Kumpulan Soal Dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

Soal-soal persamaan kuadrat umumnya tidak jauh dari konsep yang sudah diajarkan di sekolah yaitu memilih akar-akar dengan beberapa metode, memilih nilai konstanta suatu persamaan kuadrat, diskriminan, sampai soal memilih persamaan kuadrat baru. Untuk menjawaban soal-soal persamaan kuadrat, beberapa rumus yang perlu dipahami antara lain bentuk umum persamaan kuadrat, rumus diskriminan, rumus pemfaktoran maupun rumus abc untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat, rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, serta bentuk umum persamaan kuadrat baru. Persamaan kuadrat gres umumnya mempunyai akar-akar yang berelasi dengan akar-akar suatu persamaan kuadrat yang diketahui.

Soal dan Jawaban Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 2x - 5 = 0 ialah x1 dan x2. Hitunglah nilai dari 1/x1 + 1/x2.
   
   Pembahasan 
   Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 3, b = 2, dan c = -5.
   x1 + x2 = -b/a
   ⇒ x1 + x2 = -2/3
   x1.x2 = c/a
   ⇒ x1 . x2 = -5/3
   1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1.x2)
   ⇒ 1/x1 + 1/x2 = (-2/3) / (-5/3)
   ⇒ 1/x1 + 1/x2 = -2/3 . (-3/5)
   ⇒ 1/x1 + 1/x2 = 2/5
   ⇒ 1/x1 + 1/x2 = 0,4.
   
   
2. Jika x1 dan x2 ialah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² - 6x - p = 0 dan x1 - x2 = 5, maka tentukanlah nilai p. 
   
   Pembahasan 
   Dari persamaan kuadrat di soal dikertahui a = 2, b = -6, dan c = -p.
   x1 - x2 = (√D) / a
   ⇒ (x1 - x2) a = √D
   ⇒ (x1 - x2) a = √(b² - 4.a.c)
   ⇒ 5(2) = √(36 - 4.2.(-p)
   ⇒ 10 = √(36 + 8p)
   ⇒ 100 = 36 + 8p
   ⇒ 8p = 64
   ⇒ p = 8.

Read more : Menentukan Jenis dan Sifat Akar Persamaan Kuadrat.

3. jika x1 dan x2 ialah akar dari persamaan 3^2x + 3^3-2x - 28 = 0, maka tentukanlah jumlah kedua akar tersebut.
   
   Pembahasan 
   Untuk menuntaskan soal menyerupai ini, kita perlu mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan kuadrat yang sederhana.
   3^2x + 3^3-2x - 28 = 0; misalkan 3^2x = a
   ⇒ 3^2x + (3³)/3^2x - 28 = 0
   ⇒ a + 27/a - 28 = 0
   ⇒ a² - 27 - 28a = 0
   ⇒ a² - 28a - 27 = 0
   ⇒ (a - 1)(a - 27) = 0
   ⇒ a = 1 atau a = 27
   Untuk a = 1, maka :
   3^2x = a
   ⇒ 3^2x =1
   ⇒ 3^2x = 3⁰
   ⇒ 2x = 0
   ⇒ x1 = 0
   Untuk a = 27, maka :
   3^2x = a
   ⇒ 3^2x = 27
   ⇒ 3^2x = 3³
   ⇒ 2x = 3
   ⇒ x2 = 3/2
   Jadi  x1 + x2 = 0 + 3/2 = 3/2.

4. Suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar  x1 dan x2. Jika persamaan kuadrat tersebut ialah 2x² - 3x - 5 = 0 , maka tentukanlah sebuah persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya -1/x1 dan -1/x2.
   
   Pembahasan
   Dari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 2, b = -3, dan c = -5.
   x1 + x2 = -b/a
   ⇒ x1 + x2 = -(-3)/2
   ⇒ x1 + x2 = 3/2
   x1.x2 = c/a
   ⇒ x1.x2 = -5/2
   
   Persamaan kuadrat gres sanggup ditentukan dengan rumus :
   x² - (α + β)x + α.β = 0
   dengan α dan β ialah akar-akar persamaan kuadrat baru.
   Pada soal diketahui α = -1/ x1  dan β = -1/x2.
   α + β = (-1/x1) + (-1/x2)
   ⇒ α + β = (-1/x1) - (1/x2)
   ⇒ α + β = (-x2 - x1) / (x1.x2)
   ⇒ α + β = - (x1 + x2) / (x1.x2)
   ⇒ α + β = -(3/2) / (-5/2)
   ⇒ α + β = 3/5
   
   α.β = -1/ x1 . (-1/x2)
   ⇒ α.β = 1/(x1.x2)
   ⇒ α.β = 1/ (-5/2)
   ⇒ α.β = -2/5
   
   Kaprikornus persamaan kuadrat yang akarnya -1/ x1 dan -1/x2 adalah :
   x² - (α + β)x + α.β = 0
   ⇒ x² - 3/5x + (-2/5) = 0 
   ⇒ x² - 3/5x - 2/5 = 0
   ⇒ 5x² - 3x - 2 = 0.

Read more : Pembahasan Soal Ujian Nasional Tentang Persamaan Kuadrat.

5. Suatu persamaan kuadrat x² - px + p + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika diketahui x1 - x2 = 1, tentukanlah nilai p yang memenuhi persamaan tersebut.
   
   
   Pembahasan
   Diketahui : a = 1, b = -p, c = p + 1.
   x1 - x2 = (√D) / a
   ⇒ (x1 - x2) a = √D
   ⇒ (x1 - x2) a= √(b² - 4.a.c)
   ⇒ 1(1) = √(p² - 4.1.(p + 1))
   ⇒ 1 = √(p² - 4p - 4)
   ⇒ 1 = p² - 4p - 4
   ⇒ p² - 4p - 5 = 0
   ⇒ (p - 5)(p + 1) = 0
   ⇒ p = 5 atau p = -1.

6. Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0 ialah x1 dan x2. Tentukanlah persamaan kuadrat gres yang mempunyai akar-akar (x1 - 2) dan (x2 - 2).

   Rumus Umum Persamaan Kuadrat

   

   
   Pembahasan
   Dari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 1, b = 2, dan c = 3.
   x1 + x2 = -b/a
   ⇒ x1 + x2 = -2/1
   ⇒ x1 + x2 = -2
   x1.x2 = c/a
   ⇒ x1.x2 = 3/1
   ⇒ x1.x2 = 3
   
   Persamaan kuadrat gres sanggup ditentukan dengan rumus :
   x² - (α + β)x + α.β = 0
   dengan α dan β ialah akar-akar persamaan kuadrat baru.
   Pada soal diketahui α = (x1 - 2)  dan β = (x2 - 2).
   α + β = (x1 - 2) + (x2 - 2)
   ⇒ α + β = (x1 + x2) - 4
   ⇒ α + β = -2 - 4
   ⇒ α + β = -6
   
   α.β = (x1 - 2)(x2 - 2)
   ⇒ α.β = x1.x2 - 2x1 - 2x2 + 4
   ⇒ α.β = x1.x2 - 2(x1 + x2) + 4
   ⇒ α.β = 3 - 2(-2) + 4
   ⇒ α.β = 3 + 4 + 4
   ⇒ α.β = 11
   
   Kaprikornus persamaan kuadrat yang akarnya (x1 - 2) dan (x2 - 2) adalah :
   x² - (α + β)x + α.β = 0
   ⇒ x² - (-6)x + 11 = 0 
   ⇒ x² + 6x + 11 = 0

Read more : Soal dan Jawaban Jumlah dan Hasil Kali Akar.