Posted by Limit fungsi sanggup diartikan sebagai nilai pendekatan suatu fungsi ketika variabelnya mendekati atau menuju suatu bilangan tertentu. Untuk memahami konsep limit, kita sanggup mulai dengan mengajukan pertanyaan "Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jikalau x mendekati bilangan tertentu?" atau lebih spesifiknya "Berapa nilai yang didekati f(x), jikalau x mendekati c?"
Secara umum, kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c sama dengan L" atau "limit f di c sama dengan L" artinya jikalau x mendekati c dan x ≠ c maka f(x) mendekati L. melaluiataubersamaini kata lain, L ialah nilai yang didekati f(x) ketika x erat namun berlainan dengan c.
Nilai limit f di c sanggup ditaksir atau diprediksi secara numerik, yaitu dengan mengamati nilai-nilai fungsi f disekitar c ataupun dengan melihat eksklusif secara visual dari grafik fungsinya. Perhatikan rujukan diberikut!
misal 1
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x²
Berikut nilai-nilai fungsi f(x) = x² untuk beberapa nilai x yang mendekati 2.
Berdasarkan tabel diatas, kita sanggup menebak atau memprediksi bahwa f(x) akan mendekati 4 ketika diambil nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan. Faktanya, nilai f(x) = x² sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 4 dengan cara mengambil x yang sangat erat dengan 2. Dalam notasi limit, kondisi menyerupai ini kita tulis \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x² = 4.
Dari rujukan diatas, cukup masuk logika bila kita beranggapan bahwa nilai limit sama saja dengan nilai fungsi. Cukup substitusikan x = 2 ke fungsi f, akan kita dapatkan nilai limitnya 4. Hal ini benar, jikalau memang fungsi f terdefinisi di c atau dengan kata lain f(c) ada nilainya, menyerupai rujukan diatas.
Namun perlu kita ingat bahwa tidak tiruana fungsi terdefinisi ditiruana titik. Bisa saja suatu fungsi tidak terdefinisi di c namun memiliki limit di c. Simak rujukan diberikut!
misal 2
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\).
Jawab :
Berdasarkan tabel diatas, kita sanggup menebak atau memprediksi bahwa f(x) akan mendekati 4 ketika diambil nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan. Faktanya, nilai f(x) = x² sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 4 dengan cara mengambil x yang sangat erat dengan 2. Dalam notasi limit, kondisi menyerupai ini kita tulis \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x² = 4.
Dari rujukan diatas, cukup masuk logika bila kita beranggapan bahwa nilai limit sama saja dengan nilai fungsi. Cukup substitusikan x = 2 ke fungsi f, akan kita dapatkan nilai limitnya 4. Hal ini benar, jikalau memang fungsi f terdefinisi di c atau dengan kata lain f(c) ada nilainya, menyerupai rujukan diatas.
Namun perlu kita ingat bahwa tidak tiruana fungsi terdefinisi ditiruana titik. Bisa saja suatu fungsi tidak terdefinisi di c namun memiliki limit di c. Simak rujukan diberikut!
misal 2
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\).
Jawab :
Perhatikan bahwa, f(x) = \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) tidak terdefinisi untuk x = 1 alasannya penyebutnya akan bernilai nol. Sekarang coba kita amati nilai fungsi f ketika x mendekati 1.
Dari tabel diatas, tampak bahwa nilai f(x) mendekati 2 ketika diambil nilai-nilai x yang mendekati 1, baik dari kiri maupun dari kanan.
Dapat kita lihat, kurvanya berlubang di x = 1 alasannya memang fungsi f tidak terdefinisi di titik tersebut. Namun, ketika x mendekati 1, nilai f(x) mendekati 2. Jadi, \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) = 2.
Catatan : misal 2 diatas sekaligus memdiberitahukan kepada kita bahwa ketika bekerja dengan limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di c. Karena serius kita ialah ketika x mendekati c, dengan kata lain x ≠ c.
Limit fungsi disuatu titik sanggup dipandang dari dua arah, yaitu dari arah kiri dan kanan. Perhatikan ilustrasi diberikut
Jika x < c maka x akan mendekati c dari arah kiri dan jikalau x > c maka x akan mendekati c dari arah kanan.
Secara umum kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiri sama dengan L" atau "limit kiri f di c sama dengan L" artinya jikalau x mendekati c dan x < c maka f(x) mendekati L.
$$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan sama dengan L" atau "limit kanan f di c sama dengan L" artinya jikalau x mendekati c dan x > c maka f(x) mendekati L.
misal 3
Perhatikan grafik fungsi f diberikut, kemudian tentukan
a. f(2) dan f(5)
b. \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
d. \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x)
e. \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. f(2) = 1 dan f(5) tidak ada
b. Saat x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 3
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) = 3
c. Saat x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati -1
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) = -1
d. Saat x mendekati 5 dari kiri, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
e. Saat x mendekati 5 dari kanan, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
misal 4
Perhatikan grafik fungsi f diberikut, kemudian tentukan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) dan \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
Ketika x mendekati 2 dari kiri, nilai f(x) akan terus mengecil tanpa batas, hasilnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Ketika x mendekati 2 dari kanan, nilai f(x) akan terus membesar tanpa batas, hasilnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Catatan : misal diatas ialah masalah limit tak hingga. Untuk kasus-kasus limit tak hingga, ada cara lain untuk mengekspresikan suatu limit tidak ada, yaitu dengan memakai notasi ∞, jikalau nilai f(x) bertambah besar tanpa batas dan notasi -∞, jikalau nilai f(x) bertambah kecil (negatif besar) tanpa batas.
misal 5
Berdasarkan grafik fungsi f dibawah ini, tentukan nilai limit diberikut jikalau ada
a. \(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x)
b. \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. Untuk x mendekati -1
\(\mathrm{_{x \to -1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 1
\(\mathrm{_{x \to -1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 4
Karena limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x) tidak ada
b. Untuk x mendekati 1
\(\mathrm{_{x \to 1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Limit kiri = limit kanan = 2, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x) = 2
c. Untuk x mendekati 3
\(\mathrm{_{x \to 3^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 3^{+}}^{lim}}\) f(x) = 3
Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x) tidak ada
Pendekatan numerik dan grafik yang dipaparkan diatas ialah cara yang paling sempurna untuk memahami konsep limit, bukan menghitung nilai limit. Selama tidak ada pembenaran secara matematis, tidak ada jaminan bahwa taksiran atau prediksi kita benar 100%. Karena memang kita berangkat dari pemahaman limit secara intuitif.
Namun, kita masih sanggup menghitung nilai limit secara presisi dengan memakai teorema-teorema limit. Dari teorema-teorema ini, sanggup disusun metode-metode penyelesaian limit secara aljabar.
Dari tabel diatas, tampak bahwa nilai f(x) mendekati 2 ketika diambil nilai-nilai x yang mendekati 1, baik dari kiri maupun dari kanan.
Dapat kita lihat, kurvanya berlubang di x = 1 alasannya memang fungsi f tidak terdefinisi di titik tersebut. Namun, ketika x mendekati 1, nilai f(x) mendekati 2. Jadi, \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) = 2.
Catatan : misal 2 diatas sekaligus memdiberitahukan kepada kita bahwa ketika bekerja dengan limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di c. Karena serius kita ialah ketika x mendekati c, dengan kata lain x ≠ c.
Limit fungsi disuatu titik sanggup dipandang dari dua arah, yaitu dari arah kiri dan kanan. Perhatikan ilustrasi diberikut
Jika x < c maka x akan mendekati c dari arah kiri dan jikalau x > c maka x akan mendekati c dari arah kanan.
Secara umum kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiri sama dengan L" atau "limit kiri f di c sama dengan L" artinya jikalau x mendekati c dan x < c maka f(x) mendekati L.
$$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan sama dengan L" atau "limit kanan f di c sama dengan L" artinya jikalau x mendekati c dan x > c maka f(x) mendekati L.
misal 3
Perhatikan grafik fungsi f diberikut, kemudian tentukan
a. f(2) dan f(5)
b. \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
d. \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x)
e. \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. f(2) = 1 dan f(5) tidak ada
b. Saat x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 3
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) = 3
c. Saat x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati -1
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) = -1
d. Saat x mendekati 5 dari kiri, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
e. Saat x mendekati 5 dari kanan, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
misal 4
Perhatikan grafik fungsi f diberikut, kemudian tentukan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) dan \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
Ketika x mendekati 2 dari kiri, nilai f(x) akan terus mengecil tanpa batas, hasilnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Ketika x mendekati 2 dari kanan, nilai f(x) akan terus membesar tanpa batas, hasilnya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Catatan : misal diatas ialah masalah limit tak hingga. Untuk kasus-kasus limit tak hingga, ada cara lain untuk mengekspresikan suatu limit tidak ada, yaitu dengan memakai notasi ∞, jikalau nilai f(x) bertambah besar tanpa batas dan notasi -∞, jikalau nilai f(x) bertambah kecil (negatif besar) tanpa batas.
Eksistensi Limit
Ada syarat yang harus dipenuhi semoga suatu fungsi memiliki limit di c. Limit f di c ada jikalau dan spesialuntuk jikalau limit kiri dan limit kanan f di c ada dan nilainya sama. Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^{+}}=L}$$misal 5
Berdasarkan grafik fungsi f dibawah ini, tentukan nilai limit diberikut jikalau ada
a. \(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x)
b. \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. Untuk x mendekati -1
\(\mathrm{_{x \to -1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 1
\(\mathrm{_{x \to -1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 4
Karena limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x) tidak ada
b. Untuk x mendekati 1
\(\mathrm{_{x \to 1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Limit kiri = limit kanan = 2, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x) = 2
c. Untuk x mendekati 3
\(\mathrm{_{x \to 3^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 3^{+}}^{lim}}\) f(x) = 3
Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x) tidak ada
Pendekatan numerik dan grafik yang dipaparkan diatas ialah cara yang paling sempurna untuk memahami konsep limit, bukan menghitung nilai limit. Selama tidak ada pembenaran secara matematis, tidak ada jaminan bahwa taksiran atau prediksi kita benar 100%. Karena memang kita berangkat dari pemahaman limit secara intuitif.
Namun, kita masih sanggup menghitung nilai limit secara presisi dengan memakai teorema-teorema limit. Dari teorema-teorema ini, sanggup disusun metode-metode penyelesaian limit secara aljabar.
Emoticon