Kumpulan Soal Dan Pembahasan Perkalian Matriks

Dua buah matriks A dan B sanggup dikalikan bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.

Misalnya matriks ordo 2 x 3 sanggup dikalikan dengan matriks ordo 3 x 3 tetapi tidak sanggup dikalikan dengan matriks berordo 3 x 2 alasannya ialah jumlah baris matriks ordo 3 x 2 tidak sama dengan jumlah kolom matriks ordo 2 x 3.

Prinsip perkalian dua matriks ialah mengalikan komponen yang berada pada baris matriks pertama dengan komponen yang berada pada kolom matriks kedua. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola yang akan kita bahas.

Konsep Perkalian Matriks

Bila, matriks A dan B menyerupai didiberikan di bawah ini, maka A.B ialah sebagai diberikut :

Dari pola di atas sanggup dilihat bahwa ordo hasil kali dua buah matriks bergantung pada banyak baris matriks pertama dan banyak kolom matriks kedua. 

Amxn . Bnxk = Cmxk

Misal :

A2x3 dikali dengan B3x3 akan menghasilkan matriks C2X3

A3X4 dikali dengan B4x2 akan menghasilkan matriks C3X2

A3X1 dikali dengan B1x3 akan menghasilkan matriks C3X3

A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks C1X1

Kumpulan Soal Perkalian Matriks

1. Matriks A dan B masing-masing menyerupai di bawah ini. Tentukan A.B dan B.A
   
   

   

   
   Pembahasan :
   A2X2 dikali dengan B2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.
   

   

   
   B2X2 dikali dengan A2X2 akan menghasilkan matriks 2x2.
   

   

   
   Dari hasil yang diperoleh sanggup kita lihat bahwa AB ≠ BA
   
   
2. Matriks P dan Q ialah sebagai diberikut :
   
   

   

   
   Pembahasan :
   P2X3 dikali dengan Q3X3 akan menghasilkan matriks 2x3.
   

   

   
   
3. Tentukan hasil kali K.M jikalau K dan M menyerupai di bawah ini.
   
   

   

   
   Pembahasan :
   K3X1 dikalikan dengan M1X3 akan menghasilkan matriiks 3x3
   

   

   
   
4. Matriks A dan B masing-masing menyerupai di bawah ini. Tentukan A.B
   
   

   

   
   Pembahasan :
   A1X3 dikali dengan B3X1 akan menghasilkan matriks 1x1
   

   
   
   
5. Tentukan hasil dari A.B :
   
   

   

   
   Pembahasan :
   A4X3 dikali dengan B3X2 akan menghasilkan matriks ordo 4x2
   

   


6. Bila matriks A ialah matriks 2x2 menyerupai di bawah ini, maka tentukanlah A²
   
   

   

   
   Pembahasan :
   

   
   
   
7. Buktikan bahwa A.I = I.A. melaluiataubersamaini matriks A menyerupai pada soal no 6 dan I matriks identitas 2x2.
   
   
   Pembahasan :
   

   

   
   
8. Tentukan A.B jikalau A dan B menyerupai di bawah ini.
   
   

   

   
   Pembahasan :
   Karena A2X2 dan B2X1 maka kesannya ialah matriks ordo 2x1 menyerupai ini.
   

   

   
   
9. Berikan dua matriks A dan B yang memenuhi persamaan (A+B)² = A² + B²
   
   Pembahasan :
   (A+B)² = A² + B²
   A² + AB + BA + B² = A² + B² ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
   A² + B² - A² - B² + AB + BA = 0
   AB + BA = 0
   
   Untuk tujuan praktis, anggaplah AB = 0 dan BA = 0 dengan begitu AB + BA = 0.
   Beberapa syarat semoga AB = BA = 0 antara lain :
   

   • Kedua matriks ialah matriks persegi yang mempunyai ordo sama alasannya ialah jikalau ordo tidak sama niscaya AB tidak akan sama dengan -BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? alasannya ialah A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Makara melihat ordonya saja sudah terang mustahil sama.
   • Kedua matriks mempunyai komponen yang sama dengan komponen faktual pada baris pertama dan komponen negatif pada baris kedua. 

   
   Misalnya matriks A dan B ialah :
   
   

   

   Pembuktian :
        (A+B)² = A² + B²
   

   

   
   
10. Berikan dua matriks yang memenuhi persamaan A² - B² = (A - B)(A + B)
    
    Pembahasan :
    A² - B² = (A - B)(A + B)
    A² - B² = A² + AB - BA - B² ---> ingat bahwa pada matriks belum tentu AB = BA
    A² - B² - A² + B² = AB - BA
    0 = AB- BA
    AB = BA
    
    Beberapa syarat semoga AB = BA antara lain:
    

    • Kedua matriks harus matriks persegi misal 2x2, 3x3 dan lain sebagainya. Kedua matriks harus mempunyai ordo sama alasannya ialah jikalau ordo tidak sama niscaya AB tidak akan sama dengan BA. Sebagai contoh, matriks A2X3.B3X2 ≠ B3X2.A2X3. Kenapa? alasannya ialah A2X3.B3X2 = C2X2 sedangkan B3X2.A2X3 = C3X3. Makara melihat ordonya saja sudah terang mustahil sama.
    • Masing-masing matriks mempunyai komponen yang sama di tiruana sel alasannya ialah jikalau matriks mengandung komponen yang tidak sama, ketika dibalik maka kesannya akan tidak sama.

    
    Misal matriks A dan B ialah sebagai diberikut :
    
    

    

    
    Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka diperoleh :
    ak + bm = ka + lc
    al + an = kb + ld 
    ak + dm = ma + nc
    al + dn = mb + nd
    untuk tujuan praktis, maka sanggup dibentuk a = b = c = d dan k = l = m = n.
    
    Salah satu alternatif yang sanggup memenuhi persyaratan AB = BA ialah matriks persegi ordo 2x2 dengan komponen matriks sama di tiruana sel. contohnya menyerupai diberikut :
    
    

    

    
    Pembuktian :
    
         A² - B² = (A - B)(A + B)
    

    

Read more : Soal dan Pembahasan Konsep Kesamaan Matriks.