Sistem Persamaan Linier Dan Kuadrat

Bentuk umum sistem persamaan linier dan kuadrat :
y = ax + b
y = ax² + bx + c

Dalam grafik cartesius, titik potong antara garis dan parabola ialah penyelesaian sistem persamaan itu.

Metoda menuntaskan sistem persamaan ini yakni metoda substitusi dan eliminasi

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola diberikut ini :
01. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x² + 5x – 4 dan y = 3x + 4
Jawab
y = y
x² + 5x – 4 = 3x + 4
x² + 5x – 4 – 3x – 4 = 0
x² + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 5
x1 = –4 dan x2 = 2
Untuk x1 = –4 maka y1 = 3x1 + 4 = 3(–4) + 4 = –8
Untuk x2 = 2 maka y2 = 3x2 + 4 = 3(2) + 4 = 10
Makara H = {(–4, –8), (2, 10)}

02. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x² + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Jawab
y = x² + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Sehingga:
3x + 2y = 7
3x + 2(x² + 2x + 5) = 7
3x + 2x² + 4x + 10 = 7
2x² + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 5
x1 = –1/2 dan x2 = –3

Untuk x1 = –1/2 maka 3x1 + 2y1 = 7
3(–1/2) + 2y1 = 7
–3/2 + 2y1 = 7
2y1 = 17/2 maka y1 = 17/4

Untuk x2 = –3 maka 3x2 + 2y2 = 7
3(–3) + 2y2 = 7
–9 + 2y2 = 7
2y2 = 16
y2 = 8
Makara H = {(–1/2, 17/4), (–3, 8)}

Jika ditinjau dari gambar grafiknya, maka terdapat tiga macam kemungkinan penyelesaian sistim persamaan linier dan kuadrat.

Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi persamaan linier dan kuadrat, yakni:

untuk D > 0 memiliki dua titik penyelesaian
untuk D = 0 memiliki satu titik penyelesaian
untuk D < 0 tidak memiliki titik penyelesaian

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola diberikut ini :

03. Jika sistem persamaan y = x² – 4x + 3p dan y = 2x + 3 memiliki satu titik penyelesaian, maka tentukanlah nilai p
Jawab
y = y
x² – 4x + 3p = 2x + 3
x² – 4x + 3p – 2x – 3 = 0
x² – 6x + 3p – 3 = 0
Syarat :
D = b² – 4ac = 0
(–6)² – 4(1)(3p – 3) = 0
36 – 4(3p – 3) = 0
36 – 12p + 12 = 0
–12p + 48 = 0
–12p = –48
p = 4

Sistem persamaan linier dan kuadrat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, antara lain dalam bidang fisika. Beberapa diantaranya akan diuraikan pada pola soal diberikut ini:

01. Keliling sebuah persegi panjang yakni 18 cm. Jika panjang dan lebarnya bertambah 2 cm, maka luas persegipanjang tersebut menjadi 42 cm². Carilah ukuran persegi panjang tersebut
Jawab
Misalkan panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l, maka
Keliling = 2 (p + l) = 18
p + l = 9
l = 9 – p ............................................................................ (1)
Sesudah panjang dan lebar ditambah 2, maka luas persegi panjang menjadi
Luas = (p + 2) (l + 2) = 42 ............................................... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke (2) diperoleh
(p + 2) (9 – p + 2) = 42
(p + 2) (11 – p) = 42
11p – p² + 22 – 2p = 42
11p – p² + 22 – 42 = 0
p² – 9p – 20 = 0
(p – 4)(p – 5) = 0
Makara p = 5 cm dan l = 9 – 5 = 4 cm

02. Diketahui jumlah dua bilangan yakni 9. Jika jumlah kuadrat kedua bilangan itu yakni 41, maka tentukanlah selisih kedua bilangan tersebut
Jawab
Misalkan kedua bilangan itu yakni x dan y, maka
x + y = 9 y = 9 – x ….……………………… (1)
x² + y² = 41 …………………………………(2)
Jika disubstitusikan (1) ke (2) diperoleh :
x² + (9 – x)² = 41
x² + 81 – 2x + x² = 41
2x² – 2x + 40 = 0
x² – x + 20 = 0
(x – 4)(x – 5) = 0
Untuk x = 4 diperoleh y = 9 – 4 = 5
Untuk x = 5 diperoleh y = 9 – 5 = 4
Makara kedua bilangan itu yakni 4 dan 5, sehingga selisihnya : 5 – 4 = 1