Kumpulan Soal Dan Pembahasan Determinan Matriks

Ketika kita mencar ilmu wacana matriks, maka akan ada beberapa istilah yang menjadi subbab. Istilah tersebut antaralain ordo, identitas, transpose, determinan, invers, kofaktor, dan sebagainya.

Pada peluang ini kita akan mengulas konsep dari determinan matriks. Selain dipakai untuk memilih invers suatu matriks, prinsip determinan juga sanggup dipakai untuk memilih penyelesaian sistem persamaan linear dengan hukum cramer.

Konsep Determinan Matriks

Untuk tingkat SMA, umumnya yang dipelajari yaitu determinan matriks untuk ordo 2x2 dan 3x3. Berikut konsep determinan untuk matriks ordo 2x3 dan 3x3.

Matriks ordo 2x2

Untuk matriks ordo 2x2, determinanya masih lebih sederhana jikalau dibandingkan dengan matriks ordo 3x3. Untuk matriks ini, determinan ialah selisih dari hasil kali komponen diagonal utama dengan diagonal skunder. 

Matriks ordo 3x3

Salah satu metode yang sering dipakai untuk menghitung determinan matriks ordo 3x3 yaitu hukum Saruss. Prinsipnya masih sama yaitu dengan mencari selisih antara jumlah hasil kali diagonal utama dengan jumlah hasil kali diagonal skunder.

Kumpulan soal 

1. Jika matriks A diketahui menyerupai di bawah ini, maka determinan A adalah...
   

   
   A. (a + b)(4a - b)
   B. (4a + 4b)(a -b)
   C. (4a + 2b)(4a + b)
   D. (4a + 4b)(4a - 2b)
   E. (4a + b)(4a - 4b)
   
   Pembahasan :
   ⇒ det A = 4a² - 4b² = 4 (a² - b²)
   ⇒ det A = 4 {(a + b)(a - b)}
   ⇒ det A = (4a + 4b)(a - b) ---> opsi B
   
   
2. Matriks P dan Q yaitu matriks ordo 2x2 menyerupai di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali determinan Q, maka nilai x yang memenuhi adalah...
   
   

   

   
   A. x = -6 atau x = -2
   B. x = 6 atau x = -2
   C. x = -6 atau x = 2
   D. x = 3 atau x = 4
   E. x = -3 atau x = -4
   
   Pembahasan :
   ⇒ det P = 2 det Q
   ⇒ 2x² - 6 = 2 (4x - (-9))
   ⇒ 2x² - 6 = 8x + 18
   ⇒ 2x² - 8x - 24 = 0
   ⇒ x² - 4x - 12 = 0
   ⇒ (x - 6)(x + 2) = 0
   ⇒ x = 6 atau x = -2 ---> opsi B
   
   
3. Determinan matriks B yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah...
   
   

   

   
   A. 3
   B. -3
   C. 1
   D. -1
   E. 0
   
   Pembahasan :
   Misalkan komponen B yaitu a,b,c, dan d sebagai diberikut :
   
   

   

   
   Dari persamaan di atas diperoleh :
   ⇒ 2a + c = 4
   ⇒ a + 2c = 5 ---> a = 5 - 2c ---> substitusi ke persamaan 2a + c = 4
   ⇒ 2 (5-2c) + c = 4
   ⇒ 10 - 4c + c = 4
   ⇒ -3c = -6
   ⇒ c = 2
   
   Selanjutnya :
   ⇒ 2a + 2 = 4
   ⇒ 2a = 2
   ⇒ a = 1
   
   Mencari nilai d :
   ⇒ 2b + d = 5
   ⇒ b + 2d = 4 ---> b = 4 - 2d ---> substitusi ke persamaan 2b + d = 5
   ⇒ 2 (4 - 2d) + d = 5
   ⇒ 8 - 4d + d = 5
   ⇒ -3d = -3
   ⇒ d = 1
   
   Mencari nilai b :
   ⇒ 2b + 1 = 5
   ⇒ 2b = 4
   ⇒ b = 2
   
   Kaprikornus komponen matriks B yaitu sebagai diberikut :
   
   

   

   
   Maka diperoleh :
   det B = ac - bd = 1 - 4 = -3 ---> opsi B
   
   
4. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks A = -8, maka determinan matriks B adalah...
   
   

   

   
   A. 96
   B. -96
   C. -64
   D. 48
   E. -48
   
   Pembahasan :
   Determinan A
   

   

   det A = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) = -8
   
   
   Determinan B
   

   

   
   ⇒ det B = (-12aei + (-12bfg) + (-12cdh)) - (-12ceg + (-12afh) + (-12bdi))
   ⇒ det B = -12 { (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi)}
   ⇒ det B = -12 det A
   ⇒ det B = -12 (-8)
   ⇒ det B = 96 ---> opsi A
   
   
5. Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah...
   
   

   

   
   A. 2
   B. -2
   C. 4
   D. 3
   E. -3
   
   Pembahasan :
   ⇒ 2z² - (-6) = 8 - (-z(z-1))
   ⇒ 2z²  + 6 = 8 - (-z² + z)
   ⇒ 2z²  + 6 = 8 + z² - z
   ⇒ z²  + z - 2 = 0
   ⇒ (z + 2)(z - 1) = 0
   ⇒ z = -2 atau z = 1 ---> opsi B
 
6. Hubungan dua matriks menyerupai di bawah ini. Nilai a yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
   
   

   

   
   A. 8
   B. 24
   C. 64
   D. 81
   E. 92
   
   Pembahasan :
   2 ⁸log a - 4a = 4a - (- ²log 6 . ⁶log 16) ---> ingat kembali sifat logaritma :
   
   

   alog b . blog c = alog c

   
   ⇒ 2 ⁸log a = ²log 16 = 4
   ⇒ ⁸log a = 2
   ⇒ a = 8²
   ⇒ a = 64 ---> opsi C
   
   
7. Bila determinan matriks A yaitu 4 kali determinan matriks B, maka nilai x adalah...
   
   
   

   

   
   A. 4/3
   B. 8/3
   C. 10/4
   D. 5/3
   E. 16/7
   
   Pembahasan :
   ⇒ det A = 4 det B
   ⇒ 4^x (16^x) -  (-16) = 4 (108 - (-152))
   ⇒ 4^x (4^2x ) + 16 = 4 (260)
   ⇒ 4^3x = 4(260) - 16
   ⇒ 4^3x = 4(260) - 4(4)
   ⇒ 4^3x = 4 (260 - 4)
   ⇒ 4^3x = 4 (256)
   ⇒ 4^3x = 4. 4⁴
   ⇒ 4^3x = 4⁵
   ⇒ 3x = 5 
   ⇒ x = 5/3 ---> opsi D