Soal Dan Balasan Trigonometri Sinus Sudut Ganda

Sudut ganda atau sudut rangkap yaitu dua kali sudut tertentu (2α), dengan α yaitu sudut tunggal. Pada trigonometri sudut ganda akan dibahasa beberapa bahan yaitu rumus sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan dipakai sebagai teladan dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α).

Pada dasarnya, rumus trigonometri sudut ganda mengikuti suatu kaidah khusus yang sanggup kita manfaatkan untuk memilih nilai perbaningan trigonometri suatu sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang sudah dibahas pada artikel sebelumnya.

Rumus untuk sin 2α diturunkan dari rumus sin (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi sin (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :

sin 2α = sin (α + α)

⇒ sin 2α = sin α .cos α + cos α sin α

⇒ sin 2α = 2 sin α .cos α

Kumpulan Soal dan Pembahasan

1. melaluiataubersamaini memakai konsep sin 2α, nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.
   
   Pembahasan :
   sin α = sin 2 (½α)
   ⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α
   Jadi, sin α = 2 sin ½α cos ½α
   
   
2. Jika diketahui α yaitu sudut lancip dengan sin α = ⅗, maka hitunglah nilai dari sin 2α.
   
   Pembahasan :
   Ingat, alasannya sin α = ⅗, maka cos α = ⅘.
   sin 2α = 2 sin α cos α
   ⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)
   ⇒ sin 2α = ²⁴⁄₂₅
   Jadi, sin 2α = ²⁴⁄₂₅.
   
   
   
   
3. Diketahui 3α = (2α + α), buktikan bahwa sin 3α = -4 sin³α + 3sin α.
   
   Pembahasan :
   sin 3α = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ sin (2α + α) = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin²α) sin α = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ 2 sin α cos²α  + (sin α − 2 sin³α) = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ 2 sin α cos²α  + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
   Ingat bahwa cos²α = 1 − sin²α, sehingga :
   ⇒ 2 sin α (1 − sin²α)  + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ 2 sin α − 2 sin³α + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
   ⇒ 3 sin α − 4 sin³α = -4 sin³α + 3sin α 
   ⇒ -4 sin³α + 3 sin α = -4 sin³α + 3sin α
   (Terbukti).
   
   
   
4. Jika ABC yaitu sudut dalam segitiga, tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
   
   Pembahasan :
   Karena segitiga, maka A + B + C = 180^o = π.
   A = π - (B + C)
   ⇒ 2A = 2π - (2B + 2C)
   ⇒ sin 2A = sin {2π - (2B + 2C)}
   ⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)
   ⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)
   ⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)
   ⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)
   ⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C
   
   Selanjutnya, substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.
   sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C  + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 2 sin B cos B (2 sin²C) + 2 sin C cos C (2 sin²B) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin B cos B (sin²C) + 4 sin C cos C (sin²B) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin B sin C (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C
   
   Ingat bahwa B + C = π - A, maka :
   ⇒ 4 sin B sin C sin (π - A) = 4 sin A sin B sin C 
   ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
   ⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C.
   (Terbukti).
   
   
5. Nyatakan sin 3α dalam sudut ³⁄₂α. 

   Rumus untuk sin 2α

   

   
   Pembahasan :
   sin 3α = sin 2(³⁄₂α)
   ⇒ sin 3α = 2 sin ³⁄₂α cos ³⁄₂α