Rumus Trigonometri Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Pada bahan ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut lalu memakai rumus tersebut dalam menuntaskan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.

Penguasaan bahan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat memmenolong dalam mempelajari bahan ini.

Berikut beberapa sudut kekerabatan yang dipakai :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Didiberikan sebuah bundar dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada bundar sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram diberikut

Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, sanggup kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α = \(\mathrm{\frac{QT}{OQ}}\)
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh
cos α = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\)
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai diberikut :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

misal 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) sanggup kita tentukan dengan cara yang hampir sama menyerupai rumus sinus diatas. Namun, alasannya yakni rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih praktis jikalau kita gunakan konsep sudut kekerabatan kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai diberikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

misal 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)

tan (α + β) dan tan (α - β)

Berdasarkan identitas rasio, tan θ = \(\mathrm{\frac{sin\,\theta }{cos\,\theta }}\), akibatnya

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,(\alpha +\beta )}{cos\,(\alpha +\beta )}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha \,cos\,\beta \,+\,cos\,\alpha \,sin\,\beta }{cos\,\alpha \,cos\,\beta \,-\,sin\,\alpha \,sin\,\beta }\times { \frac{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta} }{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta }}}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,(-\beta) }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,(-\beta) }}\)
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai diberikut

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\) 

tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

misal 3
Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Jawab :
tan 15° = tan (45° - 30°)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{tan\,45^{\circ}\,-\,tan\,30^{\circ}}{1\,+\,tan\,45^{\circ}\,tan\,30^{\circ}}}\)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{1\,-\,\frac{\sqrt{3}}{3}}{1\,+\,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\color{Red} \;\;\times \frac{3}{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,+\,\sqrt{3}}\;\; {\color{Red}\times \frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,-\,\sqrt{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{12\,-\,6\sqrt{3}}{6}\)
tan 15° = 2 - √3

Kesimpulan

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)

Latihan Soal

Berikut beberapa pola soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Latihan 1
Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α yakni sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !

Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.

cos α = 3/5  →  sin α = 4/5
sin α bernilai konkret alasannya yakni α berada di kuadran I.

sin β = 5/13  →  cos β = -12/13
cos β bernilai negatif alasannya yakni β berada di kuadran II.

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65


Latihan 2
Diketahui A, B dan C yakni sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !

Jawab :

tan A = 1/3  →  sin A = 1/√10  dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2  →  sin B = 1/√5  dan cos B = 2/√5

A + B + C = 180°
C = 180° - (A + B)

cos C = cos (180° - (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 - 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 - 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = -\(\frac{1}{2}\)√2


Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !

Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°

cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3

P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q

cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3

Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3


Latihan 4
Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !

Jawab :
Karena A - B = 30°, maka
sin (A - B) = sin 30° = 1/2

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
1/2 = 7/10 - cos A sin B
cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10

Jadi, sin (A + B) = 9/10


Latihan 5
Diketahui α, β dan γ yakni sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !

Jawab :
γ = 180° - (α + β)
cos γ = cos(180° - (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65

cos (α + β) = 4/√65  →  sin (α + β) = 7/√65

tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4

tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
(1 - tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 - tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 - tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 - 2/3 = 1/3

Jadi, tan α tan β = 1/3