Soal Dan Tanggapan Trigonometri Cosinus Jumlah Dan Selisih Sudut

Nilai perbandingan trigonometri dari suatu sudut yang tidak diketahui sanggup kita tentukan dengan mengubah bentuknya menjadi sudut-sudut istimewa. Kita sanggup memanfaatkan rumus cosinus (α ± β) untuk menghitung nilai cosinus sudut yang tidak diketahui. Jika tidak sanggup direlasikan ke sudut istimewa, biasanya bentuk trigonometri yang ditanya spesialuntuk disederhanakan ke dalam bentuk relasinya yang paling sederhana.

Pada dasarnya, rumus cosinus jumlah atau selisih sudut ialah rumus lanjutan yang diturunkan beradasarkan identitas trigonometri dan dari rumus-rumus sebelumnya. Berikut beberapa pola soal dan pembahasan ihwal cosinus jumlah dan selisih sudut.

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, dengan memanfaatkan korelasi antar sudut kita sanggup menghitung nilai trigonometri sudut-sudut yang tidak termasuk sudut istimewa. Misalnya, kita sanggup menghitung cos 75^o dengan memakai rumus cos (30^o + 45^o) atau cos (120^o - 45^o). Sebelum mengulas beberapa soal, diberikut kami rangkum rumus-rumus trigonometri yang akan dibahas.

Kumplan Soal dan Jawaban cos (α ± β)

1. melaluiataubersamaini memakai nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus, tunjukkanlah bahwa :
   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β berlaku untuk α = 45^o dan β = 90^o
   2. cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o.

   
   Pembahasan :
   

   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      Berdasarkan nilai trigonometri sudut istimewa, kita peroleh :
      sin 45^o = ½√2 ; cos 45^o = ½√2 ; sin 90^o = 1; cos 90^o = 0 ;
      dan cos 135^o = -½√2.
      
      cos (45^o + 90^o) = cos 45^o .cos 90^o − sin 45^o sin 90^o
      ⇒ cos 135^o = cos 45^o .cos 90^o − sin 45^o sin 90^o
      ⇒ -½√2 = ½√2.(0) − ½√2 (1)
      ⇒ -½√2 = -½√2
      (Terbukti).
      
      
   2. cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o.
      Sudut 37^o memang jarang dimasukkan ke dalam sudut istimewa tapi termasuk sudut yang harus kita hafal nilainya alasannya yakni seringkali keluar dalam soal.
      sin 37^o = ⅗ ; cos 37^o = ⅘ ; sin 53^o = ⅘; cos 53^o = ⅗.
      
      cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o
      ⇒ cos (90^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o
      ⇒ 0 = ⅘ (⅗) − ⅗ (⅘)
      ⇒ 0 = ¹²⁄₂₅ − ¹²⁄25
      ⇒ 0 = 0
      (Terbukti).

   
   
   
   
2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk diberikut ini :
   1. cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β).
   2. cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) + sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p)

   
   Pembahasan :
   

   1. cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β)
      misalkan (25^o − β) = a dan (20^o + β) = b, maka :
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (a + b)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos {(25^o − β) + (20^o + β)}
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25^o − β + 20^o + β)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25^o + 20^o)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos 45^o
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = ½√2
      Jadi, cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β) = ½√2.
      
      
   2. cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) + sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p)
      misalkan (^π⁄₃ + p) = α  dan (^π⁄₆ + p) = β.
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (α − β)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos {(^π⁄₃ + p) − (^π⁄₆ + p)}
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (^π⁄₃ + p − ^π⁄₆ − p)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (^π⁄₃ − ^π⁄₆)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos ^π⁄₆
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos 30^o
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = ½√3
      Jadi, cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) − sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p) = ½√3.
   
   
3. melaluiataubersamaini memakai rumus cos (α ± β), tunjukkanlah bahwa cos (90^o - β) − cos (90^o + β) = 2 sin β.
   
   Pembahasan :
   cos (90^o - β) − cos (90^o + β) = 2 sin β
   
   Bila dikerjakan satu persatu :
   cos (90^o - β) = cos 90^o .cos β + sin 90^o sin β
   ⇒ cos (90^o - β) = 0.cos β + 1.sin β
   ⇒ cos (90^o - β) = sin β
   
   cos (90^o + β) = cos 90^o .cos β − sin 90^o sin β
   ⇒ cos (90^o + β) = 0.cos β − 1.sin β
   ⇒ cos (90^o + β) = -sin β
   
   Selanjutnya :
   cos (90^o - β) − cos (90^o + β) = 2 sin β
   ⇒ sin β − (-sin β) = 2 sin β
   ⇒ sin β + sin β = 2 sin β
   (Terbukti).
   
   
   
   
4. Diketahui sudut α dan β ialah sudut lancip. Jika sin α = ⅗ dan sin β = ⅘, hitunglah nilai dari :
   1. cos (α + β)
   2. cos (α − β)

   
   Pembahasan :
   Untuk menjawaban soal ini, maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
   Karena sin α = ⅗  → cos α = ⅘
   Karena sin β = ⅘ → cos β = ⅗
   
   

   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      ⇒ cos (α + β) = ⅘.⅗ − ⅗.⅘
      ⇒ cos (α + β) = ¹²⁄₂₅ −  ¹²⁄₂₅
      ⇒ cos (α + β) = 0.
      
      
   2. cos (α − β) = cos α .cos β + sin α sin β
      ⇒ cos(α − β) = ⅘.⅗ + ⅗.⅘
      ⇒ cos (α − β) = ¹²⁄₂₅ +  ¹²⁄₂₅
      ⇒ cos (α − β) = ²⁴⁄₂₅.

   
   
   
   
5. Tanpa memakai tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai dari :
   1. cos 64^o cos 26^o  − sin 64^o  sin 26^o
   2. cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o
   3. cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o
   4. cos 15^o
   5. cos 75^o

   
   Pembahasan :
   

   1. cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = cos (64^o + 26^o)
      ⇒ cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = cos 90^o
      ⇒ cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = 0.
   
   
   2. cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = cos (34^o + 26^o)
      ⇒ cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = cos 60^o
      ⇒ cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = ½.
   
   
   3. cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = cos (140^o − 50^o)
      ⇒ cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = cos 90^o
      ⇒ cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = 0.
   
   
   4. cos 15^o = cos (45^o − 30^o)
      
      ⇒ cos 15^o = cos 45^o .cos 30^o  + sin 45^o .sin 30^o
      ⇒ cos 15^o = ½√2.(½√3) + ½√2.(½)
      ⇒ cos 15^o = ¼√6 + ¼√2
      ⇒ cos 15^o = ¼ (√6 + √2)
      
      
   5. cos 75^o = cos (45^o + 30^o)
      ⇒ cos 75^o = cos 45^o .cos 30^o  − sin 45^o .sin 30^o
      ⇒ cos 75^o = ½√2.(½√3) − ½√2.(½)
      ⇒ cos 75^o = ¼√6 − ¼√2
      ⇒ cos 75^o = ¼ (√6 − √2)
      
      


6. Buktikan kebenaran korelasi di bawah ini :
   1. cos β + cos (β + 120^o) + cos (β + 240^o) = 0
   2. cos β − cos (β − 120^o) − cos (β − 240^o) = 2 cos β

   
   Pembahasan :
   

   1. cos β + cos (β + 120^o) + cos (β + 240^o) = 0
      ⇒ cos β + (cos β cos 120^o − sin β sin 120^o) + (cos β cos 240^o − sin β sin 240^o) = 0

      ⇒ cos β + (-½ cos β − ½√3 sin β) + {(-½cos β) − (-½√3 sin β)} = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½√3 sin β − ½ cos β + ½√3 sin β = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½ cos β = 0
      ⇒ cos β − cos β = 0.
      ⇒ 0 = 0.
      (Terbukti)
      
      
   2. cos β − cos (β − 120^o) − cos (β − 240^o) = 2 cos β
      ⇒ cos β − (cos β cos 120^o + sin β sin 120^o) − (cos β cos 240^o + sin β sin 240^o) = 2 cos β

      ⇒ cos β − (-½ cos β + ½√3 sin β) − {(-½cos β) + (-½√3 sin β)} = 2 cos β

      ⇒ cos β + ½ cos β − ½√3 sin β + ½ cos β + ½√3 sin β = 2 cos β
      ⇒ cos β + ½ cos β + ½ cos β = 2 cos β
      ⇒ cos β + cos β = 2 cos β.
      ⇒ 2 cos β = 2 cos β.
      (Terbukti)

   
   

   Rumus cos (α ± β)

   

   
   
7. Buktikan kebenaran identitas diberikut ini :
   1. cos (α + β) cos (α − β) = cos² α − sin² β
   2. cos (α + β) cos (α − β) = cos² β − sin² α
   3. cos (α + β) cos (α − β) = 1 − (sin² α + sin² β)
   4. cos (α + β) cos (α − β) = (cos² α + cos² β) − 1

   
   Pembahasan :
   

   1. cos (α + β) cos (α − β) = cos² α − sin² β
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :
      

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = (cos α cos β − sin α sin β)(cos α cos β + sin α sin β)

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α cos² β − sin² α sin² β
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = {cos² α (1 - sin² β)} − {(1 - cos² α) sin² β}
      

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β cos² α − (sin² β - sin² β cos² α) 
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β cos² α − sin² β + sin² β cos² α

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β.
      (Terbukti).
      
      
   2. cos (α + β) cos (α − β) = cos² β − sin² α
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :
      

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = (cos α.cos β − sin α.sin β)(cos α.cos β + sin α.sin β)

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² α.cos² β − sin² α.sin² β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = {(1 - sin² α) cos² β} − {sin² α (1 - cos² β)}
      

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α cos² β − (sin² α - sin² α cos² β) 

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α cos² β − sin² α + sin² α cos² β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α.
      (Terbukti).