Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sudut Berelasi Kuadran Ii

Sebelumnya sudah dibahas terkena nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang berada pada kuadran I dan II menurut sudut relasinya. Pada halaman ini selanjutnya disajikan beberapa pola soal terkena nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di kuadran II dan III dengan prinsip-prinsip perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Seperti sebelumnya, poin penting yang harus kita perhatikan dalam kepingan ini yaitu tanda untuk nilai perbandingan trigonomertri. Ingat bahwa sudut yang berada di kuadran II, spesialuntuk perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.

Sedangkan untuk sudut kuadran III, spesialuntuk tangen dan cotangen yang bernilai positif. Di bawah ini disajikan ilustrasi dan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut berelasi yang berada pada kuadran II dan III dengan rumus sudut (180^o - α) dan (180^o + α).

Trigonometri sudut (180^o - α) dan (180^o + α)

1. Hitunglah nilai dari :
   a. sin 120^o
   b. cos 135^o
   c. tan 150^o
   d. cosec 240^o
   e. sec 225^o
   f. cot 210^o
   
   Pembahasan
   

   1. sin 120^o = sin (180^o - 60^o)
      ⇒ sin 120^o = sin 60^o
      Jadi, sin 120^o = ½√3.
   
   
   2. cos 135^o = cos (180^o - 45^o)
      ⇒ cos 135^o = -cos 45^o
      Jadi, cos 135^o = -½√2.
   
   
   3. tan 150^o = tan (180^o - 30^o)
      ⇒ tan 150^o = -tan 30^o
      Jadi, tan 150^o = -1/3.√3
   
   
   4. cosec 240^o = cosec (180^o + 60^o)
      ⇒ cosec 240^o = -cosec 60^o
      Jadi, cosec 240^o = -2/3.√3
   
   
   5. sec 225^o = sec (180^o + 45^o)
      ⇒ sec 225^o = -sec 45^o
      Jadi, sec 225^o = -√2
   
   
   6. cot 210^o = cot (180^o + 30^o)
      ⇒ cot 210^o = cot 30^o
      Jadi, cot 210^o = √3.
      
      

   
   
2. melaluiataubersamaini memakai rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180^o + α^o), hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri diberikut ini!
   a. sin 225^o
   b. cos 210^o
   c. cos 240^o
   d. tan 225^o
   
   Pembahasan
   

   1. sin 225^o = sin (180^o + 45^o)
      ⇒ sin 225^o = -sin 45^o
      Jadi, sin 225^o = -½√2.
   
   
   2. cos 210^o = cos (180^o + 30^o)
      ⇒ cos 210^o = -cos 30^o
      Jadi, cos 210^o = -½√3.
   
   
   3. cos 240^o = cos (180^o + 60^o)
      ⇒ cos 240^o = -cos 60^o
      Jadi, cos 240^o = -½.
   
   
   4. tan 225^o = tan (180^o - 45^o)
      ⇒ tan 225^o = tan 45^o
      Jadi, tan 225^o = 1.
   
   
   
   
3. Nyatakan perbandingan trigonometri diberikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut pelurus!
   a. sin 142^o
   b. cos 172^o
   c. tan 129^o
   d. sec 146^o
   e. cosec 161^o
   
   Pembahasan
   

   1. sin 142^o = sin (180^o - 38^o)
      ⇒ sin 142^o = sin 38^o
      Jadi, sin 142^o = sin 38^o.
   
   
   2. cos 172^o = cos (180^o - 8^o)
      ⇒ cos 172^o = -cos 8^o
      Jadi, cos 172^o = -cos 8^o 
   
   
   3. tan 129^o = tan (180^o - 51^o)
      ⇒ tan 129^o = -tan 51^o
      Jadi, tan 129^o = -tan 51^o
   
   
   4. sec 146^o = sec (180^o - 34^o)
      ⇒ sec 146^o = -sec 34^o
      Jadi, sec 146^o = -sec 34^o
   
   
   5. cosec 161^o = cosec (180^o - 19^o)
      ⇒ cosec 161^o = cosec 19^o
      Jadi, cosec 161^o = cosec 19^o
   
   

   
   
4. Sederhanakan setiap bentuk diberikut.
   a. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o - α^o)
   b. cot (90^o + α^o) / sec (180^o - α^o)
   c. sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o)
   
   Pembahasan 
   

   1. sec (90^o - α^o) / cosec (180^o - α^o) = cosec α^o / cosec α^o
      ⇒ sec (90^o - α^o) / cosec (180^o - α^o) = 1 
       Jadi, sec (90^o - α^o) / cosec (180^o - α^o) = 1.
   
   
   2. cot (90^o + α^o) / sec (180^o - α^o) = -tan α^o / -sec α^o
      ⇒ cot (90^o + α^o) / sec (180^o - α^o) = (sin α^o/cos α^o) / (1/cos α^o)
      Jadi, cot (90^o + α^o) / sec (180^o - α^o) = sin α^o 
   
   
   3. sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o) = -cosec α^o / cot α^o
      ⇒ sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o) = -(1/sin α^o) / (cos α^o/sin α^o)
      ⇒ sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o) = -(1/cos α^o) 
      ⇒ sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o) = -sec α^o 
      Jadi, sec (270^o - α^o) / cot (360^o + α^o) = -sec α^o 

   
   


5. Jika α, β, dan γ yaitu sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkanlah bahwa : 
   a. sin ½(β + γ) = cos ½α
   b. cos ½(β + γ) = sin ½α
   c. tan ½(β + γ) = cot ½α
   
   Pembahasan
   Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180^o, sehingga berlaku :
   α + β + γ = 180^o , → β + γ = 180^o - α.
   
   

   1. sin ½(β + γ) = cos ½α
      ⇒ sin ½(180^o - α) = cos ½α
      ⇒ sin (90^o - ½α) = cos ½α
      ⇒ cos ½α  = cos ½α
      Terbukti. 
   
   
   2. cos ½(β + γ) = sin ½α
      ⇒ cos ½(180^o - α) = sin ½α
      ⇒ cos (90^o - ½α) = sin ½α
      ⇒ sin ½α  = sin ½α
      Terbukti.
      
      
   
   3. tan ½(β + γ) = cot ½α
      ⇒  tan ½(180^o - α) = cot ½α
      ⇒  tan (90^o - ½α) = cot ½α
      ⇒  cot ½α = cot ½α
      Terbukti.