini memakai metode sintetik kita sanggup mengetahui faktor lainnya.
-2 | 1 0 -15 -10 24
| -2 4 22 -24
——————————— +
1 -2 -11 12 0
Angka yang berwarna merah ialah hasil bagi yang kalau ditulis menjadi suku banyak yaitu :
h(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12.
Dari hasil bagitersebut kita sanggup memilih faktor suku banyak yang lain yaitu :
x3 - 2x2 - 11x + 12 = (x - 4)(x + 3)(x -1)
Berdasarkan konsep teorima sisa diperoleh :
P(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24 = (x + 2)(x - 4)(x + 3)(x -1)
Tulisan berwarna biru ialah faktor dari suku banyak tersebut. Makara faktor lain yang ada dalam opsi yaitu (x - 4) ---> opsi A.
- (Ujian Nasional 2008/2009)Suku banyak f(x) dibagi dengan (x - 2) sisa 1, dibagi dengan (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 9, dibagi dengan (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa derma h(x) dibagi x2 + x - 6 yaitu ...
A. 7x - 1
B. 6x -1
C. 5x -1
D. 4x - 1
E. 3x - 1
Pembahasan :
Sesuai dengan konsep teorema sisa menyerupai no 1 dan no 2, maka :
f(x) dibagi (x - 2) sisa 1 → f(2) = 1
f(x) dibagi (x + 3) sisa 8 → f(-3) = -8
g(x) dibagi (x - 2) sisa 9 → g(2) = 9
g(x) dibagi (x + 3) sisa 2 → g(-3) = 2
h(x) = f(x).g(x)
h(2) = f(2).g(2) = 1(9) = 9
h(-3) = f(-3).g(-3) = -8(2) = -16
Misalkan h(x) dibagi dengan x2 + x - 6 bersisa ax + b. Karena x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2), maka diperoleh :
h(x) dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3
h(-3) = ax + b
h(-3) = -3a + b
h(-3) = -16 ---> di atas diperoleh h(-3) = -16
maka -3a + b = -16
h(x) dibagi dengan (x - 3) → -b/a = 2
h(2) = ax + b
h(2) = 2a + b
h(2) = 9 ---> di atas diperoleh h(2) = 9
maka 2a + b = 9
Untuk mengetahui nilai a dan b sanggup dipakai cara substitusi ataupun eliminasi.
2a + b = 9 → b = 9 - 2a → substitusi ke -3a + b = -16
-3a + b = -16
-3a + (9 - 2a) = -16
-5a = -25
a = 5
Karena a = 5 maka diperoleh :
b = 9 - 2a
b = 9 - 2(5)
b = -1
Makara sisa derma h(x) dibagi dengan x2 + x - 6 yaitu :
s(x) = ax + b = 5x - 1 ---> opsi C.
- (Ujian Nasional 2009/2010)Diketahui (x - 2) yaitu faktor dari suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx - 2. Jika dibagi dengan (x + 3) sisanya -50. Nilai a + b yaitu ...
A. 10
B. 4
C. -6
D. -11
E. -13
Pembahasan :
Karena x - 2 yaitu faktor suku banyak, maka suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx - 2 akan habis dibagi dengan x - 2 atau s(x) = 0.
Jika dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2, maka diperoleh :
P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx - 2 = 0
P(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) -2 = 0
16 + 4a + 2b - 2 = 0
4a + 2b = -14
2a + b = -7
Jika dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3, maka diperoleh :
P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx - 2 = -50
P(-3) = 2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) -2 = -50
-54 + 9a - 3b - 2 = -50
9a - 3b = 6
3a - b = 2
Untuk menerima nilai a dan b maka sanggup dipakai metode eliminasi ataupun metode substitusi. Di bawah ini dipakai metode substitusi :
2a + b = -7 → b = -7 - 2a → substitusi ke 3a - b = 2
3a - b = 2
3a - (-7 - 2a) = 2
3a + 2a + 7 = 2
5a = -5
a = -1
selanjutnya kita cari nilai b sebagai diberikut :
b = -7 - 2a
b = -7 - 2(-1)
b = -5
Makara nilai a + b = -1 + (-5) = -6 ---> opsi C.
- (Ujian Nasional 2010/2011)Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x - 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1. Maka nilai 2a + b yaitu ...
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa diperoleh :
Dibagi dengan (x - 1) → -b/a = 1
P(1) = 2(1)4 + a(1)3 - 3(1)2 + 5(1) + b = 11
2 + a - 3 + 5 + b = 11
a + b = 11 - 4
a + b = 7
Dibagi dengan (x + 1) → -b/a = -1
P(-1) = 2(-1)4 + a(-1)3 - 3(-1)2 + 5(-1) + b = -1
2 - a - 3 - 5 + b = -1
-a + b = -1 + 6
-a + b = 5
melaluiataubersamaini metode substitusi diperoleh :
a + b = 7 → b = 7 - a → substitusi ke -a + b = 5
-a + b = 5
-a + (7 - a) = 5
-2a = 5 - 7
a = 1
alasannya yaitu a = 1, maka b yaitu :
b = 7 - a
b = 7 - 1 = 6
Makara nilai 2a + b = 2(1) + 6 = 8 ---> opsi C.
- (Ujian Nasional 2010/2011)Diketahui (x - 2) dan (x - 1) yaitu faktor-faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 - 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut yaitu x1, x2, dan x3, untuk x1 > x2 > x3, nilai x1 - x2 - x3 yaitu ...
A. 8
B. 6
C. 3
D. 2
E. 4
Pembahasan :
Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku banyak yaitu fungsi yang kalau suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis bila dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax - b, maka berlaku :
P(-b/a) = 0
dengan :
ax - b disebut faktor suku banyak P(x)
x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0
Untuk menuntaskan soal menyerupai ini, kita sanggup mencari faktor yang ketiga terlebih lampau dengan cara :
Jika dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
P(2) = 23 - a(2)2 - 13(2) + b = 0
8 + 4a - 26 + b = 0
4a + b = 18
Jika dibagi dengan (x - 1) → -b/a = 1
P(1) = 13 + a(1)2 - 13(1) + b = 0
1 + a - 13 + b = 0
a + b = 12
melaluiataubersamaini metode substitusi diperoleh :
a + b = 12 → b = 12 - a → substitusi ke 4a + b = 18
4a + b = 18
4a + 12 - a = 18
3a = 6
a = 2
alasannya yaitu a = 2 maka b yaitu :
b = 12 - a
b = 12 - 2 = 10
melaluiataubersamaini begitu berarti faktor lain dari suku banyak tersebut yaitu ax + b = 2x + 10. Selanjutnya, alasannya yaitu 2x + 10 ialah faktor, maka P(x) dibagi dengan 2x + 10 sisanya akan sama dengan nol. Berdasarkan konsep tersebut, maka dieproleh :
dibagi (x - 2) sisa = 0, maka faktor x = 2
dibagi (x - 1) sisa = 0, maka faktor x = 1
dibagi (2x + 10) sisa = 0, maka faktor x = -10/2 = -5
Karena x1 > x2 > x3, maka :
x1 = 2
x2 = 1
x3 = -5
Makara nilai x1 - x2 - x3 = 2 - 1 - (-5) = 6 ---> opsi B.
- (Ujian Nasional 2011/2012)Suku bayak berderajat 3 kalau dibagi dengan (x2 - x - 6) bersisa (5x - 2), kalau dibagi dengan (x2 - 2x - 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut yaitu ...
A. x3 - 2x2 + x + 4
B. x3 - 2x2 + x - 4
C. x3 - 2x2 - x - 4
D. x3 - 2x2 + 4
E. x3 - 2x2 - 4
Pembahasan :
Dibagi dengan (x2 - x - 6) → dibagi dengan (x - 3)(x + 2)
P(3) = 5x - 2 = 5(3) - 2 = 13
P(-2) = 5x - 2 = 5(-2) - 2 = -12
Dibagi dengan (x2 - 2x - 3) → dibagi dengan (x - 3)(x + 1)
P(3) = 3x + 4 = 3(3) + 4 = 13
P(-1) = 3x + 4 = 3(-1) + 4 = 1
Misalkan P(x) = ax3 + bx2 + cx + k
P(3) = 27a + 9b + 3c + k = 13
P(-2) = -8a + 4b - 2c + k = -12
P(-1) = -a + b - c + k = 1
Nilai a. b. c, dan k adapat dicari dengan metode eliminasi. Untuk tujuan praktis, dari tiga persamaan P(3), P(-2), dan P(-1), pilih P(-1) alasannya yaitu paling sederhana. Selanjutnya uji nilai x = -1 ke persamaan yang ada pada opsi. Persamaan yang balasannya sama dengan 1 yaitu jawabanannya. Dari kelima opsi, opsi D sama dengan 1 kalau nilai x = -1. Makara suku banyak yang dimaksud yaitu x3 - 2x2 + 4 ---> opsi D.
Emoticon