Pembahasan Soal Latihan Logika Matematika

1. Diketahui premis-premis :

(1) Jika Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional, Ibu akan menyekolahkan Rani ke luar Negeri.
(2) Ibu tidak menyekelohkan Rani ke luar Negeri.
Kesimpulan yang sah ialah ....

A. Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional
B. Rani tidak menjadi juara kelas dan tidak menjuarai olimpiade nasional
C. Rani tidak menjadi juara kelas atau Rani tidak menjuarai olimpiade nasional
D. Rani tidak menjadi juara kelas dan Rani menjuarai olimpiade nasional
E. Rani menjadi juara kelas atau tidak menjuarai olimpiade nasional

Pembahasan
Misalkan :
a = Rani menjadi juara kelas
b = Rani menjuarai olimpiade nasional
p = (a ∧ b) = Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional
q = Ibu menyekolahkan Rani ke luar Negeri
q = Ibu tidak menyekolahkan Rani ke luara Negeri

Kesimpulan yang saha menurut Modus Tollens ialah sebagai diberikut :
p → q
       -q
————
∴  p 

Karena p ialah pernyataan majemuk, maka :
p = (a ∧ b) = a  ∨ b 
Rani tidak menjadi juara kelas atau Rani tidak menjuarai olimpiade nasional. (opsi C)

2. Ingkaran dari pernyataan "beberapa bilangan prima ialah bilangan genap" adalah...

A. Semua bilangan prima ialah bilangan genap
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
E. Beberapa bilangan genap ialah bilangan prima

Pembahasan
Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :
tiruana A ialah B = beberapa A bukan/tidak B
beberapa A ialah B = tiruana A bukan/tidak B
tidak ada A yang B = beberapa A ialah B

Berdasarkan hukum di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan "beberapa bilangan prima ialah bilangan genap" ialah "Semua bilangan prima bukan bilangan genap" ---> opsi B.

3. Diketahui pernyataan :

(1) Jika hari gerah, maka Dian menggunakan topi
(2) Dian tidak menggunakan topi atau ia menggunakan payung
(3) Dian tidak menggunakan payung
Kesimpulan yang sah ialah ...

A. Hari gerah
B. Hari tidak gerah
C. Dian menggunakan topi
D. Hari gerah dan Dian menggunakan topi
E. Hari tidak gerah dan Dian menggunakan topi

Pembahasan 
Misalkan :
p = Hari gerah
q = Dian menggunakan topi
r = Dian menggunakan payung

Maka pernyataan di atas sanggup ditulis menjadi :
(1). p → q
(2). q ∨ r
(3). r

Karena q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :
p → q
q → r
————
∴ p → r

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :
p → r
     r  
————
∴  p
Jadi kesimpulan yang sah ialah hari tidak gerah. ---> opsi B.

4. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD".

Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas ialah ...

A. Jika AC tidak tegak lurus BD, maka ABCD bukan layang-layang
B. Jika ABCD bukan layang-layang, maka AC tidak tegak lurus BD
C. Jika AC tegak lurus BD, maka ABCD layang-layang
D. Jika ABCD bukan layang-layang, maka AC tegak lurus BD
E.  Jika AC tegak lurus BD, maka ABCD bukan layang-layang

Pembahasan
Misalkan :
p = ABCD layang-layang
q = AC tegak lurus BD
p → q = kalau ABCD layang-layang, maka AC tegak lurus BD

Bentuk ekuivalen :
p → q ≡ q → p = kalau AC tidak tegak lurus BD, maka ABCD bukan layang-layang. (opsi A)

5. Dari argumentasi diberikut :

Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik bahagia maka beliau tersenyum.
Kesimpulan yang sah ialah ...

A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Pembahasan
misal :
p = ibu tidak pergi.
q = adik senang.
r = adik tersenyum.

Berdasarkan Silogisme, kesimpulan yang sah dari argumen di atas ialah :
p → q
q → r
————
∴ p → r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan ialah kalau ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, sebab kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawabanan, maka kita harus memilih pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.
p → r ≡ p ∨ r = ibu pergi atau adik tersenyum. (opsi E)

6. Perhatikan premis diberikut :

(1) Jika Aldi ulet belajar, maka ia sanggup menjadi juara
(2) Jika sanggup menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan.
Kesimpulan yang sah ialah ...

A. Aldi ulet mencar ilmu dan ia dihentikan ikut liburan
B. Aldi ulet mencar ilmu atau ia dihentikan ikut liburan
C. Aldi ulet mencar ilmu maka ia sanggup menjadi juara
D. Aldi ulet mencar ilmu dan ia boleh ikut liburan
E. Aldi ikut liburan maka ia ulet belajar

Pembahasan
Misalkan :
p = Aldi ulet belajar
q = Aldi menjadi juara
r = Aldi boleh ikut liburan

Kesimpulan yang sah ialah :
  p → q
  q → r
————
∴ p → r ---> kalau Aldi ulet mencar ilmu maka Aldi boleh ikut liburan.

Ingkaran dari kesimpulan :
(p → r) = p ∧ r
Aldi ulet mencar ilmu dan Aldi dihentikan ikut liburan. (opsi A)

7. Diketahui pernyataan diberikut :

(1) Jika hujan lebat maka air sungai akan meluap
(2) Jika air sungai meluap maka desa akan banjir
Berdasarkan silogisme, kesimpulan yang sah ialah ...

A. Jika air sungai meluap, maka hujan akan lebat
B. Jika hujan lebat, maka desa akan banjir
C. Jika air sungai tidak meluap, maka desa tidak banjir
D. Jika hujan tidak lebat, maka desa tidak banjir
E. Hujan lebat dan desa banjir

Pembahasan 
Misalkan :
p = hujan lebat
q = air sungai meluap
r = desa banjir

p → q
q → r
————
∴ p → r ---> Jika hujan lebat, maka desa akan banjir (opsi B).

8. Perhatikan premis diberikut :

(1) Jika Taylor Swift konser di Jakarta, maka Reza akan menonton
(2) Jika Reza menonton, maka ia akan senang
Invers dari kesimpulan di atas ialah ...

A. Jika Taylor tidak konser di Jakarta, maka Reza tidak akan senang
B. Jika Taylor konser di Jakarta, maka Reza akan senang
C. Jika Taylor konser di Jakarta, maka Reza tidak akan senang
D. Taylor tidak konser di Jakarta dan Reza tidak akan menonton
E.  Jika Taylor tidak konser di Jakarta, maka Reza akan menonton.

Pembahasan 
Misalkan :
p = Taylor konser di Jakarta
q = Reza menonton
r = Reza senang

Kesimpulannya berdasrkan silogisme ialah :
p → q
q → r
————
∴ p → r

Invers dari  p → r = p → r = kalau Taylor tidak konser di Jakarta, maka Reza tidak senang. (opsi A).

9. Diketahui pernyataan :

(1) Jika Indonesia lolos ke piala dunia, presiden akan memdiberi hadiah
(2) Presiden tidak memdiberi hadiah
Kesimpulan yang saha menurut modus Tollens ialah ...

A. Indonesia lolos ke piala dunia
B. Presiden memdiberi hadiah
C. Indonesia tidak lolos ke piala dunia
D. Indonesia lolos ke piala dunia tapi presiden tidak memdiberi hadiah
E. Indonesia tidak lolos ke piala dunia dan presiden memdiberi hadiah

Pembahasan 
misalkan :
p = Indonesia lolos ke piala dunia
q = presiden memdiberi hadiah
q = presiden tidak memdiberi hadiah

Kesimpulan menurut modus Tollens ialah :

p → q
     q  
————
∴  p = Indonesia tidak lolos ke piala dunia. (opsi C)

10. Diketahui pernyataan :

(1) Jika nilai ujian Nisa lebih besar dari 70, maka ia lulus
(2) Nilai ujian Nisa 80
Kesimpulan yang sah menurut modus Ponens ialah ...

A. Nisa tidak lulus
B. Ujian Nisa lebih besar dari 70
C. Nisa lulus atau nilai ujiannya 80
D. Nisa lulus
E.  Jika nilai ujian Nisa 80, maka ia lulus

Pembahasan 
misalkan :
p = nilai ujian Nisa lebih besar dari 70
q = ia lulus
Nilai ujian Nisa 80 = nilai ujian Nisa lebih besar dari 70

Kesimpulan menurut modus Ponens ialah :
p → q
p  
————
∴  q = Nisa lulus (opsi D).