Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Sudut ganda atau sudut rangkap dua biasa ditetapkan dalam sudut 2α. Perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, yaitu sin 2α, cos 2α dan tan 2α dapat kita nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut tunggalnya, ialah sudut α. Ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut 2α dan sudut α inilah yang nantinya kita sebut dengan rumus trigonometri sudut ganda.

Rumus sudut ganda sanggup dengan praktis kita turunkan dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dalam hal ini sin (α + β), cos (α + β) dan tan (α + β).

Penurunan Rumus Sinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus sin (α + β).

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

Karena α + α = 2α dan sin α cos α = cos α sin α, maka persamaan diatas menjadi

sin 2α = 2sin α cos α

Penurunan Rumus Cosinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus cos (α + β).

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

atau sanggup kita tulis

cos 2α = cos²α - sin²α

Jika kita substitusikan sin²α = 1 - cos²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 2cos²α - 1

Jika kita substitusikan cos²α = 1 - sin²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 1 - 2sin²α

Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus tan (α + β). $$tan\,(\alpha +\beta )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\beta }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\beta }$$ Jika α = β, maka rumus diatas menjadi $$tan\,(\alpha +\alpha )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\alpha }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\alpha }$$ atau sanggup kita tulis $$\mathbf{{ tan\,2\alpha=\frac{2\,tan\,\alpha}{1\,-\,tan^{2}\alpha}}}$$

Rumus trigonometri sudut ganda akan sangat berkhasiat dalam menyederhanakan ekspresi-ekspresi trigonometri nantinya, khususnya pada pokok bahasan yang melibatkan fungsi trigonometri ibarat limit, turunan, integral dan persamaan trigonometri.

Berikut contoh-contoh soal yang sanggup kita jadikan tes dalam memakai dan memanipulasi rumus-rumus sudut ganda menjadi bentuk-bentuk lain yang masih tetap ekuivalen.


 misal 1 
Tentukan nilai dari sin 2α, cos 2α dan tan 2α jika diketahui sin α = 3/5, dengan α lancip!

Jawab :
Diketahui sin α = 3/5. melaluiataubersamaini memakai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh cos α = 4/5 dan tan α = 3/4.

sin 2α = 2sin α cos α
sin 2α = 2(\(\frac{3}{5}\))(\(\frac{4}{5}\))
sin 2α = \(\frac{24}{25}\)

cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = (\(\frac{4}{5}\))² - (\(\frac{3}{5}\))²
cos 2α = \(\frac{7}{25}\)

tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha }}\)
tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan 2α = \(\frac{24}{7}\)



 misal 2 
Diketahui sin α = p dan cos β = q.
Nyatakan \(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) dalam p dan q.

Jawab :
cos 2α  =  1 - 2sin²α  =  1 - 2p²
cos 2β  =  2cos²β - 1  =  2q² - 1

\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(1 - 2p² + 2q² - 1)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(2q² - 2p²)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = q² - p²



 misal 3 
Jika sin x = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dengan 45° < x < 90°, maka cos 2x = ...

Jawab :
cos 2x = 1 - 2sin²x
cos 2x = 1 - 2\(\left (\frac{\sqrt{3}}{3}  \right )^{2}\)
cos 2x = \(\frac{1}{3}\)

Karena 45° < x < 90° maka 90° < 2x < 180°. Akibatnya, cos 2x akan bernilai negatif. Jadi, cos 2x = -\(\frac{1}{3}\).



 misal 4 
Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan ∠A = ∠B = α dan  ∠C = θ. Jika cos α = 4/5, maka tan θ = ...

Jawab :
Diketahui cos α = 4/5. melaluiataubersamaini memakai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh tan α = 3/4.

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + α + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 2α

tan θ = tan (180° - 2α)
tan θ = -tan 2α
tan θ = -\(\mathrm{ \frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha } }\)
tan θ = -\(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan θ = -\(\frac{24}{7}\)



 misal 5 
Gunakan rumus sinus sudut ganda untuk menyederhakankan bentuk-bentuk diberikut!

(a)  8sin 3x cos 3x
Jawab :
8sin 3x cos 3x = 4 . 2sin 3x cos 3x
8sin 3x cos 3x = 4 . sin 2(3x)
8sin 3x cos 3x = 4sin 6x

(b)  cos 5x sin 5x
Jawab :
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . 2sin 5x cos 5x
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . sin 2(5x)
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) sin 10x

(c)  (sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x
Jawab :
(sin 4x - cos 4x)² = (sin 4x - cos 4x)(sin 4x - cos 4x)
(sin 4x - cos 4x)² = sin²4x + cos²4x - 2sin 4x cos 4x
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 2(4x)
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x



 misal 6 
Tentukan nilai eksak dari

(a)  sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
Jawab :
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . 2sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin 2\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin \(\left ( \frac{3\pi }{4} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\)√2
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{4}\)√2

(b)  4cos²15° - 3
Jawab :
4cos²15° - 3 =  4cos²15° - 2  - 1
4cos²15° - 3 =  2 (2cos²15° - 1)  - 1
4cos²15° - 3 =  2 cos 2(15°)  - 1
4cos²15° - 3 =  2 cos 30°  - 1
4cos²15° - 3 =  2 (\(\frac{1}{2}\)√3)  - 1
4cos²15° - 3 =  √3 - 1



 misal 7 
Tunjukkan bahwa

(a)  sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 - cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 1 - 2sin²α
⇔ 2sin²α = 1 - cos 2α
⇔ sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 - cos 2α)

(b)  cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 2cos²α - 1
⇔ 2cos²α = 1 + cos 2α
⇔ cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)




 misal 8 
Nyatakan cos²2x dan cos⁴x dalam suatu mulut yang melibatkan fungsi trigonometri dengan pangkat tertinggi satu ! (Gunakan sifat pada pola 7)

Jawab :
Berdasarkan sifat cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α) maka
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2(2x))
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x)

cos⁴x = (cos²x)²
cos⁴x = (\(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2x))²
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + cos²2x)
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x))
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(\(\frac{3}{2}\) + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)cos 4x)
cos⁴x = \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{1}{2}\)cos 2x + \(\frac{1}{8}\)cos 4x



 misal 9 
Tunjukkan bahwa 1 - cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\)), n konstan.

Jawab :
1 - cos nx = 1 - cos 2(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))
Misalkan \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) = α, sehingga persamaan diatas menjadi

1 - cos nx = 1 - cos 2α

1 - cos nx = 1 - (1 - 2sin²α)

1 - cos nx = 1 - 1 + 2sin²α
1 - cos nx = 2sin²α
Substitusikan kembali α = \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) sehingga diperoleh
1 - cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))



 misal 10 
Nyatakan bentuk-bentuk diberikut ke dalam sinus! (Gunakan sifat pada pola 9)

(a)  1 - cos 8x
Jawab :
1 - cos 8x = 2sin²(\(\mathrm{\frac{8x}{2}}\))
1 - cos 8x = 2sin²4x

(b)  cos 6x - 1
Jawab :
cos 6x - 1 = -(1 - cos 6x)
cos 6x - 1 = -2sin²(\(\mathrm{\frac{6x}{2}}\))
cos 6x - 1 = -2sin²3x

(c)  3 - 3cos 4x
Jawab :
3 - 3cos 4x = 3(1 - cos 4x)
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²(\(\mathrm{\frac{4x}{2}}\))
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²2x
3 - 3cos 4x = 6sin²2x



 misal 11 
Buktikan identitas diberikut :

(a)  csc 2α - cot 2α = tan α
Jawab :
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,2\alpha }-\frac{cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{1\,-\,cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{2\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = tan α

(b)  cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)
Jawab :
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos\,2\alpha}{sin\,2\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos^{2}\alpha \,-\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha }-\frac{sin^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos\,\alpha }{sin\,\alpha }-\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\frac{1}{2}\)(cot α - \(\mathrm{\frac{1}{cot\,\alpha}}\))
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{cot\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)



 misal 12 
Untuk 0 < x < 2π, tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x - 3sin x + 1 = 0

Jawab :
cos 2x - 3sin x + 1 = 0
(1 - 2sin²x) - 3sin x + 1 = 0
-2sin²x - 3sin x + 2 = 0
2sin²x + 3sin x - 2 = 0
(sin x + 2)(2sin x - 1) = 0
sin x = -2  atau  sin x = 1/2

sin x = -2   →   tidak memiliki solusi
sin x = \(\frac{1}{2}\)   →   x = {30°, 150°}
Jadi, HP = {\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\)}