Suku Tengah Dan Sisipan Barisan Aritmatika

Artikel kali ini mengulas tentang suku tengah dan sisipan pada barisan aritmatika dan ialah lanjutan dari bahan sebelumnya, perihal barisan aritmatika.

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Apabila banyaknya suku barisan aritmatika ganjil, maka akan terdapat sebuah suku sempurna ditengah barisan tersebut yang membagi barisan menjadi 2 bab yang sama.

Karena berada ditengah barisan aritmatika, selanjutnya suku ini disebut suku tengah barisan aritmatika, dan biasa kita lambangkan dengan Ut.

Perhatikan barisan aritmatika diberikut!
2 , 5 , 8 , 11 , 14

Jelas terlihat suku tengahnya yaitu 8. Jika kita amati, suku tengah tersebut yaitu setengah dari jumlah suku-suku tetangganya atau setengah dari jumlah suku pertama dengan suku terakhir.
Ut = (5 + 11)/2 = 8  atau
Ut = (2 + 14)/2 = 8

Perhatikan pula bahwa suku tengahnya berada pada suku ke-3, yaitu setengah dari banyaknya suku ditambah 1.
t = (5 + 1)/2 = 3

Kesimpulan :
Misalkan suku pertama barisan aritmatika yaitu a dan suku terakhirnya yaitu Un, dengan n > 1 dan n ganjil. Jika suku tengah barisan aritmatika tersebut yaitu Ut, maka

\(\begin{align}
\mathrm{U_{t}=\frac{a+U_{n}}{2}}
\end{align}\)

dengan

\(\begin{align}
\mathrm{t=\frac{n+1}{2}}
\end{align}\)

 misal 1 
Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ... , 203
a.   Tentukan suku tengah barisan tersebut
b.   Suku ke berapakah suku tengah tersebut

Jawab :
a.   Suku tengah barisan tersebut adalah
      \(\begin{align}
\mathrm{U_{t}} & = \mathrm{\frac{a+U_{n}}{2}} \\
& = \frac{3+203}{2} \\
& = 103
\end{align}\)

b.   Berdasarkan rumus suku ke-t, maka
      U_t = a + (t - 1)b
      103 = 3 + (t - 1)4
      103 = 3 + 4t - 4
      104 = 4t
      t = 26
      Jadi, suku tengahnya yaitu suku ke-26


 misal 2 
Diketahui banyaknya suku barisan aritmatika yaitu 53. Jika suku pertamanya 5 dan suku tengahnya 57, tentukan suku ke-20 !

Jawab :
Diketahui : n = 53, a = 5 dan U_t = 57
t = (n + 1)/2 = (53 + 1)/2 = 27
Jadi, U₂₇ = 57

U₂₇ = a + 26b
57 = 5 + 26b
52 = 26b
b = 2

Suku ke-20 adalah
U₂₀ = a + 19b
U₂₀ = 5 + 19(2)
U₂₀ = 43

Sisipan Barisan Aritmatika

Misalkan diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan beda b. Suku-suku yang terbentuk yaitu sebagai diberikut :

x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ... , (x + kb), y

Perhatikan bahwa setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) ialah hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Berdasarkan hal ini, dua suku terakhir sanggup kita nyatakan dalam hubungan :
(x + kb) + b = y
x + (k + 1)b = y
(k + 1)b = y - x
b = (y - x) / (k + 1)

Kesimpulan :
Jika diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan, sedemikian sehingga bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka beda barisan aritmatika yang terbentuk dirumuskan

\(\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}
\end{align}\)

dengan banyaknya suku setelah disisipkan adalah

\(\mathrm{n=k+2}\)

 misal 3 
Diantara bilangan 4 dan 229 disisipkan 74 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika yang terbentuk,  lalu tuliskan suku-suku yang mewakili barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui  x = 4,  y = 229,  dan  k = 74

Beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah
\(\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}=\frac{229-4}{74+1}=3
\end{align}\)

Banyaknya suku setelah disisipkan adalah
n  =  k + 2  =  74 + 2  =  76

Suku-suku barisan tersebut yaitu :
4 , 7 , 10 , 13 , ... , 229


 misal 4 
Tentukan banyaknya bilangan yang harus disisipkan diantara bilangan 5 dan 325 supaya terbentuk barisan aritmatika dengan beda 8 !

Jawab :
Diketahui  x = 5,  y = 325,  dan  b = 8

\(\begin{align}
\mathrm{b = \frac{y-x}{k+1}}\;\;
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{y-x}{b}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{325-5}{8}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = 40} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{\;\;\;\;\;\,\,k=39}
\end{align}\)

Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan yaitu 39 bilangan.


Misalkan disetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika gres dengan beda b' dan banyaknya suku n'.

Berdasarkan rumus sebelumnya, beda barisan aritmatika gres adalah

\(\begin{align}
\mathrm{b'=\frac{U_{n}-U_{n-1}}{k+1}=\frac{b}{k+1}}
\end{align}\)

Banyaknya suku sebelum disisipkan yaitu n dan total suku sisipan yaitu (n - 1)k. Jadi, banyaknya suku barisan aritmatika gres adalah

\(\mathrm{n' = n + (n - 1)k}\)

 misal 5 
Diketahui barisan aritmatika 2, 10, 18, 26. Disetiap 2 suku berurutan barisan tersebut disisipkan 3 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika gres tersebut, lalu tuliskan suku-sukunya!

Jawab :
Diketahui : k = 3
Beda barisan aritmatika awal : b = 10 - 2 = 8
Banyak suku barisan aritmatika awal : n = 4

Beda barisan aritmatika gres adalah
\(\begin{align}
\mathrm{b' = \frac{b}{k+1}=\frac{8}{3+1}=2}
\end{align}\)

Banyak suku barisan aritmatika gres adalah
n' = n + (n - 1)k
n' = 4 + (4 - 1)3
n' = 13

Suku-suku barisan aritmatika gres :
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26