Soal Dan Pembahasan Kesamaan Matriks

Dua atau lebih matriks dikatakan sama bila mempunyai ordo (jumlah baris dan kolom) sama dan komponen yang sama di setiap selnya. melaluiataubersamaini kata lain, matriks-matriks tersebut ialah matriks yang sama spesialuntuk saja dengan nama tidak sama.

Prinsip kesamaan matriks pada umumnya dipakai untuk memilih komponen pada sel tertentu atau memilih variabel yang terdapat dalam komponen penyusun matriks.

Prinsip kesamaan matriks umumnya dihubungkan dengan persamaan matematika lainnya menyerupai persamaan linear dua variabel, persamaan kuadrat, eksponensial, logaritma, ataupun trigonometri.

Konsep Kesamaan Matriks

Bila dua matriks di atas ditetapkan sama, maka berlaku :
a = p; b = q; c = r
d = s; e = t; f = u
g = v; h = w; l = x

Kumpulan Soal

1. Jika diketahui matriks A dan B menyerupai di bawah ini, maka tentukanlah relasi antara B + A dan A + B.
   
   

   

   
   

   Pembahasan :
   Sudah sangat terang bahwa pada operasi penjumlahan matriks berlaku sifat komutatif sehingga B + A = A + B.
   
   
2. Sebuah matriks P ordo 2 x 2 memenuhi persamaan menyerupai di bawah ini, tentukanlah matriks P.
   
   

   

   Pembahasan :
   Misalkan elemen-elemen matriks P ialah a, b, c, dan d
   
   

   

   
   7 - 3a = -5  ---> -3a = -12 ---> a = 4
   1 - 3b = 10 ---> -3b = 9 ---> b = -3
   -4 - 3c = 8 ---> -3c = 12 ---> c = -4
   3 - 3d = 9 ---> -3d = 6 ---> d = -2
   
   Makara matriks P ialah :
   

   

   
   
3. Tentukanlah nilai x dan z yang memenuhi persamaan matriks diberikut ini :
   
   

   

   Pembahasan :
   -1 + 6 = 2 + 2x
   5 = 2 + 2x
   3 = 2x
   x = 3/2
   
   3 + 2 = 3 + z + 1
   5 = 4 + z
   z = 1
   
   
4. Tentukan besar sudut a dan sudut b.
   
   

   

   Pembahasan :
   cos a = 2 + (-2) = 0 ---> a = 90
   sin b = 3 + (2,5) = 0,5 = 1/2 ---> b = 30
   
   
5. Diketahui persamaan matriks sebagai diberikut :
   
   

   

   Tentukanlah nilai a, b, c, dan d.
   
   Pembahasan :
   -a + 3 = 10 ---> a = -7
   
   c - 2 + 10 = -6
   c = - 6 - 8
   c = -14
   
   b + 4 + b + c = -6
   2b + c = -10
   2b - 14 = -10
   2b = 4
   b = 2
   
   2d + d = b - 2
   3d = 2 - 2
   d = 0
   
   
6. Berdasarkan persamaan matriks di bawah ini, tentukanlah nilai a, b, c, dan d.
   
   

   

   Pembahasan :
   2d + d = -2 + (-4)
   3d = -6
   d = -2
   
   a + 2d + 3 = 10 + 2
   a + 2(-2) = 12 - 3
   a - 4  = 9
   a = 9 + 4
   a = 13
   
   b + b + 3c = 16 + 8
   2b + 3c = 24
   
   c - 2 + 2 + b = -6 + 6
   c + b = 0 ---> c = -b ---> substitusi ke persamaan 2b + 3c = 24
   2b + 3(-b) = 24
   2b - 3b = 24
   -b = 24
   b = -24 maka c = 24
   
   Makara a = 13. b = -24, c = 24, dan d = -2
   
   
7. Jika p, q, r, dan s memenuhi persamaan matriks 
   
   

   

   Pembahasan :
   Dari soal, diperoleh 4 persamaan yaitu :
   1. p - 2s = 1
   2. 2q - r = 1
   3. 2r - q = -1
   4. s - 2p = -1
   
   Dari persamaan no 1 dan 4 diperoleh :
   p - 2s = 1 ---> p = 1 + 2s ---> substitusikan ke persamaan 4
   s - 2p = -1
   s - 2(1 + 2s) = -1
   s - 2 - 4s = -1
   -3s = 1
   s = -1/3
   
   selanjutnya,
   p - 2(-1/3) = 1
   p + 2/3 = 1
   p = 1 - 2/3 = 1/3
   
   Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh :
   2q - r = 1 ---> -r = 1 - 2q ---> r = 2q + 1 ---> substitusi ke persamaan 3
   2r - q = -1
   2(2q + 1) - q = -1
   4q + 2 - q = -1
   3q = -3
   q = -1
   
   selanjutnya,
   2(-1) - r = 1
   -r = 1 + 2 = 3
   r = -3
   
   Makara p = 1/3, q = -1, r = -3 , dan s = -1/3
   
   
8. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan matriks di bawah ini.
   
   

   

   Pembahasan :
   Dari relasi di atas, diperoleh
   log (2a - 2) = 1
   log (2a - 2) = log 10
   2a - 2 = 10
   a = 12/2 = 6
   
   log (b-4) = log a
   log (b-4) = log 6
   b-4 = 6
   b = 10
   
   ^xlog a = log b
   ^xlog 6 = log 10
   ^xlog 6 = 1
   x = 6
   
   Makara nilai x yang memenuhi persamaan di atas ialah 6
   
   
9. Tentukan nilai a
   
   

   

   Pembahasan :
   a + 3ab + a² = a - 2
   a - a + 3ab + a² + 2 = 0
   a² + 3ab + 2 = 0  ---> persamaan kuadrat
   
   Agar persamaan di atas sanggup diselesaikan, kita cari nilai b terlebih lampau.
   b + 4 + b = 6
   2b = 6 - 4
   b = 2/2 = 1
   
   Persamaan kuadrat di atas menjadi :
   a² + 3a + 2 = 0
   (a + 2) (a + 1) = 0
   a = -2   atau  a = -1
   
   
10. Tentukan relasi matriks A dan B kalau diketahui
    
    

    

    Pembahasan :
    Karena soal ini termasuk pada pecahan kesamaan matriks, maka anggaplah bahwa A = nB, dengan n ialah suatu bilangan tertentu yang membuktikan relasi keduanya.
    
    

    

    Dari relasi di atas, semoga bernilai sama maka nilai n = -1
    maka A = -B