Posted by Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2017 untuk Tes Kemampuan Dasar dan Potensi Akademik (TKPA) arahan naskah 226 mata uji Matematika Dasar.
Materi uji mencakup : Matriks, Pertidaksamaan nilai mutlak, Geometri datar (segitiga), Aljabar fungsi (domain), Statistika, Barisan aritmatika, Aplikasi turunan, Barisan/deret geometri, Fungsi komposisi (range), Dimensi tiga, SPLDV, Transformasi geometri, Integral tak tentu, Limit tak tentu, Kaedah pencacahan.
1. SBMPTN 2017 Matriks
Misalkan AT yakni transpos matriks A. Jika \(\mathrm{A=\begin{pmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{pmatrix}}\) sehingga \(\mathrm{A^{T}A=\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{pmatrix}}\), maka nilai x2 - x yakni ...
(A) 0
(B) 2
(C) 6
(D) 12
(E) 20
Pembahasan :
\(\mathrm{A^{T}A=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}}\)
\(\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
2 & {\color{white} -}0\\
\mathrm{x} & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
4 & \mathrm{2x}\\
\mathrm{2x} & \mathrm{x^{2}}+4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas diperoleh
2x = 4 → x = 2
Jadi, (x2 - x) = (22 - 2) = 2
Jawaban : B
2. SBMPTN 2017 Pertidaksamaan Nilai mutlak
Jika himpunan penyelesaian \(\mathrm{|2x-\mathit{a}|<5}\) adalah \(\left \{ \mathrm{x/-1<x<4} \right \}\), maka nilai a adalah ...
A. -4 D. 3
B. -3 E. 4
C. -1
Pembahasan :
Untuk k konstan dan k > 0, berlaku :
| f(x) | < k ⟺ -k < f(x) < k
Berdasarkan sifat diatas maka
| 2x - a | < 5 ⟺ -5 < 2x - a < 5
| 2x - a | < 5 ⟺ a - 5 < 2x < a + 5
| 2x - a | < 5 ⟺ \(\frac{a-5}{2}\) < x < \(\frac{a+5}{2}\)
Karena -1 < x < 4 maka haruslah
\(\frac{a-5}{2}\) = -1 atau \(\frac{a+5}{2}\) = 4
Dari persamaan diatas diperoleh a = 3.
Jawaban : D
3. SBMPTN 2017 Geometri Datar : Segitiga
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bab yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas ΔABC yakni x cm2, maka luas ΔKMN yakni ... cm2.
(A) \(\mathrm{\frac{x}{3}}\)
(B) \(\mathrm{\frac{2x}{9}}\)
(C) \(\mathrm{\frac{x}{9}}\)
(D) \(\mathrm{\frac{x}{18}}\)
(E) \(\mathrm{\frac{x}{36}}\)
Pembahasan :
L ΔABC = \(\frac{1}{2}\)(BC)(AB) = x
MN = \(\frac{1}{3}\)BC dan KB = \(\frac{2}{3}\)AB
L ΔKMN = \(\frac{1}{2}\)(MN)(KB)
L ΔKMN = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{3}\)BC) (\(\frac{2}{3}\)AB)
L ΔKMN = \(\frac{2}{9}\) . \(\frac{1}{2}\)(BC)(AB)
L ΔKMN = \(\frac{2}{9}\) . x
L ΔKMN = \(\mathrm{\frac{2x}{9}}\)
Jawaban : B
4. SBMPTN 2017 Aljabar Fungsi : Domain
Jika f(x) = x2 - 1 dan g(x) = \(\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}\), maka kawasan asal fungsi f.g yakni ...
(A) {x/ -∞ < x < ∞}
(B) {x/ x ≠ -1}
(C) {x/ x ≠ 2}
(D) {x/ x < -1}
(E) {x/ x ≥ 2}
Pembahasan :
Misalkan kawasan asal (domain) fungsi f yakni Df dan domain fungsi g yakni Dg. Jika domain fungsi f.g dan f/g berturut-turut yakni Df.g dan Df/g, maka :
Df.g = Df ∩ Dg
Df/g = Df ∩ Dg ∩ g ≠ 0
f(x) = x2 - 1 → Df = {x ∈ ℝ}
g(x) = \(\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}\) → Dg = {x ≠ -1}
Df.g = Df ∩ Dg
Df.g = {x ∈ ℝ} ∩{x ≠ -1}
Df.g = {x ≠ -1}
Jawaban : B
5. SBMPTN 2017 Statistika
Diketahui median dan rata-rata berat tubuh 5 balita yakni sama. Sesudah dimenambahkan satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling enteng ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang dimenambahkan dan balita di urutan ke-4 yakni ... kg.
(A) 4
(B) \(\frac{9}{2}\)
(C) 5
(D) 6
(E) \(\frac{13}{2}\)
Pembahasan :
Misalkan berat tubuh 5 balita setelah diurutkan yakni a, b, c, d, e dan berat tubuh balita terakhir yang dimenambahkan yakni x.
Median dari 5 data a, b, c, d, e yakni c.
Rata-rata berat tubuh ke-5 balita yakni \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\).
Rata-rata berat tubuh setelah dimenambahkan 1 balita yang beratnya x yakni \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}\).
Karena median dan rata-rata ke-5 balita sama, maka :
c = \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\) atau a + b + c + d + e = 5c
Karena rata-rata meningkat 1 kg setelah dimenambahkan 1 balita, diperoleh persamaan
\(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\) + 1 = \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}\)
c + 1 = \(\mathrm{\frac{5c+x}{6}}\)
6c + 6 = 5c + x
x = c + 6
Karena x = c + 6, maka x > c. Akibatnya, x mustahil menempati urutan 1, 2 atau 3.
Agar median setelah dimenambahkan 1 data nilainya tetap, maka berat tubuh urutan ke-3, yaitu c harus sama dengan berat tubuh urutan ke-4, dengan alasan median dari 6 data dihitung dari \(\mathrm{\frac{U_{3}+U_{4}}{2}}\). Akibatnya, x bukan urutan ke-4 alasannya yakni x ≠ c. Jadi, urutan ke-4 yakni d, dengan d = c.
melaluiataubersamaini demikian, selisih berat tubuh antara balita terakhir yang dimenambahkan dan balita di urutan ke-4 yakni x - d = (c + 6) - (c) = 6.
Jawaban : D
6. SBMPTN 2017 Barisan Aritmatika
Suku ke-11 suatu barisan aritmatika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut yakni -3, maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke...
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 9
Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah
Un = a + (n - 1)b
a = suku pertama
b = beda
Diketahui suku ke-11 sama dengan empat kali suku ke-16, kita tulis
U11 = 4 U16
a + 10b = 4(a + 15b)
a + 10b = 4(a + 13b + 2b)
a + 10b = 4(U14 + 2b)
a + 10b = 4U14 + 8b
a + 2b = 4U14
U3 = 4U14
Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3
Jawaban : B
7. SBMPTN 2017 Aplikasi Turunan
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ujung pada dikala pguan dari bak tersebut yakni (6 - 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot tiruana ikan pada dikala pguan yang mungkin yakni ... (kg)
(A) 400
(B) 420
(C) 435
(D) 450
(E) 465
Pembahasan :
Misalkan total bobot tiruana ikan yakni Y. Jika x menyatakan banyak ikan yang dipelihara, maka rata-rata bobot ikan per ujung yakni \(\mathrm{\frac{Y}{x}}\). Karena rata-rata bobot ikan per ujung yakni (6 - 0,02x), maka :
\(\mathrm{\frac{Y}{x}}\) = (6 - 0,02x)
Y = (6 - 0,02x)x
Y = 6x - 0,02x2
Total bobot tiruana ikan akan maksimum kalau Y' = 0
6 - 0,04x = 0 (kali 100)
600 - 4x = 0
⇒ x = 150
Jadi, maksimum total bobot tiruana ikan pada dikala pguan yang mungkin adalah
Y = 6(150) - 0,02(150)2 = 450 kg.
Jawaban : D
8. SBMPTN 2017 Barisan dan Deret Geometri
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri yakni 1/32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 yakni 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut yakni ...
(A) 30
(B) 40
(C) 50
(D) 60
(E) 70
Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
Un = arn-1
a = suku pertama
r = rasio
Diketahui \(\mathrm{\frac{U_{6}}{U_{1}}=\frac{1}{32}}\), sanggup ditulis
\(\mathrm{\frac{ar^{5}}{a}=\frac{1}{32}}\)
\(\mathrm{r^{5}=\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}\)
⇒ r = \(\frac{1}{2}\)
Diketahui U3 + U4 = 15, sanggup ditulis
ar2 + ar3 = 15
a(\(\frac{1}{2}\))2 + a(\(\frac{1}{2}\))3 = 15 (kali 8)
2a + a = 120
⇒ a = 40
Diperoleh suku pertama 40 dan rasio \(\frac{1}{2}\), sehingga barisannya adalah
40, 20, 10, ...
Jadi, jumlah 3 suku pertama adalah
40 + 20 + 10 = 70
Jawaban : E
9. SBMPTN 2017 Fungsi Komposisi : Range
Jika f(x) = 1 - x2 dan g(x) = \(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\), maka kawasan hasil fungsi komposisi fog yakni ...
(A) {y/ -∞ < y < ∞}
(B) {y/ y ≤ -1 atau y ≥ 1}
(C) {y/ y ≤ 5}
(D) {y/ y ≤ 1}
(E) {y/ 1 ≤ y ≤ 1}
Pembahasan :
Untuk memilih kawasan hasil (range) fungsi komposisi fog, sanggup kita mulai dengan memilih domainnya terlebih lampau.
fog(x) = f(\(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\))
fog(x) = 1 - (\(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\))2 → Dfog = {5 - x ≥ 0} = {x ≤ 5}
fog(x) = 1 - (5 - x)
fog(x) = x - 4
Catatan : Domain fungsi komposisi diperoleh sebelum fungsi disederhanakan (penyederhanaan yang dimaksud yakni penyederhanaan yang merubah domain fungsi, menyerupai menghilangkan tanda akar atau mencoret penyebut). Jika ingin memilih domain setelah fungsi komposisi disederhanakan, maka domain yang diperoleh harus diiris kembali dengan domain fungsi input (untuk kasus diatas fungsi inputnya yakni g(x)).
Diatas sudah diperoleh y = fog = x - 4, dengan domain x ≤ 5. Untuk kawasan hasilnya, sanggup ditentukan dengan memanipulasi domain fog.
x ≤ 5 (kurangkan kedua ruas dengan 4)
x - 4 ≤ 5 - 4
x - 4 ≤ 1
y ≤ 1 (karena y = x - 4)
Jawaban : D
10. SBMPTN 2017 Dimensi Tiga
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut yakni titik tengah HG dan BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut yakni 4 cm, maka jarak P ke Q yakni ... cm.
(A) 2√3
(B) 2√6
(C) 6√2
(D) 6√3
(E) 6√6
Pembahasan :
Perhatikan gambar !
RQ2 = RC2 + CQ2 = 22 + 22 = 8
Perhatikan segitiga PRQ siku-siku di R.
PQ2 = PR2 + RQ2
PQ2 = 16 + 8
PQ2 = 24
PQ = √(24) = 2√6
Jawaban : B
11. SBMPTN 2017 SPLDV
Luas kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 3, 3x + 2y ≥ 6, y ≥ 0 yakni ... satuan luas.
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 1
(D) \(\frac{3}{2}\)
(E) 2
Pembahasan :
Sketsa terlebih lampau kawasan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas!
Jawaban : D
12. SBMPTN 2017 Transformasi Geometri
Titik (1, 0) dipetakan dengan translasi \(\begin{pmatrix}
a\\ 2
\end{pmatrix}\) dan kemudian dicerminkan terhadap garis \(\mathrm{x = 3}\) ke titik (6, 2). Peta titik (2, 1) di bawah transformasi yang sama yakni ...
(A) (5, 3)
(B) (6, 2)
(C) (6, 3)
(D) (7, 2)
(E) (7, 3)
Pembahasan :
Peta titik (x, y) oleh translasi (a, b) yakni \(\begin{pmatrix}
\mathrm{x+a}\\ \mathrm{y+b}
\end{pmatrix}\)
Peta titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = k yakni \(\begin{pmatrix}
\mathrm{2k-x}\\ \mathrm{y}
\end{pmatrix}\)
Berdasarkan sifat diatas maka :
Peta titik (1, 0) oleh translasi (a, 2) yakni \(\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ \mathrm{0+2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ 2
\end{pmatrix}\).
Peta titik (1+a, 2) oleh pencerminan terhadap garis \(\mathrm{x = 3}\) yakni \(\begin{pmatrix}
\mathrm{2(3)-(1+a)}\\ \mathrm{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2
\end{pmatrix}.\)
Diketahui hasil petanya yakni (6, 2), sehingga diperoleh persamaan \(\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6\\ 2
\end{pmatrix}\).
Dari persamaan diatas diperoleh
5 - a = 6
a = -1
Selanjutnya, akan ditentukan peta titik (2, 1) oleh transformasi yang sama, yaitu translasi (-1, 2) dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 3.
Peta titik (2, 1) oleh translasi (-1, 2) yakni \(\begin{pmatrix}
2+(-1)\\ 1+2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\ 3
\end{pmatrix}\).
Peta titik (1, 3) oleh pencerminan terhadap garis x = 3 yakni \(\begin{pmatrix}
2(3)-1\\ 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\ 3
\end{pmatrix}\).
Jawaban : A
13. SBMPTN 2017 Integral Tak Tentu
\(\int \mathrm{\frac{3(1\,-\,x)}{1\,+\,\sqrt{x}}\;dx=...}\)
(A) 3x - 2x√x + C
(B) 2x - 3x√x + C
(C) 3x√x - 2x + C
(D) 2x√x - 3x + C
(E) 3x + 2x√x + C
Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}\;dx} & = \mathrm{3\int \frac{\left (1+\sqrt{x} \right )\left ( 1-\sqrt{x} \right )}{1+\sqrt{x}}\;dx} \\
& = \mathrm{3\int (1-\sqrt{x})\;dx} \\
& = \mathrm{3\left ( x-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right )+C} \\
& = \mathrm{3x-2x^{\frac{3}{2}}+C} \\
& = \mathrm{3x-2x\sqrt{x}+C}
\end{align}\)
Jawaban : A
14. SBMPTN 2017 Limit Tak Tentu
Jika kurva f(x) = ax2 + bx + c memotong sumby-y di titik (0, 1) dan \(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{f(x)}{x\,-\,1}=-4}\), maka \(\frac{b\,+\,c}{a}=...\)
(A) -1
(B) -\(\frac{1}{2}\)
(C) 0
(D) 1
(E) \(\frac{3}{2}\)
Pembahasan :
Karena kurva f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu-y di titik (0, 1), maka c = 1.
Limit diatas ialah bentuk limit tak tentu 0/0, sanggup kita identifikasi dari penyebutnya yang bernilai nol ketika x = 1, sedangkan limitnya ada, yaitu -4. Jadi, haruslah f(1) = 0.
f(1) = a(1)2 + b(1) + 1 = 0 atau
a + b = -1 ............................................(1)
melaluiataubersamaini memakai hukum L'Hospital pada \(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{\mathit{a}x^{2}+\mathit{b}x+\mathit{c}}{x\,-\,1}=-4}\) diperoleh
\(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{2\mathit{a}x+\mathit{b}}{1}=-4}\)
2a(1) + b = -4
2a
Eliminasi (1) dan (2) diperoleh a = -3 dan b = 2.
Jadi, \(\frac{b\,+\,c}{a}\) = \(\frac{2\,+\,1}{-3}\) = -1
Jawaban : A
15. SBMPTN 2017 Kaedah Pencacahan
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
(A) 720
(B) 705
(C) 672
(D) 48
(E) 15
Pembahasan :
Banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan sanggup dihitung dari selisih banyaknya susunan bebas dengan banyaknya susunan setiap pemain dan pasangannya berdekatan.
Banyak susunan pemain dengan susunan bebas yakni 6! = 720.
Banyak susunan pemain dengan setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
(A1 A2) (B1 B2) (C1 C2) = 3! . 2! . 2! . 2! = 48
Jadi, banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
720 - 48 = 672
Jawaban : C
Emoticon