Deret Aritmatika

Deret aritmatika yaitu jumlah suku-suku berurutan dari barisan aritmatika. Deret aritmatika disebut juga deret hitung dan dilambangkan dengan Sn, dimana n yaitu bilangan orisinil yang menyatakan banyaknya suku yang akan dijumlahkan.

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika. Apabila suku-suku tersebut kita jumlahkan, maka akan terbentuk deret aritmatika sebagai diberikut :

U1  +  U2  +  U3  +  ...  +  Un 

Jumlah satu suku pertama dilambangkan S1, jumlah dua suku pertama dilambangkan S2, dan begitu seterusnya jumlah n suku pertama dilambangkan Sn. Dapat kita tulis :

S1  =  U1
S2  =  U1  +  U2
S3  =  U1  +  U2  +  U3
...
Sn  =  U1  +  U2  +  U3  +  ...  +  Un


 misal 1 

Diketahui barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, 9, 11. Tentukan :

a.  Jumlah 2 suku pertama

b.  Jumlah 5 suku pertama 

Jawab :

a.  Jumlah 2 suku pertamanya adalah 

     S2 = 1 + 3 = 4

b.  Jumlah 5 suku pertamanya adalah
     S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 25

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika

Seperti yang kita tahu, setiap suku pada barisan aritmatika (kecuali suku pertama) ialah hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Oleh karenanya, deret aritmatika sanggup kita nyatakan dalam persamaan diberikut
Sn  =  U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un

Jika suku-suku pada ruas kanan diurutkan dari suku ke-n hingga suku ke-1, kita peroleh
Sn  =  Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1

Apabila kedua persamaan diatas kita jumlahkan, maka akan diperoleh
Sn   =  U1 + (U1 + b) + (U1 + 2b) + ... + Un
Sn   =  Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + U1     +
2Sn =  (U1+Un) + (U1+Un) + (U1+Un) + ... + (U1+Un)

Perhatikan bahwa ruas kanan ialah penjumlahan (U1 + Un) sebanyak n, sanggup kita tulis :
2Sn =  n(U1 + Un)     ↔    Sn =  \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(U1 + Un)

Karena U1 = a dan Un = a + (n - 1)b, diperoleh
Sn =  \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n - 1)b)

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu :

\(\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)}\)

atau

\(\mathrm{S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})}\)

 misal 2 

Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ...

Jawab :
Diketahui : a = 3  dan  b = 2

Jumlah 20 suku pertamanya adalah
S20  = \(\mathrm{\frac{20}{2}}\)(2a + (20 - 1)b)

S20  = 10 (2a + 19b)
S20  = 10 (2(3) + 19(2))
S20  = 10 (6 + 38)
S20  = 440


 misal 3 

Hitung deret aritmatika diberikut!
-2 + 1 + 4 + 7 + ... + 28

Jawab :

Diketahui : a = -2,  b = 3  dan  Un = 28

Un = a + (n - 1)b
28 = -2 + (n - 1)3
28 = -2 + 3n - 3
33 = 3n
n = 11

Jadi, jumlah dari deret aritmatika diatas adalah
S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(a + U11)
S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(-2 + 28)

S11  = \(\mathrm{\frac{11}{2}}\)(26)
S11  = 143

Sifat-Sifat Deret Aritmatika

Berikut ini beberapa sifat yang berkaitan dengan deret aritmatika!

Jika jumlah n suku pertama barisan aritmatika ditetapkan dalam bentuk Sn = pn² + qn, maka suku pertama barisan tersebut yaitu p + q dan bedanya 2p.

 misal 4 

Diketahui jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika yaitu Sn = 4n² - 3n. Tentukan suku pertama dan beda barisan aritmatika yang dimaksud!

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas :
Sn = pn² + qn   →   a = p + q   dan   b = 2p

Jadi, untuk Sn = 4n² - 3n, maka
a = 4 + (-3) = 1
b = 2(4) = 8

Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 8.

Misalkan suku ke-n suatu barisan aritmatika yaitu Un dan jumlah n suku pertamanya yaitu Sn. Maka berlaku \(\mathrm{U_{n}=S_{n}-S_{n-1}}\)

 misal 5 

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 2n² - 3n. Suku ke-5 barisan aritmatika tersebut adalah...

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka U5 = S5 - S4

S5 = 2(5)² - 3(5) = 35
S4 = 2(4)² - 3(4) = 20

Jadi, U5 = 35 - 20 = 15

 misal 6 

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan Sn = 3n² - 2n. Tentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Sn = 3n² - 2n ,  akibatnya

Sn-1 = 3(n - 1)² - 2(n - 1)
Sn-1 = 3(n² - 2n + 1) - 2(n - 1)
Sn-1 = 3n² - 6n + 3 - 2n + 2
Sn-1 = 3n² - 8n + 5

Un = Sn - Sn-1
Un = (3n² - 2n) - (3n² - 8n + 5)
Un = 3n² - 2n - 3n² + 8n - 5
Un = 6n - 5

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut yaitu Un = 6n - 5

Jika rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika yaitu \(\mathrm{S_{n}=pn^{2}+qn}\), maka rumus suku ke-n barisan tersebut yaitu \(\mathrm{U_{n}=2pn+q-p}\)

Perhatikan kembali teladan 6 diatas!
 Sn = 3n² - 2n, dengan p = 3 dan q = -2.

Berdasarkan sifat diatas, maka
 Un = 2(3)n + (-2) - 3
 Un = 6n - 5

Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan

 Latihan 1 
Suku pertama dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut yaitu 5 dan 50. Jika jumlah tiruana suku barisan tersebut yaitu 440, tentukan banyaknya suku barisan tersebut!

Jawab :
a = 5,  Un = 50,  Sn = 440,  n = ...

Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(a + Un)
440 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(5 + 50)
2 . 440 = n(55)
880 = 55n
n = 16

Jadi, banyaknya suku barisan tersebut yaitu 16.


 Latihan 2 
Jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh dari suatu barisan aritmatika yaitu 30, sedangkan suku kesembilannya yaitu 20. Tentukan jumlah 7 suku pertamanya!

Jawab :
U3 + U10 = 30
(a + 2b) + (a + 9b) = 30
2a + 11b = 30   ....................................(1)

U9 = 20
a + 8b = 20   ........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 4 dan b = 2

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2a + (7 - 1)b)
S7 = \(\mathrm{\frac{7}{2}}\) (2(4) + 6(2))
S7 = 70


 Latihan 3 
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan jumlah 75. Jika bilangan ketiga dikurang bilangan pertama sama dengan 12, tentukan bilangan kelima!

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1 , U2 , U3 , U4 , U5

U3 - U1 = 12
(a + 2b) - a = 12
2b = 12
b = 6

S5 = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4(6)) = 75
\(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 24) = 75
5a + 60 = 75
5a = 15
a = 3

U5 = a + 4b
U5 = 3 + 4(6)
U5 = 27

Jadi, bilangan kelima yaitu 27


 Latihan 4 
Suku keempat dari deret aritmatika yaitu 7, sedangkan jumlah dari 6 suku pertama sama dengan 36. Tentukan jumlah dari 10 buah suku pertama

Jawab :
U4 = 7
a + 3b = 7   ....................................................(1)

S6 = 36
\(\mathrm{\frac{6}{2}}\) (2a + 5b) = 36
2a + 5b = 12   ................................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 1  dan  b = 2

S10 = \(\mathrm{\frac{10}{2}}\) (2a + 9b)
S10 = 5 (2(1) + 9(2))
S10 = 100

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya yaitu 100


 Latihan 5 
Diketahui deret aritmatika dengan suku pertamanya 5. Jika U11 - U6 = 10, hitunglah S5

Jawab :
a = 5 

U11 - U6 = 10
(a + 10b) - (a + 5b) = 10
5b = 10
b = 2

S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2a + 4b)
S5 = \(\mathrm{\frac{5}{2}}\) (2(5) + 4(2))
S5 = 45


 Latihan 6 
Tentukan banyaknya bilangan pada deret aritmatika diberikut biar jumlahnya = 63
15 + 13 + 11 + 9 + ...

Jawab :
Diketahui : a = 15  dan  b = -2

Sn = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2a + (n - 1)b) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (2(15) + (n - 1)(-2)) = 63
\(\mathrm{\frac{n}{2}}\) (32 - 2n) = 63
16n - n² = 63
n² - 16n + 63 = 0
(n - 7)(n - 9) = 0
n = 7  atau n = 9

Jadi, banyaknya bilangan biar jumlah deret tersebut sama dengan 63 yaitu 7 atau 9 bilangan.


 Latihan 7 
Tentukan jumlah tiruana bilangan orisinil diantara 1 hingga 100, dimana bilangan tersebut
a. Habis dibagi 2
b. Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3
c. Habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3

Jawab :
(a) Habis dibagi 2, yaitu :
     2, 4, 6, 8, 10, ... , 98

   Banyaknya bilangan :
   Un = a + (n - 1)b
   98 = 2 + (n - 1)2
   98 = 2n
   n = 49

   Jumlah ke-49 bilangan tersebut :
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2a + 48b)
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (2(2) + 48(2))
   S49 = \(\mathrm{\frac{49}{2}}\) (100)
   S49 = 2450

(b) Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yaitu :
      6, 12, 18, 24, ... , 96

   Banyaknya bilangan :
   Un = a + (n - 1)b
   96 = 6 + (n - 1)6
   96 = 6n
   n = 16

   Jumlah ke-16 bilangan tersebut :
   S16 = \(\mathrm{\frac{16}{2}}\) (2a + 15b)
   S16 = 8 (2(6) + 15(6))
   S16 = 8 (102)
   S16 = 816

(c) Jumlah tiruana bilangan orisinil diantara 1 - 100 yang habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3 yaitu : 2450 - 816 = 1634


 Latihan 8 
Diantara bilangan 6 dan 78 disisipkan 7 bilangan sedemikian sehingga terbentuk sebuah deret aritmatika. Tentukan beda dan jumlah dari deret aritmatika yang terbentuk

Jawab :
Beda yang terbentuk :
b = \(\mathrm{\frac{78-6}{7+1}}\) = 9

Banyaknya bilangan setelah disisipkan :
n = 7 + 2 = 9

Jumlah ke-9 bilangan tersebut adalah
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2a + 8b)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (2(6) + 8(9))
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378

atau

S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (a + U9)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (6 + 78)
S9 = \(\mathrm{\frac{9}{2}}\) (84)
S9 = 378


 Latihan 9 
Sebuah tali dipotong menjadi 12 bab yang panjang masing-masing membentuk deret aritmatika. Apabila pecahan terpendek 4 cm dan  pecahan terpanjang 59 cm, hitunglah panjang tali tiruanla!

Jawab :
Diketahui :
n = 12
a = 4
U12 = 59

Panjang tali tiruanla adalah
S12 = \(\mathrm{\frac{12}{2}}\) (a + U12)
S12 = 6 (4 + 59)
S12 = 315

Jadi, panjang tali tiruanla yaitu 315 cm.


 Latihan 10 
Diketahui 1 + 5 + 9 + ... + x = 276. Jika ruas kiri persamaan tersebut merepresentasikan deret aritmatika, maka nilai x yaitu ...

Jawab :
Diketahui : a = 1,  b = 4, Un = x, Sn = 276

Sn = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2a + (n - 1)b)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(2(1) + (n - 1)4)
276 = \(\mathrm{\frac{n}{2}}\)(4n - 2 )
276 = n(2n - 1)
2n² - n - 276 = 0
(2n + 23)(n - 12) = 0
n = -23/2  atau  n = 12

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n - 1)b
x = 1 + (12 - 1)4
x = 1 + 44
x = 45


 Latihan 11 
Banyak suku suatu barisan aritmatika yaitu 21. Jumlah 3 buah suku yang berada ditengah yaitu 75, sedangkan jumlah 3 suku terakhir yaitu 129. Tentukan jumlah tiruana suku barisan aritmatika tersebut!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, ... , U21

Suku tengahnya yaitu suku ke (21 + 1)/2 = 11
Jadi, 3 suku ditengah yaitu U10, U11, U12

Jumlah 3 suku yang berada ditengah yaitu 75.
U10 + U11 + U12 = 75
(a + 9b) + (a + 10b) + (a + 11b) = 75
3a + 30b = 75
a + 10b = 25   ..........................................(1)

Jumlah 3 suku terakhir yaitu 129.
U19 + U20 + U21 = 129
(a + 18b) + (a + 19b) + (a + 20b) = 129
3a + 57b = 129
a + 19b = 43   ..........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5  dan  b = 2

Jumlah tiruana suku barisan tersebut adalah
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2a + 20b)
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (2(5) + 20(2))
S21 = \(\mathrm{\frac{21}{2}}\) (50)
S21 = 525


 Latihan 12 
Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika turun, dengan bilangan ketiga sama dengan 9. Jika jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, maka selisih bilangan kedua dengan bilangan keempat adalah...

Jawab :
Misalkan kelima bilangan tersebut adalah
U1, U2, U3, U4, U5

Berdasarkan rumus suku tengah :
2U3 = U1 + U5
2(9) = U1 + U5
U1 + U5 = 18   ..................................(1)

Jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, sanggup ditulis :
S5 = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(U1 + U5) = U1 . U5
\(\frac{5}{2}\)(18) = U1 . U5
U1 . U5 = 45   ....................................(2)

Perhatikan persamaan (1) dan (2). Dua buah bilangan yang kalau dijumlahkan hasilnya 18 dan kalau dikalikan hasilnya 45 yaitu 3 dan 15. Karena barisan aritmatika tersebut turun, maka U1 > U5.
Jadi,  U1 = 15  dan  U5 = 3

Hasil sementara bilangan-bilangan tersebut :
15, U2, 9, U4, 3

Berdasarkan rumus suku tengah, maka

U2 = (15 + 9)/2  =  12

U4 = (9 + 3)/2  =  6

Jadi, selisih suku kedua dengan suku keempat :

U2 - U4 = 12 - 6 = 6