Posted by Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2017 untuk Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) arahan naskah 136 mata uji Matematika IPA.
Materi uji mencakup : Sistem persamaan linier, Bunga majemuk, Pertidaksamaan rasional, Vektor, Persamaan trigonometri, Persamaan parabola dan asimtotnya, Suku banyak, Geometri datar (lingkaran), Integral tentu, Limit fungsi trigonometri, Limit trigonometri di tak hingga, Fungsi rasional dan asimtotnya, Turunan fungsi trigonometri, Persamaan garis singgung kurva, Peluang.
1. SBMPTN 2017 Sistem Persamaan Linier
Jika x, y yaitu solusi sistem \(\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{3\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=2\\ -\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{6\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=-1
\end{matrix}\right.\)
maka x + 2y = ...
(A) \(\frac{5}{3}\)
(B) \(\frac{7}{3}\)
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan :
Jika dimisalkan \(\mathrm{\frac{x}{y+1}}\) = p dan \(\mathrm{\frac{y}{x+1}}\) = q, maka sistem diatas sanggup ditulis menjadi
p + 3q = 2 .................(1)
-3p + 6q = -1 ............(2)
Eliminasi (1) dan (2) diperoleh p = 1 dan q = \(\frac{1}{3}\). Sehingga
\(\mathrm{\frac{x}{y+1}}\) = 1 ⇔ x - y = 1 ............(3)
\(\mathrm{\frac{y}{x+1}}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇔ x - 3y = -1 .........(4)
Eliminasi (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 1.
Jadi, x + 2y = 2 + 2(1) = 4
Jawaban : D
2. SBMPTN 2017 Bunga Majemuk
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang manfaatnya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga pertahun yaitu ...
(A) 2\(\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )\)
(B) 2\(\left ( \sqrt[5]{2}\,-\,1 \right )\)
(C) 2\(\left ( \sqrt{2} \right )\)
(D) 2\(\left ( \sqrt[5]{2} \right )\)
(E) 2\(\left ( \sqrt[10]{2} \right )\)
Pembahasan :
Jika kita perhatikan opsi jawabanan (memuat bentuk akar), maka bunga yang dimaksud pada soal yaitu bunga majemuk, sehingga berlaku :
Mn = Mo(1 + i)n
dengan
Mn = jumlah tabungan setelah n periode
Mo = jumlah tabungan awal
i = tingkat suku bunga
Jumlah tabungan dalam 5 tahun (10 semester) adalah
M10 = Mo(1 + i)10
(n = 10, sebab laba dihitung per semester)
M10 = 2Mo
Sehingga diperoleh persamaan
Mo(1 + i)10 = 2Mo
⇔ (1 + i)10 = 2
⇔ 1 + i = \(\sqrt[10]{2}\)
⇔ i = \(\sqrt[10]{2}\) - 1
Jadi, besar suku bunga /semester yaitu i = \(\sqrt[10]{2}\) - 1 dan besar suku bunga /thn yaitu 2i = 2\(\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )\).
Jawaban : A
3. SBMPTN 2017 Pertidaksamaan Rasional
Banyak bilangan lingkaran x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}\leq 1}\) yaitu ...
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Pembahasan :
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}-1\leq 0}\)
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)\,-\,(x+3)(x-4)}{(x+3)(x-4)}\leq 0}\)
⇔ \(\mathrm{\frac{10}{(x+3)(x-4)}\leq 0}\)
Nilai x yang memenuhi yaitu -3 < x < 4.
Jadi, banyak bilangan lingkaran yang memenuhi pertidaksamaan diatas ada 6, yaitu {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Jawaban : E
4. SBMPTN 2017 Vektor
Diketahui vektor a, u, v, w yaitu vektor di bidang kartesius dengan v = w - u dan sudut antara u dan w yaitu 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka ...
(A) ||u|| = 2||v||
(B) ||v|| = 2||w||
(C) ||v|| = 2||u||
(D) ||w|| = 2||v||
(E) ||w|| = 2||u||
Pembahasan :
Karena v = w - u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| cos 60°
|v|² = |w|² + |u|² - 2|w| |u| \(\frac{1}{2}\)
|v|² = |w|² + |u|² - |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² - |v|² .............................(1)
Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0 ⇔ u.v = 0
Karena v = w - u maka w = u + v sehingga berlaku :
|w|² = |u|² + |v|²
|w|2 = |u|² + |v|²
|w|2 = |u|² + |v|² ........................................(2)
Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² - |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|
Jawaban : E
5. SBMPTN 2017 Persamaan Trigonometri
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x1) . (cot x2) = ...
(A) -2
(B) -1
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Pembahasan :
cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\)
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}} \right )\)cot x + cot x - 1 = 0
cot2x - 1 + cot x - 1 = 0
cot2x + cot x - 2 = 0
(cot x + 2)(cot x - 1) = 0
cot x = -2 atau cot x = 1
Karena pada soal tidak didiberikan syarat untuk x, karenanya persamaan trigonometri diatas mempunyai tak sampai banyaknya solusi. Meskipun demikian, nilai (cot x1) . (cot x2) spesialuntuk ada tiga kemungkinan.
Jika x1 dan x2 dipilih dari persamaan cot x = -2, maka :
(cot x1) . (cot x2) = (-2)(-2) = 4
Jika x1 dan x2 dipilih dari persamaan cot x = 1, maka :
(cot x1) . (cot x2) = (1)(1) = 1
Jika x1 dipilih dari persamaan cot x = -2 dan x2 dipilih dari persamaan cot x = 1 ataupun sebaliknya, maka :
(cot x1) . (cot x2) = (-2)(1) = -2
Jadi, nilai (cot x1) . (cot x2) yang mungkin yaitu 4, 1 atau -2. Dari opsi jawabanan, yang memenuhi yaitu A dan C. Secara pribadi, saya menentukan opsi A dengan perkiraan cot x1 ≠ cot x2.
Jawaban : A
6. SBMPTN 2017 Hiperbola dan Asimtotnya
Jika y = \(\frac{2}{3}\)x - 5 yaitu asimtot berlebihan \(\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}\), maka salah satu nilai n yang mungkin yaitu ...
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
(E) 4
Pembahasan :
Asimtot berlebihan \(\mathrm{\frac{(x\,-\,p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y\,-\,q)^{2}}{b^{2}}=1}\) adalah
y - q = \(\mathrm{\frac{b}{a}}\)(x - p) atau y - q = -\(\mathrm{\frac{b}{a}}\)(x - p).
\(\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}\)
\(\mathrm{\frac{(x\,-\,n)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y\,+\,1)^{2}}{2^{2}}=1}\)
Persamaan asimtotnya adalah
y + 1 = \(\frac{2}{3}\)(x - n) atau y + 1 = -\(\frac{2}{3}\)(x - n)
Diketahui persamaan asimtotnya y = \(\frac{2}{3}\)x - 5 dengan koefisien x bernilai positif. Jadi, pilih yang bertanda (+), yaitu :
y + 1 = \(\frac{2}{3}\)(x - n) ⇔ y = \(\frac{2}{3}\)x - \(\frac{2}{3}\)n - 1
Diperoleh persamaan :
-\(\frac{2}{3}\)n - 1 = -5
⇔ -\(\frac{2}{3}\)n = -4
⇔ n = 6
Jawaban : C
7. SBMPTN 2017 Suku Banyak
Jika sisa pemberian p(x) oleh x - 1 yaitu 1, maka sisa pemberian p(x) oleh (x - 1)(x - 3) yaitu ...
(A) -\(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1](x - 1) + 1
(B) \(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1](x - 1) + 1
(C) -\(\frac{1}{2}\)[p(3) + 1](x - 1) + 1
(D) [p(3) + 1](x - 1) + 1
(E) -[p(3) + 1](x - 1) + 1
Pembahasan :
p(x) = pembagi × hasil bagi + sisa
Diketahui p(x) dibagi (x - 1) bersisa 1. Dapat kita tulis :
p(x) = (x - 1) q(x) + 1 .............................(1)
(untuk suatu suku banyak q(x) )
Untuk x = 3, maka
p(3) = (3 - 1) q(3) + 1
p(3) = 2q(3) + 1
q(3) = \(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1] ............................(2)
Berdasarkan teorema sisa, jikalau q(x) dibagi (x - 3) maka sisanya yaitu q(3). Dapat ditulis
q(x) = (x - 3) r(x) + q(3) .........................(3)
(untuk suatu suku banyak r(x) )
Substitusi persamaan (2) ke (3) diperoleh :
q(x) = (x - 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1] .............(4)
Substitusi persamaan (4) ke pers (1) diperoleh :
p(x) = (x - 1) {(x - 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1]} + 1
p(x) = (x - 1)(x - 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1](x - 1) + 1
Jadi, sisa pemberian p(x) oleh (x - 1)(x - 3) adalah
\(\frac{1}{2}\)[p(3) - 1](x - 1) + 1
Jawaban : B
8. SBMPTN 2017 Geometri Datar
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui sentra suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran ialah diameter dari lingkaran kecil, ibarat pada gambar. Luas kawasan irisan kedua lingkaran yaitu ...
(A) 18Ï€ + 18
(B) 18Ï€ - 18
(C) 14Ï€ + 14
(D) 14Ï€ - 15
(E) 10Ï€ + 10
Pembahasan :
Perhatikan gambar (a), luas kawasan irisan kedua lingkaran yaitu : LI + LII
Perhatikan gambar (b), sebab ruas garis AB ialah diameter lingkaran kecil dan O terletak pada lingkaran kecil, maka ∠ AOB = 90°.
LI = Luas juring AOB - Luas segitiga AOB
LI = \(\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × Ï€.62 - \(\frac{1}{2}\) × 6.6
LI = 9Ï€ - 18
Perhatikan gambar (c), sebab AB yaitu diameter lingkaran kecil maka
LII = \(\frac{1}{2}\) × luas lingkaran kecil
LII = \(\frac{1}{2}\) × Ï€(3√2)2
LII = 9Ï€
Jadi, luas irisan yaitu (9Ï€ - 18) + (9Ï€) = 18Ï€ - 18
Jawaban : (B)
9. SBMPTN 2017 Integral Tentu
Jika \(\int_{-4}^{4}\mathrm{f(x)(sin\,x+1)\,dx=8}\), dengan f(x) fungsi genap dan \(\int_{-2}^{4}\mathrm{f(x)\,dx=4}\), maka \(\int_{-2}^{0}\mathrm{f(x)\,dx=...}\)
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Pembahasan :
(i) Jika f(x) fungsi ganjil maka
\(\int_{-a}^{a}\) f(x) dx = 0
(ii) Jika f(x) fungsi genap maka
\(\int_{-a}^{a}\) f(x) dx = 2\(\int_{0}^{a}\) f(x) dx
(iii) Jika a < b < c maka berlaku
\(\int_{a}^{c}\) f(x) dx = \(\int_{a}^{b}\) f(x) dx + \(\int_{b}^{c}\) f(x) dx
Diketahui f(x) fungsi genap dan sin x yaitu fungsi ganjil. Akibatnya, f(x).sin x yaitu fungsi ganjil.
\(\int_{-4}^{4}\) f(x) (sin x + 1) dx = 8
\(\int_{-4}^{4}\) [f(x).sin x + f(x)] dx = 8
\(\int_{-4}^{4}\) f(x).sin x dx + \(\int_{-4}^{4}\) f(x) dx = 8
Berdasarkan sifat (i) dan (ii), persamaan diatas menjadi
0 + 2\(\int_{0}^{4}\) f(x) dx = 8
⇒ \(\int_{0}^{4}\) f(x) dx = 4
Diketahui \(\int_{-2}^{4}\) f(x) dx = 4. Berdasarkan sifat (iii), persamaan tersebut sanggup ditulis menjadi
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx + \(\int_{0}^{4}\) f(x) dx = 4
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx + 4 = 4
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx = 0
Jawaban : A
10. SBMPTN 2017 Limit Trigonometri
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;x\cdot \left ( 1-sin\left ( x-\frac{\pi }{2} \right ) \right )\cdot cot(2x-\pi )=...}\)
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) 1
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) 2
(E) \(\frac{5}{2}\)
Pembahasan :
Berdasarkan sifat sudut negatif dan sudut korelasi :
sin (x - \(\frac{\pi }{2}\)) = - sin (\(\frac{\pi }{2}\) - x)
sin (x - \(\frac{\pi }{2}\)) = - cos x
cot (2x - π) = - cot (π - 2x)
cot (2x - π) = - (-cot 2x)
cot (2x - π) = cot 2x
Jadi, limit pada soal sanggup kita tulis menjadi
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}\) x . (1 - (-cos x)) . cot 2x
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}\) x . (1 + cos x) . \(\mathrm{\frac{cos\,2x}{sin\,2x}}\)
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;\frac{x}{sin\,2x} \;\cdot\; _{x \to 0 }^{lim}}\) (1 + cos x) . cos 2x
\(\frac{1}{2}\) . (1 + cos 0) . cos 2(0)
\(\frac{1}{2}\) . (1 + 1) . 1 = 1
Jawaban : B
11. SBMPTN 2017 Limit Trigonometri di Tak Hingga
\(\mathrm{_{x \to \infty }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x^{2}}=...}\)
(A) -1
(B) -\(\frac{1}{2}\)
(C) -\(\frac{1}{3}\)
(D) -\(\frac{1}{4}\)
(E) -\(\frac{1}{5}\)
Pembahasan :
Limit pada soal sanggup ditulis menjadi
\(\mathrm{_{x \to \infty }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x}\cdot \frac{1}{1\,+\,x}}\)
Misalkan y = \(\mathrm{\frac{1}{x\,+\,1}}\), maka x = \(\mathrm{\frac{1}{y}}\) - 1
Jika x → ∞ maka y → 0
Sehingga limit diatas menjadi
\(\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{(\frac{1}{y}-1)\,cot\,5y}{1\,-\,(\frac{1}{y}-1)}\cdot y}\)
\(\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2\,-\,\frac{1}{y}}\cdot \frac{{\color{Red} y}}{{\color{Red} y}}}\)
\(\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{y(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2y\,-\,1}}\)
\(\mathrm{_{y \to 0 }^{lim}\,\frac{y}{sin\,5y}\cdot \frac{(1\,-\,y)\,cos\,5y}{2y\,-\,1}}\)
\(\frac{1}{5}\) . \(\mathrm{\frac{(1\,-\,0)\,cos\,5(0)}{2(0)\,-\,1}}\) = -\(\frac{1}{5}\)
Jawaban : E
12. SBMPTN 2017 Fungsi Rasional dan Asimtotnya
Grafik fungsi f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}\), k bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jikalau k = ...
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan :
Banyaknya asimtot tegak fungsi rasional sanggup dihitung dari banyaknya pembuat nol pada belahan penyebut, dan pembuat nol ini tidak sama dengan pembuat nol pada pembilang. Untuk itu, kita sanggup mulai dengan mengeliminasi pembuat nol yang sama pada pembilang dan penyebut, atau dengan kata lain mencoret faktor linier yang sama pada pembilang dan penyebut.
f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}\)
f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x\,{\color{red} \not}+\,1)(x\,{\color{red} \not}-\,1)}{(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}-\,1)(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}+\,1)}}\)
f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}}{(x\,+\,2)(x\,+\,2)}}\)
Dari fungsi terakhir yang diperoleh, simpel bagi kita untuk menebak berapa nilai k supaya penyebutnya spesialuntuk mempunyai satu pembuat nol, yaitu dikala k = 1.
f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,{\color{red} \not}+\,2)^{1}}{(x\,{\color{red} \not}+\,2)(x\,+\,2)}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{x\,+\,2}}\)
Jadi, supaya f(x) mempunyai satu asimtot tegak haruslah k = 1, dengan asimtot tegaknya yaitu x = -2.
Jawaban : A
13. SBMPTN 2017 Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan f(x) = sin (cos2x), maka f'(x) = ...
(A) -2 sin x . cos (cos2x)
(B) -2 sin 2x . cos (cos2x)
(C) - sin x . cos (cos2x)
(D) - sin 2x . cos (cos2x)
(E) - sin2x . cos (cos2x)
Pembahasan :
Diketahui f(x) = sin (cos2x)
Misalkan g(x) = cos2x sehingga f(x) = sin g(x)
Turunan dari g(x) = cos2x adalah
g'(x) = 2 cos x . (-sin x) = - sin 2x
Turunan dari f(x) = sin g(x) adalah
f'(x) = g'(x) . cos g(x)
f'(x) = - sin 2x . cos (cos2x)
Jawaban : D
14. SBMPTN 2017 Garis Singgung Kurva
Garis singgung kurva y = \(\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}\) yang melalui titik \((1,\,-1)\) yaitu ...
(A) x - 8y - 9 = 0
(B) x + 4y + 3 = 0
(C) 2x - 8y - 10 = 0
(D) x + 8y + 7 = 0
(E) x - 4y - 5 = 0
Pembahasan :
Titik (1, -1) bukan titik singgung kurva sebab tidak memenuhi persamaan kurva. Jadi, harus dicari terlebih lampau titik singgung pada kurva yang juga melalui titik (1, -1).
Misalkan titik singgung yaitu (a, b). Jika kita substitusikan pada persamaan kurva akan diperoleh
b = \(\mathrm{\frac{a}{2\,-\,2a}}\) ⇔ b = \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\) .........................(1)
melaluiataubersamaini memakai rumus turunan hasil bagi dua fungsi pada kurva y = f(x) = \(\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}\) akan diperoleh
f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,x)^{2}}}\).
Gradien garis singgung kurva di titik (a, b) adalah
m = f '(a) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}\)
Gradien garis yang melalui titik (1, -1) dan (a, b) adalah
m = \(\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}\)
Dari kedua gradien diatas diperoleh persamaan :
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}\) = \(\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) = -1 - b ...............................(2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) = -1 - \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) + \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\) = -1
\(\mathrm{\frac{1\,+\,a}{2(1\,-\,a)}}\) = -1
1 + a = -2(1 - a)
⇒ a = 3
Substitusi a = 3 ke persamaan (1) diperoleh
b = \(\mathrm{\frac{3}{2(1\,-\,3)}}\) = \(-\frac{3}{4}\)
Sehingga titik singgungnya yaitu (a, b) = (3, \(-\frac{3}{4}\)).
dengan gradien garis singgungnya adalah
m = f '(3) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,3)^{2}}}\) = \(\frac{1}{8}\)
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik (3, \(-\frac{3}{4}\)) dengan gradien m = \(\frac{1}{8}\) adalah
y + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) (x - 3) (kali 8)
8y + 6 = x - 3
x - 8y - 9 = 0
Jawaban : A
Misalkan titik singgung yaitu (a, b). Jika kita substitusikan pada persamaan kurva akan diperoleh
b = \(\mathrm{\frac{a}{2\,-\,2a}}\) ⇔ b = \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\) .........................(1)
melaluiataubersamaini memakai rumus turunan hasil bagi dua fungsi pada kurva y = f(x) = \(\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}\) akan diperoleh
f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,x)^{2}}}\).
Gradien garis singgung kurva di titik (a, b) adalah
m = f '(a) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}\)
Gradien garis yang melalui titik (1, -1) dan (a, b) adalah
m = \(\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}\)
Dari kedua gradien diatas diperoleh persamaan :
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)^{2}}}\) = \(\mathrm{\frac{-1\,-\,b}{1\,-\,a}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) = -1 - b ...............................(2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) = -1 - \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,a)}}\) + \(\mathrm{\frac{a}{2(1\,-\,a)}}\) = -1
\(\mathrm{\frac{1\,+\,a}{2(1\,-\,a)}}\) = -1
1 + a = -2(1 - a)
⇒ a = 3
Substitusi a = 3 ke persamaan (1) diperoleh
b = \(\mathrm{\frac{3}{2(1\,-\,3)}}\) = \(-\frac{3}{4}\)
Sehingga titik singgungnya yaitu (a, b) = (3, \(-\frac{3}{4}\)).
dengan gradien garis singgungnya adalah
m = f '(3) = \(\mathrm{\frac{1}{2(1\,-\,3)^{2}}}\) = \(\frac{1}{8}\)
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik (3, \(-\frac{3}{4}\)) dengan gradien m = \(\frac{1}{8}\) adalah
y + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) (x - 3) (kali 8)
8y + 6 = x - 3
x - 8y - 9 = 0
Jawaban : A
15. SBMPTN 2017 Peluang
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil yaitu 1 bola merah yaitu ...
(A) 0,04
(B) 0,10
(C) 0,16
(D) 0,32
(E) 0,40
Pembahasan :
Kotak I : 12P 3M
Kotak II : 4P 4M
Dari masing-masing kotak diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Peluang yang terambil 1 bola merah :
Kotak I terambil MP dan kotak II terambil PP :
\(\left (\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}\)
Kotak I terambil PM dan kotak II terambil PP :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{1}{25}\)
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil MP :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}\)
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil PM :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15} \right ) \times \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8} \right )=\frac{4}{25}\)
Jadi, peluang yang terambil 1 bola merah adalah
\(\frac{1}{25}\) + \(\frac{1}{25}\) + \(\frac{4}{25}\) + \(\frac{4}{25}\)= \(\frac{10}{25}\) = 0,40
Jawaban : E
Emoticon