Soal Dan Pembahasan Hukum Rantai Fungsi Trigonometri

Untuk menjawaban soal-soal turunan fungsi trigonometri yang sederhana  kita masih sanggup memakai rumus dasar. Akan tetapi, untuk soal yang lebih rumit kita harus memakai hukum rantai. Aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri prinsipnya sama dengan hukum rantai pada turunan fungsi aljabar. Agar kita sanggup memakai hukum rantai tentu kita harus memahami konsep dasar turunan fungsi trigonometri dan menguasai konsep-konsep trigonometri alasannya adakalanya kita harus merubah fungsi trigonometri ke bentuk lain yang lebih sederhana. Seringkali alasannya kurang paham bentuk-bentuk trigonometri, kita melewatkan soal-soal turunan begitu saja padahal soal tersebut tidak terlalu susah.

Seperti yang sudah dibahas pada artikel sebelumnya, hukum rantai biasanya dipakai untuk menjawaban soal turunan fungsi yang berpangkat. Bentuk umum hukum rantai untuk turunan fungsi trigonometri ialah sebagai diberikut:

1. Aturan Rantai Umum

   Jika y = [f(x)]n , maka y' = n [f(x)]n-1. f '(x)

   
   melaluiataubersamaini :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
   

   
   
2. Fungsi Sinus
   Jika fungsi y = c sinⁿ f(x) , maka turunan pertamanya ialah :
   

   y' = c.n sinn-1 f(x). cos f(x).f '(x)

   
   melaluiataubersamaini :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   c = konstanta
   n = bilangan pangkat
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
   

   
   
3. Fungsi Cosinus
   Jika fungsi y = c cosⁿ f(x) , maka turunan pertamanya ialah :
   

   y' = -c.n cosn-1 f(x). sin f(x).f '(x)

   
   melaluiataubersamaini :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   c = konstanta
   n = bilangan pangkat
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).

misal Soal :

1. Tentukan turunan pertama dari r = √sin θ.
   
   Pembahasan :
   Dari soal : f(θ) = θ, maka f '(θ) = 1
   r = (sin θ)^½
   ⇒ r' = c.n sin^n-1 f(θ). cos f(θ).f '(θ)
   ⇒ r' = ½ (sin)^½-1 θ.cos θ (1)
   ⇒ r' = ½ (sin θ)^-½.cos θ
   

   ⇒ r' =	cos θ
   	2(sin θ)½

   ⇒ r' =	cos θ
   	2√sin θ

   
   
   
2. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = sin² (2x + 3).
   
   Pembahasan :
   Dari soal :  f(x) = 2x + 3, maka f '(x) = 2
   y = sin² (2x + 3)
   ⇒ y = {sin (2x + 3)}²
   ⇒ y' = c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f '(x)
   ⇒ y' = 2 sin^2-1 (2x + 3). cos (2x + 3).(2)
   ⇒ y' = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3).
   
   
   
   
3. Jika f(x) = -(cos² x − sin² x), maka tentukanlah turunan pertamanya.
   
   Pembahasan :
   Terdapat dua fungsi , dengan f(x) sama yaitu :
   f(x) = x, maka f '(x) = 1.
   
   Maka turunn pertamanya ialah :
   f(x) = -(cos² x − sin² x)
   ⇒ y' = -{-c.n cos^n-1 f(x). sin f(x).f '(x) − c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f '(x)}
   ⇒ y' = -{-2 cos^2-1 x. sin x (1) − 2 sin^2-1 x. cos x (1)}
   ⇒ y' = -(-2 cos x. sin x − 2 sin x. cos x)
   ⇒ y' = -(-2 sin x. cos x − 2 sin x. cos x)
   ⇒ y' = -(-4 sin x.cos x)
   ⇒ y' = 4 sin x cos x.
   
   
   
   
4. Jika y = √1 + sin² x, maka tentukan turunan pertamanya.
   
   Pembahasan :
   Dari soal diketahui :
   ⇒ f(x) = 1 + sin² x
   ⇒ f '(x) = 0 + 2 sin x cos x = 2 sin x cos x.
   
   Makara turunan pertamanya ialah :
   y = (1 + sin² x)^½
   ⇒ y' = n [f(x)]^n-1. f '(x)
   ⇒ y' = ½ (1 + sin² x)^½-1. 2 sin x cos x
   ⇒ y' = (1 + sin² x)^-½. sin x cos x
   

   ⇒ y' =	sin x cos x
   	(1 + sin2 x)½

   ⇒ y' =	sin x cos x
   	√1 + sin2 x

   
   
   
5. Tentukan turunan pertama dari y = (sin x + cos x)².
   
   
   Pembahasan :
   ⇒ f(x) = sin x + cos x
   ⇒ f '(x) = cos x - sin x
   
   Makara turunan pertamanya ialah :
   y = (sin x + cos x)²
   ⇒ y' = n [f(x)]^n-1. f '(x)
   ⇒ y' = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (cos² x − sin² x)
   ⇒ y' = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
   ⇒ y' = 2 (2cos² x − 1)
   ⇒ y' = 4cos² x − 2.