Vektor Dalam Kajian Matematika

Vektor yaitu segmen garis berarah yang dikarakteristikkan menurut dua hal, yaitu panjang dan arahnya.

Vektor digambarkan mirip anak panah. Panjang anak panah merepresentasikan besar/nilai vektor, sedangkan arah anak panah merepresentasikan arah vektor.

Yang membedakan suatu vektor dengan vektor yang lain yaitu panjang dan arah masing-masing vektor, bukan dimana posisi ia ditempatkan. Oleh lantaran itu, vektor sanggup dipindah-pindah posisinya selama panjang dan arahnya tidak diubah.

Vektor dikatakan berada pada posisi standar, kalau titik awalnya berada pada titik asal O, mirip pada gambar dibawah.

Vektor yang titik awalnya berada pada titik asal O disebut juga dengan vektor posisi.


Vektor sanggup membuktikan posisi suatu titik terhadap titik lainnya, dalam hal ini yaitu jarak sekaligus arah suatu titik terhadap titik lainnya.

Vektor PQ ditulis \(\mathrm{\overrightarrow{PQ}}\) yaitu segmen garis berarah dengan titik awal P dan titik ujung Q.

Vektor PQ menginformasikan dua hal, yaitu jarak dari titik P ke titik Q dan arah titik Q dari titik P.


Dalam matematika, vektor didiberikan nama dengan memakai abjad kecil, mirip a, b, c, u, v dan lain-lain.

Untuk membedakan vektor dengan variabel, didiberikan tanda panah diatas abjad tersebut, atau sanggup juga memakai abjad yang dicetak tebal.

\(\vec{a}\) dibaca "vektor a"
u dibaca "vektor u"
PQ dibaca "vektor PQ"

Komponen-Komponen Vektor

Vektor pada ruang dimensi dua (R²) mempunyai dua komponen standar, yaitu komponen sumbu x dan komponen sumbu y. Komponen-komponen ini sanggup disajikan dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom.

a = \(\begin{align}
[a_{1},a_{2}]
\end{align}      \)     →   vektor baris di R²

a = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{1}\\a_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R²

Ketika a ditempatkan pada posisi standar, a₁ ialah titik hasil proyeksi a terhadap sumbu x, sedangkan a₂ ialah titik hasil proyeksi a terhadap sumbu y.

Vektor pada ruang dimensi tiga (R³) mempunyai tiga komponen standar, yaitu komponen sumbu x, y dan z.

b = \(\begin{align}
[b_{1},b_{2},b_{3}]
\end{align}\)     →   vektor baris di R³

b = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ b_{2}
\\ b_{3}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R³

dimana b₁ , b₂ dan b₃ berturut-turut yaitu titik hasil proyeksi b terhadap sumbu x, y, dan z pada sistem koordinat tiga dimensi.

Panjang Vektor

Panjang a dinotasikan dengan |a|. Atau sering pula dituliskan dengan ||a|| untuk membedakannya dengan tanda mutlak.

Misalkan a = [a₁ , a₂] yaitu suatu vektor di R² dan b = [b₁ , b₂ , b₃] yaitu suatu vektor di R³, mirip pada gambar.

Berdasarkan teorema phythagoras, maka panjang a dan b dirumuskan

|a| = \(\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}\)

|b| = \(\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+{b_{3}}^{2}}\)

misal 1
Tentukan panjang vektor-vektor diberikut!
u = [3 , -4]
v = [2 , 4 , -2]

Jawab :
Panjang u adalah
|u| = \(\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5\)

Panjang v adalah
|v| = \(\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{6}\)

Vektor Nol

Vektor nol dinotasikan dengan \(\vec{0}\) atau 0, yaitu suatu vektor yang panjangnya nol. Semua komponen-komponen dari vektor nol bernilai nol.

0 = [0, 0]       → vektor nol di R²
0 = [0, 0, 0]   → vektor nol di R³

Dua anak yang sedang menarikdanunikdanunik seutas tali berlawanan arah dengan gaya yang sama besar sanggup kita representasikan sebagai vektor nol.

Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih sanggup dijumlahkan asalkan vektor-vektor tersebut berada pada ruang dimensi yang sama.

Secara geometris, ada dua metode yang sering dipakai pada penjumlahan vektor, yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Metode Segitiga
Tempatkan titik ujung a berhimpit dengan titik awal b. (tanpa mengubah panjang dan arah kedua vektor)

Jumlah atau resultan a dan b ditulis a + b adalah ruas garis berarah yang ditarik dari titik awal a ke titik ujung b.

Metode jajar genjang
Tempatkan titik awal a berhimpit dengan titik awal b, kemudian bentuk sebuah jajar genjang.

Jumlah a dan b ditulis a + b adalah diagonal jajar genjang yang ditarik dari titik awal a atau b.

Sifat-sifat pada penjumlahan vektor :
Komutatif : a + b = b + a
Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
Identitas : a + 0 = 0 + a = a
Invers : a + (-a) = 0

Komponen-komponen dari (a + b) diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R².
Jika a = [a₁ , a₂] dan b = [b₁ , b₂] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R³.
Jika a = [a₁ , a₂ , a₃] dan b = [b₁ , b₂ , b₃] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\\ a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)

misal 2
Jika a = [3, -2] dan b = [4, 1], maka a + b = ...

Jawab :
a + b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
4\\ 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
7\\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a + b = [7, -1]


Selain dua metode diatas, kita juga mengenal sebuah metode yang sering disebut dengan metode poligon. Konsepnya hampir sama dengan metode segitiga (ujung ke awal). Metode ini sangat cocok dipakai pada penjumlahan lebih dari dua vektor.

Pengurangan Vektor

Pengurangan a dengan b, ditulis a - b adalah jumlah dari a dengan -b. Secara matematis,
a - b = a + (-b) 

dimana -b adalah invers dari b, yaitu vektor yang sama panjang namun berlawanan arah dengan b.

Gambar dibawah menawarkan vektor a - b yang diperoleh dengan memakai metode segitiga.

Vektor (a - b) juga sanggup kita tentukan secara cepat dengan menarikdanunikdanunik ruas garis berarah dari titik ujung b ke titik ujung a, sehabis sebelumnya titik awal kedua vektor ditempatkan berhimpit, mirip pada gambar diberikut.

Komponen-komponen dari (a - b) diperoleh dengan cara mengurangkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R².
Jika a = [a₁ , a₂] dan b = [b₁ , b₂] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R³.
Jika a = [a₁ , a₂ , a₃] dan b = [b₁ , b₂ , b₃] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\\ a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)

misal 3
Jika a = [3, 4, 2] dan b = [2, 0, -3], maka a - b = ...

Jawab :
a - b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\\ 2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 0
\\ -3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a - b = [1, 4, 5]

Vektor Posisi

Vektor posisi yaitu suatu vektor yang merepresentasikan posisi suatu titik di ruang terhadap titik asal O.

Vektor posisi dari titik P, ditulis OP menerangkan dua hal, yaitu jarak dari P ke O dan arah P dari O.

Dari gambar diatas sanggup kita lihat bahwa komponen-komponen dari OP tidak lain yaitu koordinat dari titik P itu sendiri.

Jadi, vektor posisi dari titik P(x₁, y₁) adalah
OP = [x₁, y₁].

Vektor posisi sanggup membuktikan hubungan antara komponen-komponen suatu vektor dengan koordinat titik awal dan titik ujung dari vektor tersebut.

Misalkan OP = p dan OQ = q berturut-turut yaitu vektor posisi dari titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂).

Berdasarkan hukum segitiga, kita peroleh

PQ = q - p

Apabila kita libatkan komponen-komponennya, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai diberikut.

Jika P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) yaitu titik-titik di R², maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)


Jika P(x₁ , y₁ , z₁) dan Q(x₂ , y₂ , z₂) yaitu titik-titik di R³, maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\\ z_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\\ z_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\\ z_{2}-z_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)

dimana PQ yaitu suatu vektor dengan titik awal P dan titik ujung Q.


misal 4
Diketahui A(2, 3) , B(1, 4) dan C(5, 0) yaitu titik-titik di R². Tentukan AB dan CA.

Jawab :
AB \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

CA \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
5\\ 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3\\ 3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, AB = [-1, 1]   dan   CA = [-3, 3]

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian suatu vektor dengan skalar k akan menghasilkan vektor gres yang panjangnya |k| kali dari panjang vektor tiruanla. Skalar disini tidak lain yaitu bilangan real.

Jika k > 0 maka vektor yang dihasilkan akan searah dengan vektor tiruanla, sebaliknya kalau k < 0 maka vektor yang dihasilkan akan berlawanan arah dengan vektor tiruanla.

Jika a = [a₁ , a₂] yaitu vektor di R² dan k yaitu skalar, maka

ka \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}a_{1}\\ \mathrm{k}a_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)

Jika b = [b₁ , b₂ , b₃] yaitu vektor di R³ dan k yaitu skalar, maka

kb \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}b_{1}\\ \mathrm{k}b_{2}\\ \mathrm{k}b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)

misal 4
Diketahui a = [4, -6] dan b = [1, 4, 5].
Tentukan \(\frac{1}{2}\)a dan 3b

Jawab :
\(\frac{1}{2}\)a \(\begin{align}
=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
4\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\ -3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

3b \(\begin{align}
=3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 15
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, \(\frac{1}{2}\)a = [2, -3] dan 3b = [3, 12, 15]


Ketika k = -1, vektor yang dihasilkan akan sama panjang dan berlawanan arah dengan vektor tiruanla.

Dua vektor yang sama panjang namun berlawanan arah disebut saling invers. Jadi, p dan -p yaitu dua vektor yang saling invers.

misal lain, AB dan -AB juga ialah dua vektor yang saling invers.

Jika kita perhatikan, -AB tidak lain yaitu BA. Dapat kita tulis,

 -AB = BA   atau   AB = -BA

Jumlah dari dua vektor yang saling invers yaitu vektor nol. Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan saling invers kalau dan spesialuntuk jika

a + b = 0

Vektor Satuan

Vektor satuan yaitu suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari u ditulis \(\mathbf{\hat{u}}\) yaitu suatu vektor yang panjangnya satu satuan dan searah dengan u. Vektor satuan dari u dirumuskan $$\mathbf{\hat{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\,\mathbf{u}$$
dimana
|u| = panjang u
\(\mathbf{\hat{u}}\) = vektor satuan dari u


misal 5
Vektor satuan dari p = [3 , 4] yaitu ...

Jawab :
p = [3, 4]    ⟶    |p| = √(3² + 4²) = 5

Vektor satuan dari p adalah
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{p}}=\frac{1}{|\mathbf{p}|}\,\mathbf{p}=\frac{1}{5}\,[3,4]=\left [ \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right ]
\end{align}\)


Apabila vektor satuan dari u, yaitu \(\mathbf{\hat{u}}\) kita kalikan dengan panjang v, yaitu |v|, maka akan diperoleh sebuah vektor yang panjangnya |v| dan searah dengan u. Vektor yang diperoleh ini tidak lain yaitu v. Faktanya,

Jika u searah dengan v maka berlaku

\(\mathbf{v=|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=|u|\,\hat{v}}\)

Jika u berlawanan arah dengan v maka berlaku

\(\mathbf{v=-|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=-|u|\,\hat{v}}\)

misal 6
Tentukan sebuah vektor yang panjangnya 10 dan berlawanan arah dengan u = [3, 4].

Jawab :
Misalkan vektor yang dimaksud adalah v, dengan |v| = 10

Karena u dan v berlawanan arah, maka berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=-|\mathbf{v}|\;\mathbf{\hat{u}}\\
&=-10\,\frac{1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\,[3,4]\\
&=-2\,[3,4]\\
&=[-6,-8]
\end{align}\)

Basis Standar

Basis standar yaitu himpunan vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat kartesius. Karena searah dengan sumbu-sumbu koordinat, vektor-vektor ini saling tegak lurus.

Basis standar di R² dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1]  ➝ searah sumbu y positif

Basis standar di R³ dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1, 0]  ➝ searah sumbu y positif
\(\hat{k}\) = [0, 0, 1]  ➝ searah sumbu z positif

Komponen-komponen vektor pada suatu ruang dimensi tertentu sanggup ditetapkan sebagai kombinasi linier dari basis standar di ruang dimensi tersebut.

Misalkan u = [u₁ , u₂]  yaitu vektor di R²
\(\begin{align}
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}
u_{1}\\ u_{2}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ u_{2}
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\end{bmatrix}+u_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\,\hat{i}+u_{2}\,\hat{j}
\end{align}\)


Misalkan v = [v₁ , v₂ , v₃] yaitu vektor di R³
\(\begin{align}
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
v_{1}\\ v_{2}
\\ v_{3}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
v_{1}\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ v_{2}
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ v_{3}
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{3}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\,\hat{i}+v_{2}\,\hat{j}+v_{3}\,\hat{k}
\end{align}\)


misal 7
Nyatakan u = 2i - 6j + 3k dalam vektor baris dan v = [1, 0, -4] dalam vektor basis!

Jawab :
u =  2i - 6j + 3k  =  [2, -6, 3]
v =  [1, 0, -4]  =  i - 4k

Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama kalau keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama.

Dua vektor yang sama tidak harus berada pada posisi yang sama. Selama keduanya mempunyai panjang dan arah yang sama, kita tulis PS = QR.

Dua vektor yang sama sanggup diidentifikasi dari komponen-komponen yang seletak dari kedua vektor tersebut.

Misalkan a = [a₁, a₂] dan b = [b₁, b₂].

a = b   ⇔   a₁= b₁ dan a₂ = b₂

Vektor-Vektor Kolinear

Dua vektor atau lebih dikatakan segaris atau kolinear (collinear) kalau vektor-vektor tersebut sanggup ditempatkan berhimpit pada satu garis.

melaluiataubersamaini demikian, vektor-vektor yang sejajar juga sanggup dikatakan kolinear, lantaran vektor-vektor yang sejajar sudah niscaya sanggup ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Bangun diberikut dibuat oleh sebuah jajar genjang dan trapesium sama kaki. Coba tentukan tiruana vektor yang kolinear dengan AF dan ED.

Vektor-vektor yang kolinear dengan AF, yaitu
FA, EF, FE, AE, EA, BC, CB

Vektor-vektor yang kolinear dengan ED, yaitu
DE, CF, FC, AB, BA

Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan kolinear kalau dan spesialuntuk kalau terdapat bilangan real k, dengan k ≠ 0, sedemikian sehingga berlaku

a = kb

misal 8
Jika u = [6, 9]  dan  v = [2, p] yaitu dua vektor yang kolinear, maka p = ...

Jawab :
Karena u dan v kolinear, maka akan terdapat bilangan k sehingga berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=k\mathbf{v}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=k\begin{bmatrix}
2\\ p
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
2k\\ kp
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan :
6 = 2k   ⇔   k = 3
9 = kp   ⇔   9 = 3p   ⇔   p = 3

Aljabar Vektor

Vektor sanggup diekspresikan dalam bentuk-bentuk aljabar, mirip (2u + 3u), 3(u - 2v) dan lain-lain.

Vektor-vektor aljabar ini sanggup disederhanakan layaknya menyederhanakan persamaan linier biasa. Sebagai contoh,

2u + 3u = 5u

3(u - 2v) = 3u - 6v

Kita sanggup memisalkan u = [u₁ , u₂] dan v = [v₁ , v₂] kemudian membandingkan hasil ruas kiri dan ruas kanan untuk meyakinkan kita bahwa penyederhanaan mirip diatas yaitu valid.


Dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar vektor mirip diatas, boleh-boleh saja kita memandang u dan v sebagai variabel.

Namun, yang perlu kita ingat bahwa u dan v bukan merepresentasikan bilangan layaknya variabel, melainkan sesuatu yang mempunyai nilai dan arah. Jadi, tidak tiruana operasi-operasi aljabar sanggup diterapkan kepadanya.


misal 9
Jika p = 3a + 2b dan q = a - 4b, nyatakan vektor (2p - q) dalam vektor a dan b

Jawab :
\(\begin{align}
2\mathbf{p}-\mathbf{q}&=2(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})-(\mathbf{a}-4\mathbf{b})\\
&=6\mathbf{a}+4\mathbf{b}-\mathbf{a}+4\mathbf{b}\\
&=5\mathbf{a}+8\mathbf{b}
\end{align}\)

Jadi, 2p - q = 5a + 8b

Soal Latihan Vektor

Latihan 1
Diketahui trapesium sama kaki ABCD, mirip pada gambar.

Sederhanakan ekspresi-ekspresi vektor diberikut!
(a)   BC + CB
(b)   AB + DA
(c)   AC - DC
(d)   AD + DB + BC
(e)   AC + BD - BC

Jawab :
\(\begin{align}
(\mathrm{a})\;\;\mathbf{BC+CB=0}
\end{align}\)

\(\begin{align}
(\mathrm{b})\;\;\mathbf{AB+DA}&=\mathbf{DA+AB}\\
&=\mathbf{DB}
\end{align}\)


\(\begin{align}
(\mathrm{c})\;\;\mathbf{AC-DC}&=\mathbf{AC+(-DC)}\\
&=\mathbf{AC+CD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)


\(\begin{align}
(\mathrm{d})\;\;\mathbf{AD+DB+BC}&=\mathbf{(AD+DB)+BC}\\
&=\mathbf{AB+BC}\\
&=\mathbf{AC}
\end{align}\)


\(\begin{align}
(\mathrm{e})\;\;\mathbf{AC+BD-BC}&=\mathbf{AC+(-BC)+BD}\\
&=\mathbf{AC+CB+BD}\\
&=\mathbf{AB+BD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)



Latihan 2
Bentuk persamaan vektor yang sesuai dengan diagram diberikut!

Jawab :
(a)   u + v = w
(b)   p + q + r = 0



Latihan 3
Diketahui jajar genjang PQRS dengan T yaitu titik potong kedua diagonalnya, mirip pada gambar. Jika PS = a dan PQ = b, nyatakan PT dan TQ dalam a dan b.

Jawab :
PT = \(\frac{1}{2}\)PR
PT = \(\frac{1}{2}\)(PS + PQ)
PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)

TQ = \(\frac{1}{2}\)SQ
TQ = \(\frac{1}{2}\)(PQ - PS)
TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)

Jadi, PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)  dan  TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)



Latihan 4
Diketahui a = 2i - j + 3k, b = i + 4j dan c = 2j + k yaitu vektor-vektor di R³. Jika v = 2a - 3b + c, tentukan v

Jawab :
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=2\begin{bmatrix}
2\\ -1
\\ 3
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
4\\ -2
\\ 6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1\\ -12
\\ 7
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, v = i - 12j + 7k



Latihan 5
Jika P(-5, 3, 2) dan Q(1, 3, -6) yaitu titik-titik di R³, maka panjang PQ yaitu ...

Jawab :
PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 3
\\ -6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-5\\ 3
\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
6\\ 0
\\ -8
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Panjang PQ adalah
|PQ| \(\begin{align}
=\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}=10
\end{align}\)



Latihan 6
Jika A(-2, p, -4), B(4, 2, 4) dan C(7, 1, q) yaitu titik-titik yang segaris, maka nilai p + q yaitu ...

Jawab :
Karena titik A, B dan C segaris, maka AB dan BC yaitu dua vektor yang kolinear. Sehingga

\(\begin{align}

\mathbf{AB}&=k\cdot \mathbf{BC}\\
\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-2\\ p
\\ -4
\end{bmatrix}
&=k\left (\begin{bmatrix}
7\\ 1
\\ q
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}  \right )\\
\begin{bmatrix}
6\\ 2-p
\\ 8
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
3k\\ -k
\\ k(q-4)
\end{bmatrix}
 \end{align}\)

Dari persamaan vektor diatas, diperoleh
6 = 3k   ⇔   k = 2
2 - p = -k   ⇔   2 - p = -2   ⇔   p = 4
8 = k(q - 4)   ⇔   8 = 2(q - 4)   ⇔   q = 8

Jadi, p + q = 4 + 8 = 12



Latihan 7
Perhatikan diagram diberikut.

Titik D membagi BC dengan perbandingan 1 : 2. Jika AB = [4, 4] dan AC = [7, 1], maka |AD| = ...

Jawab :
Berdasarkan hukum segitiga, maka
BC = AC - AB = [3, -3]

Karena BD : DC = 1 : 2, akibatnya
BD = \(\frac{1}{3}\)BC = [1, -1]

Berdasarkan hukum segitiga, maka
AD = AB + BD = [5, 3]

Jadi, panjang AD adalah
|AD| = √(5² + 3²) = √34



Latihan 8
Diketahui a = [2, -4], b = [p, -2], dan c = [q, 2]. Jika a sejajar dengan b, dan b invers dari c, maka nilai p - q = ...

Jawab :
Karena a sejajar dengan b, maka terdapat skalar k sedemikian sehingga a = kb
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ -4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
-4 = -2k   ⟶   k = 2
2 = kp   ⟶   2 = (2)p   ⟶   p = 1

Karena b invers dari c maka b + c = 0
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
q\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\ 0
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
p + q = 0   ⇔   1 + q = 0   ⇔  q = -1

Jadi, p - q = 1 - (-1) = 2



Latihan 9
Dua buah vektor u dan v, dengan u = [p, q, r] dan v = [1, 4, -1]. Jika |u| = 3 dan u searah dengan v, nilai p + q - 3r = ...

Jawab :
Vektor satuan dari v adalah
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{v}}&=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}[1,4,-1]\\
&=\frac{1}{3\sqrt{2}}[1,4,-1]\\
&=\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Karena u searah dengan v maka
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=|\mathbf{u}|\,\mathbf{\hat{v}}\\
&=3\,\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]\\
&=\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{4}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Diperoleh p = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ,  q = \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) ,  r = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

\(\begin{align}
\mathrm{p+q+3r}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{2}}+3\left ( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right )\\
&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\
&=\sqrt{2}
\end{align}\)

Suatu dikala Vektor berkata kepada Skalar, "Percuma menjadi besar kalau tidak punya arah". Skalar spesialuntuk termenung kemudian berlari menjauh berlawanan arah mirip vektor. TAMAT.