Barisan Aritmatika

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un yaitu suku-suku suatu barisan bilangan, dengan n bilangan asli. Barisan ini kita sebut barisan aritmatika, kalau selisih setiap dua suku yang berurutan/berdekatan selalu konstan atau tetap. Perhatikan barisan bilangan diberikut!

2,  5,  8,  11,  14

Selisih dua suku berurutannya adalah
5 - 2  =  8 - 5  =  11 - 8  =  14 - 11  =  3

Karena selisihnya selalu tetap atau sama, kita simpulkan bahwa barisan diatas yaitu barisan aritmatika.

Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika sering disebut dengan "beda" dan dilambangkan dengan b. Secara umum, beda barisan aritmatika dirumuskan sebagai diberikut :

b = U_n - U_n-1

Sedangkan suku pertama biasa dilambangkan dengan a. Dapat kita tulis :

a = U₁

Barisan Aritmatika Naik dan Barisan Aritmatika Turun

Barisan aritmatika dikatakan naik kalau dan spesialuntuk kalau bedanya bernilai positif, sebaliknya barisan aritmatika dikatakan turun kalau dan spesialuntuk kalau bedanya bernilai negatif.

misal barisan aritmatika naik :
2 , 4 , 6 , ... , 28    →   b = 2

misal barisan aritmatika turun :
15 , 10 , 5 , ... , -60   →   b = -5

Pada barisan aritmatika naik, suku ke-n selalu lebih besar dari suku ke-(n-1). Dapat kita tulis, Un > Un-1 untuk setiap n. Sedangkan, pada barisan aritmatika turun, suku ke-n akan selalu lebih kecil dari suku ke-(n-1). Kita tulis, Un < Un-1 untuk setiap n.

Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) ialah hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Sebagai contoh, suku kedua ialah hasil penjumlahan suku pertama dengan beda, suku ketiga ialah hasil penjumlahan suku kedua dengan beda, dan seterusnya. Perhatikan uraian diberikut!

U₁  =  a
U₂  =  U₁ + b  =  a + b
U₃  =  U₂ + b  =  a + 2b
U₄  =  U₃ + b  =  a + 3b
...
U_n  =  U_n-1 + b  =  a + (n - 1)b

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :

U_n = a + (n - 1)b

 misal 1 
Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... , 135. Tentukan :
a.   Suku pertama (a)
b.   Beda (b)
c.   Suku ke-25 (U25)
d.   Banyaknya suku barisan tersebut (n)

Jawab :
a.   Suku pertamanya yaitu a = 3

b.   Beda barisannya yaitu b = 5 - 3 = 2

c.   Suku ke-25 barisan tersebut adalah
      U₂₅  =  a + (25 - 1)b
      U₂₅  =  a + 24b
      U₂₅  =  3 + (24)2
      U₂₅  =  51

d.   Banyaknya suku (n) adalah
      U_n  =  a + (n - 1)b
      135 =  3 + (n - 1)2
      135 =  3 + 2n - 2
      134 =  2n
      n = 67


 misal 2 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut yaitu 9 dan 21. Tentukan :
a.   Suku pertama dan beda barisan tersebut!
b.   Suku ke-18 dari barisan tersebut!
c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut!

Jawab :
a.   Diketahui U₃ = 9 dan U₆ = 21.
      U₃ = a + 2b = 9
      U₆ = a + 5b = 21  _
                      -3b = -12
                           b = 4

      a + 2b = 9
      a + 2(4) = 9
      a = 1

      Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 4.

b.   Suku ke-18 barisan tersebut adalah
      U₁₈ = a + 17b
      U₁₈ = 1 + 17(4)
      U₁₈ = 69

c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah
      U_n = a + (n - 1)b
      U_n = 1 + (n - 1)4
      U_n = 1 + 4n - 4
      U_n = 4n - 3


 misal 3 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika yaitu U_n = 5 - 2n.
a.   Tentukan a dan b
b.   Tuliskan 5 buah suku pertama barisan tersebut

Jawab :
a.   Diketahui U_n = 5 - 2n
      U₁ = 5 - 2(1) = 3
      U₂ = 5 - 2(2) = 1
      a = U₁ = 3
      b = U₂ - U₁ = 1 - 3 = -2
      Jadi, a = 3 dan b = -2

b.   Lima suku pertama barisan tersebut adalah
      3,  1,  -1,  -3,  -5

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Karena polanya yang teratur, ada banyak sifat yang sanggup kita turunkan menyangkut barisan aritmatika. Beberapa diantaranya yaitu sebagai diberikut!

Rumus suku ke-n barisan aritmatika sanggup ditetapkan dalam bentuk Un = bn + c, dengan suku pertama barisan tersebut yaitu b + c, dan bedanya yaitu koefisien dari n, yaitu b.

Perhatikan klarifikasi diberikut.
melaluiataubersamaini menjabarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika akan diperoleh hasil sebagai diberikut :
U_n = a + (n - 1)b
U_n = a + bn - b
U_n = bn + a - b

Misalkan a - b = c, persamaan diatas menjadi
U_n = bn + c

Dari persamaan terakhir sanggup kita lihat bahwa Un = bn + c ialah fungsi linier dalam peubah n, dengan domain bilangan asli. Koefisien dari n ialah beda dari barisan tersebut (gradien dari fungsi), sedangkan c konstan. Karena a - b = c maka a = b + c. Jadi, suku pertamanya yaitu b + c.


 misal 4 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika yaitu Un = 5 - 2n. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U_n = 5 - 2n
Berdasarkan sifat diatas, maka
a = -2 + 5 = 3
b = -2
Jadi, suku pertamanya 3 dan beda -2.

Jika Um dan Un yaitu suku-suku suatu barisan aritmatika, maka untuk m ≠ n berlaku :

• \(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{m}-U_{n}}{m-n}}\end{align}\)

• \(\begin{align}\mathrm{U_{m}=U_{n}+(m-n)b}\end{align}\) 

Simak uraian diberikut!
Karena Um dan Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka
Um = a + (m - 1)b   ...............(1)
Un = a + (n - 1)b   .................(2)

Jika kita kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2) akan diperoleh
Um - Un = (m - n)b   atau
Um = Un + (m - n)b   atau
b = (Um - Un) / (m - n)


 misal 5 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut yaitu 9 dan 21. Tentukan beda dan suku ke-18 barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U₃ = 9  dan  U₆ = 21

Berdasarkan sifat diatas, maka
\(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{6}-U_{3}}{6-3}=\frac{21-9}{6-3}=4}\end{align}\)

U₁₈ = U₃ + (18 - 3)4
U₁₈ = 9 + (15)4
U₁₈ = 69

Jadi, suku ke-18 barisan tersebut yaitu 69 dengan beda 4.

Jika tiga buah bilangan x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka berlaku \(\mathrm{2y = x + z}\)

Perhatikan klarifikasi diberikut!
Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka selisih tiap suku berurutannya akan selalu sama. Sehingga, y - x = z - y   atau   2y = x + z.


 misal 6 
Diketahui tiga suku pertama barisan aritmatika yaitu (x - 1), (2x + 1), dan (x² + 5). Tentukan nilai x yang memenuhi!

Jawab :
Diketahui barisan aritmatika
(x - 1), (2x + 1), (x² + 5)

Berdasarkan sifat diatas, maka
2(2x + 1) = (x - 1) + (x² + 5)
4x + 2 = x² + x + 4
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1  atau  x = 2

Bilangan orisinil berurutan diantara x dan y akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 dan banyaknya bilangan tersebut yaitu y - x - 1.

Misalkan x dan y bilangan asli, dengan x < y.
Bilangan orisinil diantara x dan y, yaitu :
x + 1 ,  x + 2 , x + 3 , ... , y - 1

dimana : a  = x + 1 , b = 1  dan  U_n = y - 1.

Berdasarkan rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b
y - 1 = x + 1 + (n - 1)(1)
y - 1 = x + n
n = y - x - 1

Sebagai contoh, banyaknya bilangan orisinil diantara 10 dan 20 yaitu 20 - 10 - 1 = 9.

Bilangan orisinil berurutan yang habis dibagi k / kelipatan k, akan membentuk barisan aritmatika dengan beda k.

 misal 7 
Tentukan banyaknya bilangan orisinil diantara 100 dan 300, dengan syarat bilangan tersebut :

• habis dibagi 3
• tidak habis dibagi 3

Jawab :
Banyak bilangan orisinil diantara 100 dan 300 adalah
300 - 100 - 1 = 199

• Bilangan orisinil diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 3, yaitu : 102, 105, 107, ... , 297

          dengan banyaknya bilangan (n) :
          U_n = a + (n - 1)b
          297 = 102 + (n - 1)3
          297 = 102 + 3n - 3
          3n = 198
          n = 66

• Banyak bilangan orisinil diantara 100 dan 300 yang tidak habis dibagi 3 yaitu 199 - 66 = 133

Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan

 Latihan 1 
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 dari suatu barisan aritmatika yaitu 30. Suku keberapakah dari barisan tersebut yang nilainya 15 ?

Jawab :
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 yaitu 30.
U₃ + U₁₃ = 30
(a + 2b) + (a + 12b) = 30
2a + 14b = 30
a + 7b = 15

Karena a + 7b = U₈ , maka U₈ = 15.
Jadi, suku yang nilainya 15 yaitu suku ke-8.


 Latihan 2 
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 suatu barisan aritmatika yaitu 17, sedangkan jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 yaitu 32. Tentukan jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 dari barisan tersebut!

Jawab :
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 yaitu 17.
U₂ + U₅ = 17
(a + b) + (a + 4b) = 17
2a + 5b = 17   .............................(1)

Jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 yaitu 32.
U₄ + U₆ = 32
(a + 3b) + (a + 5b) = 32
2a + 8b = 32   .............................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
a = -4  dan  b = 5

Jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 adalah
U₈ + U₁₀ = (a + 7b) + (a + 9b)
U₈ + U₁₀ = 2a + 16b
U₈ + U₁₀ = 2(-4) + 16(5)
U₈ + U₁₀ = 72


 Latihan 3 
Tepat tanggal 1 januari 2018, jumlah tabungan Andi sebesar Rp25.000,00 sedangkan jumlah tabungan Budi sebesar Rp15.000,00. Jika setiap harinya Andi menabung sebesar Rp1.000,00 dan Budi menabung sebesar Rp3.000,00, tanggal berapakah jumlah tabungan mereka menjadi sama besar?

Jawab :
Untuk tabungan Andi :
a = 25000  dan  b = 1000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 25000 + (n - 1)(1000)
U_n = 25000 + 1000n - 1000
U_n = 1000n + 24000   ......................(1)

Untuk tabungan Budi :
a = 15000  dan  b = 3000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 15000 + (n - 1)(3000)
U_n = 15000 + 3000n - 3000
U_n = 3000n + 12000   ......................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan
3000n + 12000 = 1000n + 24000
2000n = 12000
n = 6

Jadi, jumlah tabungan mereka akan menjadi sama besar pada tanggal 6 Januari 2018.


 Latihan 4 
Tentukan banyaknya bilangan orisinil 2 angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4.

Jawab :
Bilangan-bilangan orisinil yang berkelipatan m dan habis dibagi n akan membentuk barisan aritmatika dengan bedanya ialah KPK dari m dan n.

Jadi, bilangan orisinil dua angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 12, yaitu:
12, 24, 36, ... , 96

melaluiataubersamaini banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
96 = 12 + (n - 1)12
96 = 12 + 6n - 6
6n = 90
n = 15


 Latihan 5 
Tentukan banyaknya bilangan orisinil kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3, diantara 99 dan 999 !

Jawab :
Bilangan asli kelipatan 5 diantara 99 dan 999, yaitu : 100, 105, 110, ... , 995.

melaluiataubersamaini banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
995 = 100 + (n - 1)5
995 = 100 + 5n - 5
5n = 900
n = 180

Bilangan orisinil kelipatan 5 yang habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 15, yaitu :
105, 120, 135,  ... , 990.

melaluiataubersamaini banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
990 = 105 + (n - 1)(15)
990 = 105 + 15n - 15
15n = 900
n = 60

Jadi, banyaknya bilangan orisinil kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 adalah
180 - 60 = 120.


 Latihan 6 
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah ketiga bilangan tersebut yaitu 9. Jika jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut sama dengan 77, maka hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah...

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut yaitu x, y, z.
x + y + z = 9   ↔   x + z = 9 - y   ...........(1)
x² + y² + z² = 77   ....................................(2)

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
2y = x + z   ................................................(3)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2y = 9 - y
3y = 9
y = 3

Untuk y = 3, persamaan (1) menjadi
x + z = 6

Untuk y = 3, persamaan (2) menjadi
x² + z² = 68

Karena x² + z² = (x + z)² - 2xz, maka
(x + z)² - 2xz = 68
(6)² - 2xz = 68
2xz = -32
xz = -16

Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah
(xz)y = (-16)3 = -48


 Latihan 7 
Diketahui keliling sebuah segitiga yaitu 20 cm. Apabila sisi terpendek ditambah 1, ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, maka luas segitiga tersebut yaitu ...

Jawab :
Misalkan sisi sisi segitiga tersebut yaitu a, b, c, dengan a sisi terpendek dan c sisi terpanjang.
a + b + c = 20   ↔   a + c = 20 - b   ................(1)

(a + 1), b, c membentuk aritmatika, sehingga
2b = (a + 1) + c   ↔   2b - 1 = a + c  ...............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2b - 1 = 20 - b
3b = 21
b = 7

Untuk b = 7 persamaan (1) menjadi
a + c = 13

Sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, kesannya sudut di depan sisi b yaitu 60°. Perhatikan gambar!

melaluiataubersamaini hukum cosinus, maka
b² = a² + c² - 2ac cos 60°
b² = (a + c)² - 2ac - 2ac (1/2)
b² = (a + c)² - 3ac
7² = (13)² - 3ac
3ac = 120
ac = 40

Berdasarkan rumus luas segitiga :
L = 1/2(ac) sin 60°
L = 1/2(40) 1/2 √3
L = 10√3