Penyelesaian Persamaan Eksponen

Penyelesaian dari suatu persamaan eksponen dalam peubah x ialah tiruana nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang dipakai dalam menentukan solusinya.

A.  Bentuk  a^f(x) = a^g(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya tidak sama, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi semoga persamaan tersebut bernilai benar ialah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

 Sifat A  Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

 misal 1 
Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, menurut sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya ialah x = 2

B.  Bentuk  a^f(x) = b^f(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang tidak sama, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk a, b ≠ 0, maka a⁰ = 1 dan b⁰ = 1. Akibatnya a⁰ = b⁰, untuk a, b ≠ 0. Jadi, semoga persamaan a^f(x) = b^f(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

 Sifat B  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

 misal 2 
Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas tidak sama dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang sanggup kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya sanggup kita samakan menjadi sebagai diberikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya ialah x = 1

C.  Bentuk  a^f(x) = b^g(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang tidak sama, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga tidak sama yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk menyerupai ini sanggup kita tentukan dengan memakai sifat-sifat logaritma.

 Sifat C  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x) 

 misal 3 
Tentukan penyelesaian dari (\(\frac{2}{3}\))^x = 6^1-x

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas tidak sama, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log  (\(\frac{2}{3}\))^x = log 6^1-x
x log (\(\frac{2}{3}\)) = (1 - x) log 6       log aⁿ = n log a
x log (\(\frac{2}{3}\)) = log 6 - x log 6   
x log (\(\frac{2}{3}\)) + x log 6 = log 6
x (log (\(\frac{2}{3}\)) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                    log a + log b = log (ab)
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;4}}\)
x = ⁴log 6

Jadi, penyelesaiannya ialah x = ⁴log 6

D.  Bentuk  f(x)^g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
2. Karena (-1)^g(x) = 1 benar jikalau g(x) genap, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
3. Karena f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Sifat D  Jika f(x)^g(x) = 1 maka   
(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

 misal 4 
Tentukan HP dari (2x + 3)^x-1 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  ✘
Periksa :
Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  ✔
Periksa :
Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}

E.  Bentuk  f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang tidak sama, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).
2. Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jikalau dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)^h(x) = (-2)^h(x)  bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jikalau f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.
3. Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)⁰ = 1 dan g(x)⁰ = 1. Akibatnya, f(x)⁰ = g(x)⁰  ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jikalau h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

 Sifat E  Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka   
(1)  f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

 misal 5 
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}

F.  Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai basis yang sama, yaitu f(x). Namun kedua pangkatnya tidak sama, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu g(x) = h(x).
2. Untuk berapapun nilai g(x) dan h(x), maka 1^g(x) = 1 dan 1^h(x) = 1. Akibatnya, 1^g(x) = 1^h(x)  untuk berapapun nilai g(x) dan h(x). Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jikalau f(x) = 1.
3. Karena (-1)^g(x) = (-1)^h(x) benar ketika g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jikalau f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil. 
4. Untuk g(x) dan h(x) positif, maka 0^g(x) = 0 dan 0^h(x) = 0. Akibatnya, 0^g(x) = 0^h(x) ketika g(x) dan h(x) positif. Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jikalau f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua positif.

 Sifat F  Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka   
(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

 misal 6 
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jikalau salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}


Coba perhatikan kembali solusi-solusi yang menyangkut syarat pangkat genap pada sifat-sifat diatas. Yang menarikdanunik untuk dipertanyakan ialah bagaimana seandainya pangkatnya berbentuk pecahan. Hal ini perlu diulas alasannya ialah tidak menutup kemungkinan ketika menyelidiki apakah pangkatnya genap atau ganjil, ternyata yang kita temukan ialah bilangan pecahan, yang sudah terperinci bukan ialah bilangan genap ataupun ganjil.

Yang perlu dipahami ialah ketika kita mempersembahkan syarat bahwa pangkatnya harus genap tujuannya ialah ingin memperoleh nilai positif. Kita tahu bahwa (-1)^p bernilai positif ketika p genap. Namun, bagaimana seandainya p bukan bilangan lingkaran melainkan bilangan pecahan, misalkan \(\mathrm{\frac{m}{n}}\) dengan m dan n bilangan bulat.

Pertanyaan spesifiknya ialah kapan (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif ?

Berdasarkan sifat eksponen, kekerabatan pangkat kepingan dengan bentuk akar sanggup kita nyatakan sebagai diberikut $$(-1)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(-1)^{m}}$$ Dari bentuk diatas, sanggup kita simpulkan bahwa

• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif, jikalau m genap.
• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai negatif, jikalau m dan n ganjil
• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) tidak terdefinisi untuk bilangan real, jikalau m ganjil dan n genap.

Karena (-1)\(\mathrm{^{\frac{{\color{Red} m}}{n}}}\) bernilai positif ketika m genap, maka syarat pangkat genap terpenuhi ketika m genap. Namun, bukan berarti kita mengganggap bahwa m/n ialah bilangan genap. 

Sebagai contoh, (3x - 2)^x+1 = 1
Salah satu solusi dari persamaan diatas ialah ketika basisnya -1 dengan syarat pangkatnya genap (sifat D.2)
3x - 2 = -1
3x = 1
x = \(\frac{1}{3}\)

Periksa :
Untuk x = \(\frac{1}{3}\)  →  x + 1 = \(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{{\color{Red} 4}}{3}\)
Karena 4 bilangan genap, maka x = \(\frac{1}{3}\) memenuhi.


Selain bentuk-bentuk diatas, terdapat pula persamaan eksponen yang sanggup ditetapkan dalam bentuk persamaan kuadrat. Biasanya, persamaan menyerupai ini memuat 3 suku dengan 1 diantaranya konstan. Untuk solusinya sanggup disimak pada contoh diberikut!

 misal 7 
Tentukan HP dari 2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0

Jawab :
2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0
(2^x)² - 3. 2^x . 2¹ + 8= 0
(2^x)² - 6(2^x) + 8 = 0

Misalkan 2^x = p, sehingga
p² - 6p + 8 = 0
(p - 2)(p - 4) = 0
p = 2 atau p = 4

Untuk p = 2
2^x = 2
2^x = 2¹
x = 1

Untuk p = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

Jadi, HP = {1, 2}


Ketika mencari solusi dari persamaan eksponen, langkah pertama yang kita lakukan ialah memperhatikan basis dan pangkat pada kedua ruas persamaan tersebut, apakah sama atau tidak sama. Hal ini kita lakukan sebagai pola dalam menentukan sifat mana yang akan digunakan. Seandainya kedua basisnya konstan dan memungkinkan untuk disamakan, maka samakan basisnya terlebuh lampau.

Berikut beberapa contoh tes soal persamaan eksponen.

 Latihan 1 
Tentukan penyelesaian dari (0,125)^x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)

Jawab :
(0,125)^x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)
\(\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}}\) = \(16^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
\(\mathrm{\left ( 2^{-3} \right )^{x+1}}\) = \(\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
(2)^-3x-3 = (2)^2-2x

Berdasarkan sifat A diperoleh
-3x - 3 = 2 - 2x
-x = 5
x = -5

Jadi, penyelesaiannya ialah x = -5


 Latihan 2 
Jika penyelesaian dari 5^t4-1 = 3^t4-1 adalah t₁ dan t₂ dengan t₁ > t₂, tentukan nilai t₂ - t₁ !

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t⁴ - 1 = 0
(t² - 1)(t² + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t² + 1) = 0
t = -1  atau t = 1
Catatan : t² + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, sanggup diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t₁ > t₂ , maka t₁ = 1 dan t₂ = -1. Akibatnya
t₂ - t₁ = -1 - 1 = -2


 Latihan 3 
Tentukan HP dari 3^x2-1 = 2^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat C, maka
log 3^x2-1 = log 2^x+1
(x² - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu (x + 1). Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika (x + 1)  = 0.
x + 1 = 0
x = -1

Untuk (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;3}}\)
x = ³log 6

HP = {-1, ³log 6}


 Latihan 4 
Tentukan HP dari (x² - x - 1)^3x-9 = 1

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x² - x - 1 = 1
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x² - x - 1 = -1
x² - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi ialah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3  →  (x² - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3}


 Latihan 5 
Tentukan HP dari (x² + 3x - 2)^2x+3 = (x² + 2x + 4)^2x+3

Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2  →  (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi ialah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6}


 Latihan 6 
Tentukan HP dari (x² - 1)^x-1 = (x² - 1)^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas mempunyai 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x² - 1 = 1
x² = 2
x = √ 2  atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x² - 1 = -1
x² = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x² - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2}


 Latihan 7 
Akar-akar persamaan 9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, tentukan x₁ - x₂

Jawab :
9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0
9^x.9¹ - 10.3^x + 1 = 0
9(3^x)²  - 10(3^x) + 1 = 0

Misalkan a = 3^x sehingga
9a² - 10a + 1 = 0
(9a - 1)(a - 1) = 0
a = \(\frac{1}{9}\) atau a = 1

Untuk a = \(\frac{1}{9}\)
3^x = \(\frac{1}{9}\)
3^x = 3^-2
x = -2

Untuk a = 1
3^x = 1
3^x = 3⁰
x = 0

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 0 dan x₂ = -2. Akibatnya
x₁ - x₂ = 0 - (-2) = 2
Jadi, nilai x₁ - x₂ adalah 2.


 Latihan 8 
Akar-akar persamaan 6^x2-x = 2^x+1 adalah x₁ dan x₂. Tentukan nilai x₁ + x₂

Jawab :
Berdasarkan sifat C :
log 6^x2-x  =  log 2^x+1 
(x² - x) log 6  =  (x + 1) log 2
x² log 6  -  x log 6  =  x log 2  +  log 2
x² log 6  -  x log 6  -  x log 2  -  log 2  =  0
x² log 6  -  (log 6 + log 2)x  -  log 2  =  0
(log 6)x²  -  (log 12)x  -  log 2  =  0

Pandang persamaan diatas sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien :
a = log 6
b = - log 12
c = - log 2

Berdasarkan rumus kuadrat :
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ + x₂ = log12 / log 6
x₁ + x₂ = ⁶log 12

Jadi, x₁ + x₂ = ⁶log 12