Soal Dan Balasan Trigonometri Cosinus Sudut Ganda

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, rumus trigonometri untuk cosinus sudut ganda juga diturunkan dari rumus cosinus jumlah dua sudut. Kita sanggup menurunkan rumus cos 2α dari rumus jumlah sudut yaitu cos (α + β) dengan catatan β = α.  Rumus cosinus sudut ganda sanggup kita manfaatkan untuk memilih nilai cosinus suatu sudut yang sanggup diubah menjadi dua kali suatu sudut istimewa (2α) dengan α sudut tunggal istimewa.

Untuk cos 2α terdapat tiga rumus yang sanggup kita gunakan sesuai dengan kondisi soal. Identitas yang harus kita ingat dalam rumus cos 2α ialah sin² α + cos² α = 1. melaluiataubersamaini memanfaatkan identitas tersebut, kita sanggup mengubah bentuk cos 2α dalam kuadrat sinus.

Rumus untuk cos 2α diturunkan dari rumus cos (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi cos (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :

cos 2α = cos (α + α)

⇒ cos 2α = cos α .cos α − sin α sin α

⇒ cos 2α = cos² α − sin² α
⇒ cos 2α = 1 − 2sin² α
⇒ cos 2α = 2cos² α − 1

Soal dan Pembahasan

1. melaluiataubersamaini memakai rumus cos 2α, nyatakan :
   1. cos α dalam bentuk ½α
   2. cos 3α dalam bentuk ³⁄₂α.

   
   Pembahasan :
   

   1. cos α dalam bentuk ½α
      cos α = cos 2(½α)
      ⇒ cos 2α = cos² ½α − sin² ½α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 sin² ½α
      ⇒ cos 2α = 2 cos² ½α − 1
      
      
   2. cos 3α dalam bentuk ³⁄₂α.
      cos 3α = cos 2(³⁄₂α)
      ⇒ cos 2α = cos^{2 3}⁄₂α − sin^{2 3}⁄₂α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 sin^{2 3}⁄₂α
      ⇒ cos 2α = 2 cos^{2 3}⁄₂α − 1

   
   
   
   
2. Jika diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘, maka tentukanlah nilai :
   
   1. cos 2α
   2. cos 2β

   
   Pembahasan :
   

   1. cos 2α = 1 − 2sin² α
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 (⅘)²
      ⇒ cos 2α = 1 − 2 (¹⁶⁄₂₅)
      ⇒ cos 2α = 1 − ³²⁄₂₅
      ⇒ cos 2α = ²⁵⁄₂₅ − ³²⁄₂₅
      ⇒ cos 2α = - ⁷⁄₂₅
      
      
   2. cos 2β = 2 cos² β − 1
      ⇒ cos 2β = 2 (⅘)² − 1
      ⇒ cos 2β = 2 (¹⁶⁄₂₅) − 1
      ⇒ cos 2β = ³²⁄₂₅ − 1
      ⇒ cos 2β = ³²⁄₂₅ − ²⁵⁄₂₅
      ⇒ cos 2β = ⁷⁄₂₅

   
   
   
   
3. Jika 30^o = a, nyatakanlah cos 90^o dalam bentuk cos a.
   
   Pembahasan :
   90^o = 3 x 30^o = 3a
   ⇒ cos 90^o = cos 3a
   ⇒ cos 90^o = cos (2a + a)
   ⇒ cos 90^o = cos 2a cos a − sin 2a sin a
   ⇒ cos 90^o = (2cos² a − 1) cos a − (2 sin a cos a) sin a
   ⇒ cos 90^o = (2cos² a − 1) cos a − 2 sin² a cos a
   ⇒ cos 90^o = 2cos³ α − cos a − 2 sin² a cos a
   ⇒ cos 90^o = 2cos³ α − cos a − 2 (1 - cos² a) cos a
   ⇒ cos 90^o = 2cos³ α − cos a − 2 (cosa - cos³ a)
   ⇒ cos 90^o = 2cos³ α − cos a − 2cosa + 2cos³ a
   ⇒ cos 90^o = 4cos³ α − 3 cos a
   
   
   
   
4. melaluiataubersamaini konsep cos 2α, buktikan bahwa :
   1. cos 60^o = ½
   2. cos 90^o = 0

   
   Pembahasan :
   

   1. cos 60^o = ½
      ⇒ cos 2(30^o) = ½
      ⇒ cos² 30^o − sin² 30^o = ½
      ⇒ (½√3)² − (½)² = ½
      ⇒ ¾ − ¼  = ½
      ⇒ ½  = ½
      (Terbukti).
      
      
   2. cos 90^o = 0
      ⇒ cos 2(45^o) = 0
      ⇒ cos² 45^o − sin² 45^o = 0
      ⇒ (½√2)² − (½√2)² = 0
      ⇒ 0  = 0
      (Terbukti).
      
      
   
   
5. Tanpa memakai tabel trigonometri atau kalkulator, tentukan nilai eksak dari :
   
   1. cos^{2 π}⁄₁₂ − sin^{2 π}⁄₁₂
   2. 2 cos² 67 ½^o − 1

   Rumus untuk cos 2α

   

   
   Pembahasan :
   

   1. cos^{2 π}⁄₁₂ − sin^{2 π}⁄₁₂ = cos 2(^π⁄₁₂)
      
      ⇒ cos^{2 π}⁄₁₂ − sin^{2 π}⁄₁₂ = cos ^π⁄₆
      ⇒ cos^{2 π}⁄₁₂ − sin^{2 π}⁄₁₂ = cos 30^o
      ⇒ cos^{2 π}⁄₁₂ − sin^{2 π}⁄₁₂ = ½√3.
      
      
   2. 2 cos² 67 ½^o − 1 = cos 2(67 ½^o)
      
      ⇒ 2 cos² 67 ½^o − 1 = cos 2(¹³⁵⁄₂^o)
      ⇒ 2 cos² 67 ½^o − 1 = cos 135^o
      ⇒ 2 cos² 67 ½^o − 1 = -½√2.