Limit Fungsi Trigonometri

Metode-metode penyelesaian limit fungsi aljabar sanggup pula kita terapkan dalam penyelesaian limit fungsi trigonometri, misalnya substitusi langsung. Selama hasil substitusi memiliki nilai atau terdefinisi, maka nilai tersebut ialah limit yang kita cari.

Sebagai contoh,
\(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}}\) sin x = sin 0 = 0
\(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}}\) cos x = cos 0 = 1
\(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\,\frac{sin\,\pi x}{x}}\) = \(\mathrm{\frac{sin\,\pi(1)}{1}}\) = sin π  = 0

Jika dengan substitusi pribadi diperoleh bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), alternatif penyelesaiannya ialah dengan memakai identitas atau sifat-sifat trigonometri. Yang tujuannya ialah mengeliminasi atau mencoret bentuk-bentuk pembuat nol pada pembilang dan penyebut.

 misal 1 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{tan\,x}{sin\,2x}}\)

Jawab :
Substitusi pribadi akan menghasilkan bentuk 0/0.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{tan\,x}{sin\,2x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;tan\,x\cdot \frac{1}{sin\,2x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{si{\color{red}\not}n\,x}{cos\,x}\cdot \frac{1}{2\,si{\color{red}\not}n\,x\,cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{2\,cos^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{2\,(cos\,0)^{2}}} \\
& = \frac{1}{2(1)^{2}} \\
& = \frac{1}{2}
 \end{align}\)


 misal 2 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{1\,-\,cos\,x}{sin\,x}}\)

Jawab :
Substitusi pribadi akan menghasilkan bentuk 0/0.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{1-cos\,x}{sin\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos\,x}{sin\,x}\cdot \frac{1+cos\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos^{2}x}{sin\,x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin^{{\color{red}\not}2}x}{si{\color{red}\not}n\,x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{sin\,0}{1+cos\,0}} \\
& = \frac{0}{1+1}=0
 \end{align}\)


Tidak tiruana limit trigonometri bentuk 0/0 sanggup diselesaikan spesialuntuk dengan manipulasi aljabar ataupun dengan memakai identitas trigonometri menyerupai kasus diatas. Limit bentuk tak tentu 0/0 dimana fungsinya ialah adonan dari fungsi trigonometri dan fungsi aljabar sanggup diselesaikan dengan memakai sifat-sifat diberikut.

 Sifat A  Sifat istimewa limit fungsi trigonometri

\(\begin{align}\mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,x}{x}\,=1\;\;\; ...................(A.1)}\end{align}\)

Bukti : Intuitif
Secara intuitif,  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,x}{x}=1}\) artinya saat x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, maka (sin x) / (x) mendekati 1.

Misalkan titik A dan B terletak pada bulat yang berjari-jari 1 satuan dan titik P terletak ditengah ruas garis AB, menyerupai yang terlihat pada gambar (a).
Dari segitiga OAP diperoleh AP = sin x, jadinya panjang ruas garis AB = 2sin x.
Panjang busur AB = \(\mathrm{\frac{2x}{2\pi }\cdot }\) 2π(1) = 2x.
Perbandingan ruas garis AB dan busur AB :
\(\mathrm{\frac{ruas\;garis\;AB}{busur\;AB}=\frac{2\,sin\,x}{2x}=\frac{sin\,x}{x}}\)

Jika sudut x kita perkecil, maka selisih dari panjang ruas garis AB dan panjang busur AB akan semakin kecil, sanggup dilihat ilustrasinya dari gambar (a) dan (b). Jika sudut x kita perkecil hingga mendekati nol namun tidak sama dengan nol, maka selisihnya akan mendekati nol. Akibatnya, perbandingan antara keduanya akan mendekati 1.

Secara intuitif, sanggup kita simpulkan bahwa saat x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, maka (sin x) / x akan mendekati 1. Dalam notasi limit, pernyataan tersebut ditulis  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,x}{x}=1}\).

\(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,x}{x}\,=1\;\;\; ...................(A.2)}\end{align}\)

Bukti :

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{tan\,x}{x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{cos\,x}\cdot \frac{1}{x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \frac{1}{cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\;\frac{1}{cos\,x}} \\
& = \mathrm{1 \cdot \frac{1}{cos\,0}} \\
& = 1 \cdot \frac{1}{1} \\
& = 1
 \end{align}\)


\(\begin{align}\mathrm{ \lim_{x \to 0}\,\frac{1\,-\,cos\,x}{x}=0\;\;\; ....................(A.3)}\end{align}\)

Bukti :

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{1-cos\,x}{x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos\,x}{x}\cdot \frac{1+cos\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos^{2}x}{x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin^{2}x}{x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{1\cdot \frac{sin\,0}{1+cos\,0}} \\
& = 1\cdot \frac{0}{1+1} \\ &=0
 \end{align}\)


 misal 3 
Berdasarkan sifat A, tunjukkan bahwa
a.  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{sin\,x}=1}\)
b.  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{tan\,x}=1}\)

Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{a.\;\;\lim_{x \to 0}\frac{x}{sin\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{sin\,x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{\frac{sin\,x}{x}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to 0}^{lim}\;1}{_{x \to 0}^{lim}\;\frac{sin\,x}{x}}} \\
& = \frac{1}{1} \\
& = 1 \\
 \end{align}\)

\(\begin{align}
\mathrm{b.\;\;\lim_{x \to 0}\frac{x}{tan\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{tan\,x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{\frac{tan\,x}{x}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to 0}^{lim}\;1}{_{x \to 0}^{lim}\;\frac{tan\,x}{x}}} \\
& = \frac{1}{1} \\
& = 1 \\
 \end{align}\)


 misal 4 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,3x}{5x}}\)

Jawab :
Misalkan u = 3x, sehingga x = u/3
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{sin\,3x}{5x}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{5\left ( \frac{u}{3} \right )}} \\
& = \mathrm{\frac{3}{5}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{u}} \\
& = \frac{3}{5}\cdot 1 \\
& = \frac{3}{5}
\end{align}\)

 misal 5 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{tan\,4x}}\)

Jawab :
Misalkan u = 4x, sehingga x = u/4.
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{x}{tan\,4x}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{\frac{u}{4}}{tan\,u}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{4}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{u}{tan\,u}} \\
& = \frac{1}{4}\cdot 1 \\
& = \frac{1}{4}
\end{align}\)

 misal 6 
Untuk a dan b konstan, tunjukkan  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,ax}{bx}}\) = \(\mathrm{\frac{a}{b}}\)

Jawab :

Misalkan u = ax, sehingga x = u/a
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{sin\,ax}{bx}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{b\left ( \frac{u}{a} \right )}} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{u}} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}\cdot 1} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}}
\end{align}\)

 Sifat B  Untuk a dan b konstan berlaku $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,ax}{bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{ax}{sin\,bx}=\frac{a}{b}}$$ $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,ax}{bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{ax}{tan\,bx}=\;\frac{a}{b}}$$ $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,ax}{tan\,bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,ax}{sin\,bx}=\frac{a}{b}}$$
Sifat B diatas ialah pengembangan dari sifat A. melaluiataubersamaini memakai sifat ini, tumpuan 4 dan 5 sanggup diselesaikan secara instan spesialuntuk dengan memperhatikan koefisien variabelnya.

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,3x}{5x}=\frac{3}{5}} \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{tan\,4x}=\frac{1}{4}} \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,3x}{tan\,4x}=\frac{3}{4}} \\
\end{align}\)


 misal 7 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}\,\frac{sin\,(x\,-\,2)}{(3x\,-\,6)}}\)

Jawab :
Misalkan u = x - 2
Jika x → 2 maka u → 0, akibatnya

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 2}\,\frac{sin(x-2)}{(3x-6)}} & = \mathrm{\lim_{x \to 2}\,\frac{sin\,(x-2)}{3(x-2)}} \\
& = \mathrm{\lim_{u \to 0}\,\frac{sin\,u}{3u}} \\
& = \frac{1}{3}
\end{align}\)


 misal 8 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to -\pi }^{lim}\,\frac{(x\,+\,\pi )}{tan\,(2x\,+\,2\pi )}}\)

Jawab :
Misalkan u = x + π
Jika x → -π maka u → 0, akibatnya

\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to -\pi }\,\frac{(x+\pi )}{tan(2x+2\pi )}} & = \mathrm{\lim_{x \to -\pi }\,\frac{(x+\pi )}{tan\,2(x+\pi )}} \\
& = \mathrm{\lim_{u \to 0}\,\frac{u}{tan\,2u}} \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}\)

Latihan Soal Limit Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat atau rumus-rumus trigonometri akan sangat memmenolong dalam menuntaskan limit fungsi trigonometri. Dan tidak lupa juga teorema-teorema limit, khususnya teorema dasar limit. Berikut beberapa soal tes limit fungsi trigonometri!

 Latihan 1 
Hitung  \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{tan^{2}4x}{3x}}\)

 Latihan 2 
Hitung  \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{sin\,3x\,-\,sin\,x}{x\,tan\left ( x\,+\,\frac{\pi }{4} \right )}}\)

 Latihan 3 
Hitung  \(\mathrm{_{x \to \frac{1}{2} }^{lim}\,\frac{(3\,-\,2x)\,sin(2x\,-\,1)}{4x^{2}-\,1}}\)

 Latihan 4 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x\,-\,1}{tan(x^{2}-\,1)}}\)

 Latihan 5 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{2x\,+\,sin\,4x}{4x\,-\,tan\,2x}}\)

 Latihan 6 
Hitung  \(\mathrm{_{x \to \frac{\pi }{4} }^{lim}\,\frac{sin\left ( \frac{\pi }{4}\,-\,x \right )}{cot\left ( \frac{\pi }{4}\,+\,x \right )}}\)

 Latihan 7 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to \frac{\pi }{4}}^{lim}\,\frac{1\,-\,tan\,x}{cos\,2x}}\)

 Latihan 8 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{1\,-\,cos\,6x}{x\,tan\,2x}}\)

 Latihan 9 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin^{3}(2x)}{x\,tan\left (x^{2}  \right )}}\)

 Latihan 10 
Hitunglah  \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin(x\,+\,sin\,x)}{x}}\)