Pembahasan Soal Ujian Nasional Eksponen

Model soal eksponen yang sering muncul dalam ujian nasional matematika antara lain: menyederhanakan persamaan eksponen dan menyederhanakan bentuk akar, merasionalkan penyebut sebuah pecahan, memilih nilai koefisien yang memenuhi persamaan eksponen, memilih nilai koefisien yang memenuhi suatu pertidaksamaan eksponen, soal-soal aplikasi memilih akar persamaan yang mengandung eksponen, memilih himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen, dan lain sebagainya. Berikut ini beberapa soal ujian nasional bidang studi matematika tentang eksponen. 

Ujian Nasional Matematika - Eksponen

1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Akar-akar persamaan 2. 3^4x - 20. 3^2x + 18 = 0 yaitu x1 dan x2. Nilai x1 + x2 yaitu ...
   A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. 3
   E. -4
   
   Pembahasan :
   Untuk soal ibarat ini, maka ubahlah persamaan yang didiberikan menjadi persamaan kuadrat.
   2. 3^4x - 20. 3^2x + 18 = 0
   2. (3^2x)² - 20. 3^2x + 18 = 0
   
   misal 3^2x = a, maka :
   2a² - 20a+ 18 = 0
   a² - 10a+ 9 = 0
   (a - 9)(a - 1) = 0
   a = 9 atau a = 1
   
   Untuk a = 9
   3^2x = 9
   3^2x = 3²
   2x = 2
   x1 = 1
   
   Untuk a = 1
   3^2x = 1
   3^2x = 3⁰
   2x = 0
   x2 = 0
   
   Maka  x1 + x2 = 1 + 0 = 1 ---> opsi B.
   
   
   
2. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Akar- akar pesamaan 3^2x+1 - 28. 3^x + 9 = 0 yaitu x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 - x2 yaitu ...
   A. -5
   B. -1
   C. 4
   D. 5
   E. 7
   
   Pembahasan :
   3^2x+1 - 28. 3^x + 9 = 0
   3^2x . 3¹ - 28. 3^x + 9 = 0
   3. (3^x)² - 28. 3^x + 9 = 0
   
   misal 3^x = a, maka :
   3a² - 28a + 9 = 0
   (a - 9)(3a - 1) = 0
   a = 9 atau a = 1/3
   
   Untuk a = 9
   3^x = 9
   3^x = 3²
   x1 = 2
   
   Untuk a = 1/3
   3^x = 1/3
   3^x = 3^-1
   x2 = -1
   Maka nilai 3x1 - x2 = 3(2) - (-1) = 7 ---> opsi E.
   
   
   
3. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^2x+2 ≥ (1/9)^x+1 yaitu ...
   A. x ≥ -3/2
   B. x ≥ -1
   C. x ≥ 0
   D. x ≥ ½
   E. x ≥ 1
   
   Pembahasan :
   3^2x+2 ≥ (1/9)^x+1
   3^2x+2 ≥ (3^-2)^x+1
   3^2x+2 ≥ 3^-2x-2
   2x + 2 ≥ -2x - 2
   2x + 2x ≥ -2 - 2
   4x ≥ -4
   x ≥ -1 ---> opsi B
   
   
   
4. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Bila x1 dan x2 yaitu penyelesaian dari persamaan 2^2x - 6. 2^x+1 + 32 = 0 dengan x1 > x2, maka nilai dai 2x1 + x2 yaitu ...
   A. ¼
   B. ½
   C. 4
   D. 8
   E. 16
   
   Pembahasan :
   2^2x - 6. 2^x+1 + 32 = 0
   (2^x)² - 6. 2^x .2¹+ 32 = 0
   (2^x)² - 12. 2^x + 32 = 0
   
   misal 2^x = a, maka :
   a² - 12a + 32 = 0 
   (a - 8)(a - 4) = 0
   a = 8 atau a = 4
   
   Untuk a = 8
   2^x = 8
   2^x = 2³
   x1 = 3
   
   Untuk a = 4
   2^x = 4
   2^x = 2²
   x2 = 2
   
   maka nilai dari 2x1 + x2 = 2(3) + 2 = 8 ---> opsi D.
   
   
   
5. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4 yaitu ...
   A. {x|-2 ≤ x ≤ 10/3}
   B. {x|-10/3 ≤ x ≤ 2}
   C. {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
   D. {x| x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
   E. {x|-10/3 ≤ x ≤ -2}
   
   Pembahasan :
   9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4
   (3²)^2x-4 ≥ (3^-3)^x2-4
   3^4x-8 ≥ 3^-3x2+12
   4x - 8 ≥ -3x² + 12
   3x² + 4x - 8 - 12 ≥ 0
   3x² + 4x - 20 ≥ 0
   (3x + 10)(x - 2) ≥ 0
   
   Untuk mengetahui himpunan penyelesaian, sebaiknya selidiki dengan garis uji.
   (3x + 10)(x - 2) = 0
   x = -10/3 atau x = 2
   
   Uji dengan x = 0, x = 3, dan x = -5
   (3(0) + 10)(0 - 2) = -20 ---> negatif
   (3(3) + 10)(3 - 2) = 19 ---> positif
   (3(-5) + 10)(-5 - 2) = 35 ---> positif
   
   Karena pertidaksamaan yang didiberikan bertanda ≥ 0, maka nilai yang kita cari yaitu yang menghasilkan nilai kasatmata sebab jikalau negatif berarti lebih kecil < 0. Oleh sebab itu, nilai x yang memenuhi yaitu :
   x ≤ -10/3 atau x ≥ 2 ---> opsi C.
   
   
   
6. (UJIAN NASIONAL 2008/2009)
   Akar-akar persamaan 5^x+1 + 5^2-x = 30 yaitu α dan β, maka α + β yaitu ...
   A. 6
   B. 5
   C. 4
   D. 1
   E. 0
   
   Pembahasan :
   5^x+1 + 5^2-x = 30
   5^x+1 + 5^2-x - 30 = 0
   5^x.5 + 5²/5^x - 30 = 0 ---> semoga 1/5^x hilang, dikali 5^x
   5. (5^x )² + 25 - 30.5^x = 0
   
   misal 5^x = a, maka :
   5. (5^x )² - 30 .5^x + 25 = 0
   5a² - 30a + 25 = 0
   a² - 6a + 5 = 0
   (a - 5)(a - 1) = 0
   a = 5 atau a = 1
   
   Untuk a = 5
   5^x = 5
   x = 1 ---> α = 1
   
   Untuk a = 1
   5^x = 1
   5^x = 5⁰
   x = 0 ---> β = 0
   
   Kaprikornus α + β = 1 + 0 = 1 ---> opsi D.
   
   
   
7. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Bentuk sederhana dari {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 yaitu ...
   A. (3ab)²
   B. 3(ab)²
   C. 9(ab)²
   D. 3/ (ab)²
   E. 9/ (ab)²
   
   Pembahasan :
   {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 = (27^-1 a⁵ b³) / (3^-5 a⁷ b⁵)
   {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 = (27^-1) / (3^-5 a² b²)
   {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 = (3^-3) / (3^-5 a² b²)
   {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 = (3²) / (a² b²)
   {(27a^-5 b^-3) / (3⁵ a^-7 b^-5)}^-1 = 9 / (ab)² ---> opsi C.
   
   
8. (UJIAN NASIONAL 2010/2011)
   Bentuk sederhana dari (7x³ y^-4 z^-6) / (84x^-7 y^-1 z^-4) yaitu ...
   A. (x¹⁰ z¹⁰)/ 12y³
   B. z¹⁰/ (12x⁴y³)
   C. (x¹⁰ y⁵)/ 12z²
   D. (y³ z²)/ 12x⁴
   E. x¹⁰/ (12y³z²)
   
   Pembahasan :
   (7x³ y^-4 z^-6) / (84x^-7 y^-1 z^-4) = (x¹⁰ y^-3 z^-2) / 12
   (7x³ y^-4 z^-6) / (84x^-7 y^-1 z^-4) = (x¹⁰ y^-3 z^-2) / 12
   (7x³ y^-4 z^-6) / (84x^-7 y^-1 z^-4) = x¹⁰ / (12y³z²) ---> opsi E
   
   
   
9. (UJIAN NASIONAL 2011/2012)
   Diketahui a = 1/2, b = 2, dan c = 1. Nilai dari (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) yaitu ...
   A. 1
   B. 4
   C. 16
   D. 64
   E. 96
   
   Pembahasan :
   Sederhanakan terlebih lampau :
   (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) = c⁴ / (a³ b)
   (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) = 1⁴ / ((½)³ . 2)
   (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) = 1 / (1/8 . 2)
   (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) = 1 / (1/4)
   (a^-2 b c³) / (a b² c^-1) = 4 ---> opsi B.