Pembahasan Soal Un Hukum Sinus Dan Cosinus

Pembahasan soal ujian nasional matematika IPA jenjang pendidikan Sekolah Menengan Atas untuk pokok bahasan trigonometri yang mencakup aturan sinus dan hukum cosinus serta luas segitiga.


1.  UN 2003
Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm dan √21 cm adalah...
A.  \(\frac{1}{5}\)√21
B.  \(\frac{1}{6}\)√21
C.  \(\frac{1}{5}\)√5
D.  \(\frac{1}{6}\)√5
E.  \(\frac{1}{3}\)√5

Pembahasan :
Sudut terkecil pada segitiga yakni sudut yang sisi di depannya ialah sisi terpendek. Misalkan sudut terkecil yakni θ.

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
(√21)² = 5² + 6² - 2 × 5 × 6 × cos θ
21 = 61 - 60 cos θ
60 cos θ = 40
cos θ = \(\frac{2}{3}\)

sisi samping = 2
sisi miring = 3
sisi depan = \(\sqrt{3^{2}-2^{2}}\) = √5
Jadi, sin θ = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Jawaban : E


2.  UN 2005
Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi dikala kapal berangkat adalah...
A.  10√37 mil
B.  30√7 mil
C.  30\(\sqrt{5+2\sqrt{2}}\) mil
D.  30\(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\) mil
E.  30\(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\) mil

Pembahasan :
Kapal berlayar ke arah timur artinya kapal berlayar dengan arah 090°.

∠ABC = 90° + 30° = 120°
melaluiataubersamaini hukum cosinus :
AC² = AB² + BC² - 2 × AB × BC × cos 120°
AC² = 30² + 60² - 2 × 30 × 60 × (-1/2)
AC² = 900 + 3600 + 1800
AC² = 6300
AC² = 900. 7
AC = 30√7

Jawaban : B


3.  UN 2006
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C yakni ...
A.  10√95 km
B.  10√91 km
C.  10√85 km
D.  10√71 km
E.  10√61 km

Pembahasan :

∠ABU = 180° - 44° = 136°
∠ABC = 360° - (∠ABU + ∠CBU)
∠ABC = 360° - (136° + 104°)
∠ABC = 120°

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
AC² = AB² + BC² - 2 × AB × BC × cos 120°
AC² = 50² + 40² - 2 × 50 × 40 × (-1/2)
AC² = 2500 + 1600 + 2000
AC² = 6100
AC = 10√61

Jawaban : E


4.  UN 2007
Diketahui A dan B yakni titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 meter, maka panjang terowongan itu adalah... meter.
A.  p√5
B.  p√17
C.  3√2
D.  4p
E.  5p

Pembahasan :

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cos 45°
AB² = p² + (2p√2)² - 2 × p × 2p√2 × \(\frac{1}{2}\)√2
AB² = p² + 8p² - 4p²
AB² = 5p²
AB = p√5

Jawaban : A


5.  UN 2008
Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 60° dan sudut ABM = 75°. Maka AM = ...
A.  150(1 + √3) cm
B.  150(√2 + √3) cm
C.  150(3 + √3) cm
D.  150(√2 + √6) cm
E.  150(√3 + √6) cm

Pembahasan :

∠AMB = 180° - (60° + 75°) = 45°
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30°. cos 45° + cos 30°. sin 45°
sin 75° = \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)√2 + \(\frac{1}{2}\)√3. \(\frac{1}{2}\)√2
sin 75° = \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

melaluiataubersamaini hukum sinus :
\(\mathrm{\frac{AM}{sin\,75^{\circ}}=\frac{AB}{sin\,45^{\circ}}}\)
AM. sin 45° = AB. sin 75°
AM. \(\frac{1}{2}\)√2 = 300. \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)    (kali 2)
AM. √2 = 150(√2 + √6)    (kali √2)
AM. 2 = 150(2 + 2√3)     (bagi 2)
AM = 150(1 + √3)

Jawaban : A


6.  UN 2010
Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari bulat luar 8 cm adalah...
A.  192 cm²
B.  172 cm²
C.  162 cm²
D.  148 cm²
E.  144 cm²

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°

Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB × sin θ
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8 × sin 30°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8 × \(\frac{1}{2}\)
Luas △ OAB = 16

Luas segi-12 = 12 × Luas △ OAB
Luas segi-12 = 12 × 16
Luas segi-12 = 192

Jawaban : A


7.  UN 2011
Dalam suatu bulat yang berjari-jari 8 cm, dibentuk segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah...
A.  \(\sqrt{128-64\sqrt{3}}\) cm
B.  \(\sqrt{128-64\sqrt{2}}\) cm
C.  \(\sqrt{128-16\sqrt{2}}\) cm
D.  \(\sqrt{128+16\sqrt{2}}\) cm
E.  \(\sqrt{128+16\sqrt{3}}\) cm

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
s² = 8² + 8² - 2 × 8 × 8 × cos 45°
s² = 64 + 64 - 2 × 64 × \(\frac{1}{2}\)√2
s² = 128 - 64√2
s = \(\sqrt{128-64\sqrt{2}}\)

Jawaban : B


8.  UN 2012
Keliling suatu segi-enam beraturan yakni 72 cm. Luas segi-6 tersebut adalah...
A.  432√3 cm²
B.  432 cm²
C.  216√3 cm²
D.  216√2 cm²
E.  216 cm²

Pembahasan :

Keliling segi-6 = 6s
72 = 6s
s = 12

△ OAB sama sisi dengan panjang sisi 12 cm.
Tinggi △ OAB = \(\sqrt{12^{2}-6^{2}}\) = 6√3
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × bantalan × tinggi
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 6√3
Luas △ OAB = 36√3

Luas segi-6 = 6 × Luas △ OAB
Luas segi-6 = 6 × 36√3
Luas segi-6 = 216√3

Jawaban : C


9.  UN 2012
Luas segi-12 beraturan yakni 192 cm². keliling segi-12 beraturan tersebut adalah...
A.  96\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
B.  96\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
C.  8\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
D.  8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
E.  \(\sqrt{128-\sqrt{3}}\) cm

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°

Luas segi-12 = 12 × Luas △ OAB
192 = 12 × Luas △ OAB
Luas △ OAB = 16

Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin θ
16 = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin 30°
16 = \(\frac{1}{2}\) × r² × \(\frac{1}{2}\)
r² = 64
r = 8

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
s² = r² + r² - 2 × r × r × cos 30°
s² = 8² + 8² - 2 × 8 × 8 × \(\frac{1}{2}\)√3
s² = 128 - 64√3
s² = 64 (2 - √3)
s = 8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Keliling segi-12 = 12s
Keliling segi-12 = 12 × 8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Keliling segi-12 = 96\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Jawaban : B


10.  UN 2012
Panjang jari-jari segi-8 beraturan yakni 6 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...
A.  6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
B.  12\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
C.  36\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
D.  48\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
E.  72\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
s² = 6² + 6² - 2 × 6 × 6 × cos 45°
s² = 6² + 6² - 2 × 6 × 6 × \(\frac{1}{2}\)√2
s² = 72 - 36√2
s² = 36(2 - √2)
s = 6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

Keliling segi-8 = 8s
Keliling segi-8 = 8 × 6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Keliling segi-8 = 48\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

Jawaban : D

11.  UN 2013
Keliling segi-12 beraturan yang jari-jari bulat luarnya r cm yakni ...
A.  2r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
B.  6r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
C.  12r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
D.  6r\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
E.  12r\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°

Perhatikan segitiga yang diarsir, dengan hukum cosinus :
s² = r² + r² - 2 × r × r × cos 30°
s² = r² + r² - 2 × r² × \(\frac{1}{2}\)√3
s² = 2r² - r²√3
s² = r² (2 - √3)
s = r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Keliling segi-12 = 12s
Keliling segi-12 = 12r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Jawaban : C


12.  UN 2013
Diketahui jari-jari bulat luar suatu segi-8 beraturan yakni r. Luas segi-8 yang sanggup dibentuk adalah...
A.  1/4 r²√2
B.  1/2 r²√2
C.  3/4 r²√2
D.  r²√2
E. 2 r²√2

Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin 45°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × \(\frac{1}{2}\)√2
Luas △ OAB = \(\frac{1}{4}\)r²√2

Luas segi-8 = 8 × Luas △ OAB
Luas segi-8 = 8 × \(\frac{1}{4}\)r²√2
Luas segi-8 = 2r²√2

Jawaban : E


13.  UN 2014
Diketahui jajar genjang PQRS ibarat gambar. Panjang diagonal PR = ...
A.  5√3 cm
B.  6√3 cm
C.  7√2 cm
D.  7√3 cm
E.  8 cm

Pembahasan :
PS = QR = 6 cm
∠Q = 180° - 60° = 120°

Perhatikan △ PQR, dengan hukum cosinus :
PR² = PQ² + QR² - 2 × PQ × QR × cos 120°
PR² = 6² + 6² - 2 × 6 × 6 × (-1/2)
PR² = 36 + 36 + 36
PR² = 36 × 3
PR = 6√3

Jawaban : B


14.  UN 2015
Perhatikan gambar. Panjang RS adalah...
A.  4√3 cm
B.  4√2 cm
C.  3√3 cm
D.  2√3 cm
E.  2√2 cm

Pembahasan :
Perhatikan △ PQR, dengan hukum cosinus :
PR² = PQ² + QR² - 2 × PQ × QR × cos 120°
PR² = 4² + 4² - 2 × 4 × 4 × (-1/2)
PR² = 16 + 16 + 16
PR² = 16 × 3
PR = 4√3

Perhatikan △ PRS, dengan hukum sinus :
\(\mathrm{\frac{RS}{sin\,45^{\circ}}=\frac{PR}{sin\,60^{\circ}}}\)
RS × sin 60° = PR × sin 45°
RS × √3/2 = 4√3 × √2/2
RS = 4√2

Jawaban : B


15.  UN 2016

Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuahan A pada pukul 07.00 dengan arah 030° dan datang dipelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150° dan datang dipelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A yakni ...
A.  200√2 mil        D.  200√7 mil
B.  200√3 mil        E.  600 mil
C.  200√6 mil

Pembahasan :
Kecepatan rata-rata 50 mil/jam
Dari A ke B membutuhkan 4 jam perjalanan.
Dari B ke C membutuhkan 8 jam perjalanan.

Jarak A ke B = 50 × 4 = 200 mil
Jarak B ke C = 50 × 8 = 400 mil

∠ABU = 180° - 30° = 150°
∠ABC = 360° - (∠ABU + ∠CBU)
∠ABC = 360° - (150° + 150°)
∠ABC = 60°

melaluiataubersamaini hukum cosinus :
AC² = AB² + BC² - 2 × AB × BC × cos 60°
AC² = 200² + 400² - 2 × 200 × 400 × 1/2
AC² = 120.000
AC² = 40.000 × 3
AC = 200√3

Jawaban : B