Barisan Geometri

Barisan geometri ialah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutannya selalu tetap atau konstan. Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan geometri ini disebut dengan rasio dan dilambangkan dengan r.

Jadi, barisan U1, U2, U3, ... , Un-1, Un dikatakan barisan geometri, bila memenuhi $$\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\;...=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}$$
Perhatikan barisan bilangan diberikut!

1 ,  3 ,  9 ,  27 ,  81

Perbandingan dua suku berurutannya adalah

\(\frac{3}{1}=\frac{9}{3}=\frac{27}{9}=\frac{81}{27}=3\)

Karena perbandingannya selalu tetap, kita simpulkan bahwa barisan diatas ialah barisan geometri, dengan rasio 3.

Secara umum, rasio dari barisan geometri dirumuskan

\begin{align}
\mathrm{r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}
\end{align}

misal 1
Tentukan rasio dari barisan geometri diberikut
8/9 , 4/3 , 2 , 3 , ...

Jawab :
Rasio barisan diatas adalah
r = \(\frac{4/3}{8/9}=\frac{3}{2}\)

Catatan :
Karena perbandingan setiap 2 suku berurutan pada barisan geometri selalu sama, kita bebas menentukan 2 suku berurutan yang akan dibandingkan. Untuk teladan diatas, rasionya akan lebih praktis dihitung dengan membandingkan suku keempat dengan suku ketiga.


Misalkan tiga buah bilangan a, b dan c membentuk barisan geometri. Akibatnya,
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\;\;\Leftrightarrow \;\;ac=b^{2}}
\end{align}\)

Dapat kita simpulkan sebagai diberikut :

Jika a, b, c membentuk barisan geometri maka berlaku ac = b²

misal 2
Tiga suku berurutan dari barisan geometri ialah 4/3 , x , 12. Jika rasio barisan tersebut positif, tentukan x.

Jawab :
Karena barisan  4/3 , x , 12 ialah barisan geometri, maka berlaku
4/3 . 12 = x²   ⇔   x² = 16   ⇔   x = ±4

Agar rasionya positif, haruslah x juga positif. Jadi, nilai x yang memenuhi ialah x = 4

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Setiap suku pada barisan geometri (kecuali suku pertama) sanggup kita pandang sebagai hasil kali suku sebelumnya dengan rasio. Dapat kita tulis :

U1 = a
U2 = U1 . r = a . r = ar
U3 = U2 . r  = ar . r = ar²
U4 = U3 . r = ar² . r = ar³
...

Untuk mendapat pola yang teratur, suku pertama sanggup kita asumsikan sebagai ar⁰ , dengan pertimbangan bahwa ar⁰ = a.

Sekarang, coba perhatikan pola diberikut!
U1 = ar^1-1 = a
U2 = ar^2-1 = ar
U3 = ar^3-1 = ar²
U4 = ar^4-1 = ar³
...
Un = ar^n-1

Persamaan terakhir inilah yang sering kita sebut dengan rumus suku ke-n barisan geometri, yaitu :

Un = ar^n-1

Secara umum, suku-suku barisan geometri ditetapkan dalam bentuk

a ,  ar ,  ar² ,  ar³ ,  ar⁴ ,  ... ,  ar^n-1

dimana a ialah suku pertama dan r ialah rasio barisan tersebut.

misal 3
Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-9 dari barisan geometri diberikut!
81 ,  27 ,  9 ,  3 , 1 , ...

Jawab :
Suku pertama dan rasio barisan diatas adalah
a = 81   dan   r = 1/3

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri maka suku ke-9 adalah
U9 = ar^9-1
U9 = ar⁸
U9 = 81 . (1/3)⁸
U9 = 3⁴ . 3^-8
U9 = 3^-4
U90= 1/81


misal 4
Tentukan banyak suku barisan geometri diberikut!
4 ,  2 ,  1 ,  1/2 ,   ... ,  1/128

Jawab :
Diketahui :
a = 4
r = 1/2
Un = 1/128

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
\(\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & = \mathrm{ar^{n-1}} \\
\frac{1}{128} & = 4 \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\frac{1}{512} & =  \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\left (\frac{1}{2}  \right )^{9} & = \ \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\end{align}\)

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 9   ⇔   n = 10

Jadi, banyak suku barisan diatas ialah 10.


Jika kita perhatikan, rumus suku ke-n barisan geometri ialah fungsi eksponen dalam variabel n. Oleh karenanya, sifat-sifat eksponen atau persamaan eksponen tentunya akan sangat memmenolong dalam menuntaskan kasus-kasus yang berkaitan dengan barisan geometri.

Soal Latihan Barisan Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Suku pertama dari suatu barisan geometri ialah 1/4 dan rasionya ialah 2. Suku ke berapakah dari barisan tersebut yang nilainya 32 ?

Jawab :
a = 1/4
r = 2
Un = 32

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
\(\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & =\mathrm{ar^{n-1}} \\
32 & = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{2^{n-1}} \\
128 & = \mathrm{2^{n-1}} \\
2^{7} & = \mathrm{2^{n-1}} \\
\end{align}\)

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 7   ⇔   n = 8

Jadi, suku yang nilainya 32 ialah suku ke-8.


Latihan 2
Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri dengan rumus Un = 3(2)^3-n

Jawab :
U1 = 3(2)^3-1 = 12
U2 = 3(2)^3-2 = 6

Suku pertamanya adalah
a = 12

Rasionya adalah
r = 6/12 = 1/2


Latihan 3
Nyatakan Un = 3(2)^3-n ke dalam bentuk Un = ar^n-1 , kemudian tentukan a dan r.

Jawab :
Target kita ialah mengubah pangkat 3-n menjadi n-1, yang sanggup kita lakukan dengan memakai sifat-sifat eksponen.

Un = 3 (2)^3-n
Un = 3 (2^-1)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-1 . (1/2)^-2
Un = 3 (1/2)^n-1 . 4
Un = 12 (1/2)^n-1     ⇔    Un = ar^n-1

Dari persamaan terakhir terperinci terlihat bahwa
a = 12 dan r = 1/2


Latihan 4
Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut 1/6 dan 1/48. Tentukan suku ketujuh dari barisan tersebut!

Jawab :
U2 = ar = 1/6
U5 = ar⁴ = 1/48

Bagi kedua persamaan diatas
ar⁴ = 1/48
ar  = 1/6      ፥
r³  = 1/8   ⟶   r = 1/2

Suku ketujuh barisan tersebut adalah
U7 = ar⁶
U6 = ar⁴ . r²
U6 = 1/48 . (1/2)²
U6 = 1/48 . 1/4
U6 = 1/192


Latihan 5
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 21 dan hasil kalinya 216, tentukan bilangan-bilangan tersebut

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : a, b, c

Jumlah ketiga bilangan 21, akibatnya
a + b + c = 21
a + c = 21 - b   ....................................(1)

Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b²   ................................................(2)

Hasil kali ketiga bilangan 216, akibatnya
abc = 216
b(ac) = 216
b(b²) = 216
b³ = 216
b = 6

Substitusi b = 6 ke persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + c = 15   ....................................................(1*)
a . c = 36    ....................................................(2*)

Perhatikan kedua persamaan diatas. Dua bilangan yang bila dikalikan hasilnya 36 dan dijumlahkan hasilnya 15 ialah 3 dan 12.

Jadi, ketiga bilangan tersebut ialah 3, 6 dan 12.


Latihan 6
Jika suku kedua, suku ketiga, dan suku keempat dari suatu barisan geometri berturut-turut ialah (x - 4), (x + 2), (x + 14), tentukan suku pertama dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Misalkan suku pertamanya ialah U1, sehingga suku-suku barisan tersebut adalah
U1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...

Karena (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) ialah barisan geometri, maka berlaku
(x - 4)(x + 14) = (x + 2)²
x² + 10x - 56 = x² + 4x + 4
6x = 60
x = 10

Untuk x = 10, barisan tersebut menjadi
U1 , 6 , 12 , 24

Karena U1 , 6 , 12 ialah barisan geometri, maka berlaku
U1 . 12 = 6²    ⇔   U1 = 3

Jadi, suku pertamanya ialah 3


Latihan 7
Suku pertama dan suku kedua dari suatu barisan geometri berturut-turut ialah p^-2 dan p^x , dengan p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1. Jika suku kesepuluhnya ialah p³⁴ , tentukan nilai x.

Jawab :
U1 = p^-2
U2 = p^x
\(\mathrm{r=\frac{p^{x}}{p^{-2}}=p^{x+2}}\)

U10 = ar⁹
p³⁴ = p^-2 . (p^x+2 )⁹ 
p³⁴ = p^-2 . p^9x+18 
p³⁴ = p^9x+16 

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
9x + 16 = 34  ⇔  9x = 18  ⇔  x = 2


Latihan 8
Sebuah balok berdimensi a × b × c memiliki volume 216 cm³ dan luas permukaan 252 cm² . Jika a, b, c membentuk barisan geometri turun, tentukan nilai a, b dan c tersebut!

Jawab :
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b²

Volume balok 216 cm³ , akibatnya
abc = 216    ........................................(1)
b . ac = 216
b . b² = 216
     b³ = 216
     b  = 6

Dari persamaan (1), diperoleh
ac = 216/b = 216/6 = 36     (*)
bc = 216/a

Luas balok 252 cm² , akibatnya
2(ab + ac + bc) = 252
ab + ac + bc = 126
a(6) + 36 + 216/a = 126
6a - 90 + 216/a = 0    (kali kedua ruas dengan a)
6a² - 90a + 216 = 0    (bagi kedua ruas dengan 6)
a² - 15a + 36 = 0
(a - 3)(a - 12) = 0
a = 3  atau  a = 12

Karena barisan tersebut turun, haruslah a > b. Jadi, nilai a yang memenuhi ialah a = 12.

Substitusikan a = 12 ke persamaan ac = 36 (*), sehingga diperoleh c = 3.

Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah
12 , 6 , 3


Latihan 9
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 39. Jika suku tengahnya ditambah 6, terbentuklah barisan aritmatika. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : U1, U2, U3

U1 + U2 + U3 = 39
U1 + U3 = 39 - U2   .................................(1)

U1, U2, U3  → barisan geometri
Sehingga berlaku
U1 . U3 = (U2)²   ......................................(2)

U1, (U2 + 6) , U3   → barisan aritmatika
Sehingga berlaku
2(U2 + 6) = U1 + U3
2U2 + 12 = 39 - U2
3U2 = 27
U2 = 9

Untuk U2 = 9, persamaan (1) dan (2) menjadi
U1 + U3 = 30   .........................................(1*)
U1 . U3 = 81    .........................................(2*)

Dua bilangan yang bila dikalikan bernilai 81 dan dijumlahkan bernilai 30 ialah 3 dan 27. Karena barisan tersebut naik, haruslah U1 < U3. Sehingga U1= 3 dan U3 = 27.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah
3 , 9 , 27


Latihan 10
Diantara bilangan 1 dan 5 disisipkan k bilangan sedemikian sehingga terbentuk suatu barisan aritmatika. Jika U1 , U4 , U10 , dari barisan tersebut membentuk barisan geometri, tentukan k!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 , ... , 5

dengan U1 = 1  dan  Un = 5

U1 , U4 , U10 membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
(U4)² = U1 . U10
(U4)² = (1) . U10
(U4)² = U10   ....................................... (*)

U4 = a + 3b = 1 + 3b
U10 = a + 9b = 1 + 9b

Akibatnya, persamaan (*) menjadi
(1 + 3b)² = 1 + 9b
9b² + 6b + 1 = 1 + 9b
9b² - 3b = 0
3b² - b = 0
b(3b - 1) = 0
b = 0  atau b = 1/3

Untuk b = 0, maka barisan tersebut akan menjadi barisan konstan, dimana tiruana sukunya bernilai 1. Jadi, nilai b yang memenuhi ialah b = 1/3.

Un = a + (n - 1)b
5 = 1 + (n - 1)(1/3)
4 = (n - 1) (1/3)
12 = (n - 1)
n = 13

Jadi, banyak bilangan yang disisipkan adalah
k = 13 - 2 = 11

Latihan 11
Diantara bilangan 2 dan 12 disisipkan 2 bilangan sedemikian sehingga tiga suku pertama dari barisan yang terjadi membentuk barisan geometri, sedangkan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Jika salah satu dari kedua bilangan yang disisipkan bernilai negatif, tentukan kedua bilangan tersebut, kemudian tuliskan keempat suku barisan yang terbentuk.

Jawab :
Misalkan kedua bilangan tersebut ialah x dan y, sehingga barisan yang terbentuk adalah
2 ,  x ,  y ,  12

Tiga suku pertama, yaitu 2, x, y membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
2y = x²   .................................................(1)

Tiga suku terakhir, yaitu x , y , 12 membentuk barisan aritmatika, sehingga berlaku
2y = x + 12   .........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
x² = x + 12
x² - x - 12 = 0
(x + 3)(x - 4) = 0
x = -3  atau x = 4

Substitusi nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai y sebagai diberikut :
x = -3   →   y = 9/2
x = 4    →   y = 8

Karena salah satu dari kedua bilangan tersebut bernilai negatif, maka nilai x dan y yang memenuhi ialah x = -3 dan y = 9/2.

Jadi, barisan yang yang terbentuk adalah
2 , -3 , 9/2 , 12