Kumpulan Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Pada pembahasan sebelumnya kita sudah melihat bahwa terdapat suatu hubungan yang saling terkait antara nilai perbandingan trigonometri satu sudut dengan sudut lainnya. Prinsip hubungan tersebut memungkinkan kita untuk memilih nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut menurut nilai perbandingan trigonometri sudut lainnya.

Hal ini tentu menjadi ciri khas dalam trigonometri. Hubungan-hubungan antar sudut tersebut kemudian menjadi identitas trigonometri yang yakni patokan dasar dalam penyelesaian soal-soal trigonometri yang lebih kompleks.

Identitas trigonometri sanggup berupa hubungan kebalikan antar perbandingan trigonometri, hubungan perbandingan (kuosien), dan identitas dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Phytagoras.

Soal dan Jawaban Identitas Trigonometri

1. Jika diketahui cosec β = 2 dan sudut β berada di kuadran kedua, maka tentukanlah nilai :
   a. cot β
   b. sin β
   c. cos β
   
   Pembahasan
   

   1. Berdasarkan identitas, 1 + cot² β = cosec² β.
      ⇒ 1 + cot² β = cosec² β
      ⇒ 1 + cot² β = 2²
      ⇒ cot² β = 2² - 1
      ⇒ cot² β = 4 - 1
      ⇒ cot² β = 3
      ⇒ cot β = ± √3
      Ingat bahwa untuk sudut di kuadran II nilai cotangen negatif.
      Jadi, cot β = - √3.
      
      
   2. sin β = 1/cosec β
      ⇒ sin β = 1/2
      Jadi  sin β = ½
      
      
   3. cot β = cos β / sin β
      ⇒ cos β = cot β . sin β
      ⇒ cos β = -√3 (½)
      Jadi, cos β = - ½√3.
      
      

   
   
2. melaluiataubersamaini memakai rumus sin² α + cos² α = 1, buktikan bahwa 1 + tan² α = sec² α.
   
   Pembahasan
   Dari rumus tan α = sin α / cos α, diperoleh sin α = tan α . cos α.
   sin² α + cos² α = 1
   ⇒ (tan α . cos α)² + cos² α = 1
   ⇒ tan² α . cos² α + cos² α = 1
   ⇒ (tan² α + 1) cos² α = 1
   ⇒ tan² α + 1 = 1/ cos² α
   Ingat bahwa 1/cos α = sec α, sehingga :
   ⇒ tan² α + 1 = sec² α
   ⇒ 1 + tan² α = sec² α
   Terbukti.
   
   
   
3. Dari rumus sin² α + cos² α = 1, tunjukkan bahwa 1 + cot² α = cosec² α.
   
   Pembahasan
   Dari rumus cot α = cos α / sin α, diperoleh cos α = cot α . sin α.
   sin² α + cos² α = 1
   ⇒ sin² α +  (cot α . sin α)²  = 1
   ⇒ sin² α +  cot² α . sin² α  = 1
   ⇒ (1 + cot² α). sin² α  = 1
   ⇒ 1 + cot² α = 1/sin² α
   Ingat bahwa 1/sin α = cosec α, sehingga :
   ⇒ 1 + cot² α = cosec² α
   Terbukti.
   
   
   
4. melaluiataubersamaini memakai identitas trigonometri, tunjukkan bahwa :
   a. sin α = ± √(1 - cos² α)
   b. sin α = ± √(1 - sin² α)
   
   Pembahasan
   

   1. sin² α + cos² α = 1
      ⇒ sin² α = 1 - cos² α
      ⇒ sin α = ± √(1 - cos² α)
      Terbukti.
      
      
   2. sin² α + cos² α = 1
      ⇒ cos² α = 1 - sin² α
      ⇒ cos² α = ± √(1 - sin² α)
      Terbukti.
      
      

   

   
   
5. Dari rumus 1 + tan² α = sec² α, tunjukkan bahwa tan α = ± √(-1 + sec² α)
   
   Pembahasan
   1 + tan² α = sec² α
   ⇒ tan² α = sec² α - 1
   ⇒ tan² α = -1 + sec² α
   ⇒ tan α = ± √(-1 + sec²)
   Terbukti.