Posted by Pembahasan trigonometri dibagi menjadi dua bab ialah trigonometri I (dasar) dan trigonometri II (lanjutan). Pada trigonometri dasar sudah dibahas terkena rumus-rumus dasar serta identitas trigonometri. Selanjutnya, topik trigonometri dititikberatkan pada penerapan rumus-rumus lanjutan yang lebih kompleks.
Rumus-rumus yang akan dibahas mencakup rumus perbandingan trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, perbandingan trigonometri untuk setengah sudut, dan perkalian trigonometri.
Rumus-rumus yang akan dibahas mencakup rumus perbandingan trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, perbandingan trigonometri untuk setengah sudut, dan perkalian trigonometri.
Rumus Sin (α + β)
Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut sanggup dipakai untuk memilih nilai perbandingan tirgonometri suatu sudut yang tidak diketahui, contohnya kita sanggup memilih nilai sinus dari sudut 165o dengan memakai rumus jumlah dua sudut istimewa ialah 120o + 45o .
Kita juga sanggup memilih nilai sinus 165o dengan memakai rumus selisih dua sudut ialah 210o - 45o. Berikut ringkasan rumus trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut.
Kita juga sanggup memilih nilai sinus 165o dengan memakai rumus selisih dua sudut ialah 210o - 45o. Berikut ringkasan rumus trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut.
Kumpulan soal dan pembahasan sin (α + β)
- melaluiataubersamaini memakai rumus sin (α ± β), tentukan nilai dari :
- sin 165o
- sin 195o
- sin 255o
Pembahasan :
- sin 165o = sin (120o + 45o)⇒ sin 165o = sin 120o .cos 45o + cos 120o .sin 45o
⇒ sin 165o = (½√3).(½√2)+ (½).(½√2)
⇒ sin 165o = ¼√6+ ¼√2
⇒ sin 165o = ¼ (√6+ √2)
Jadi, sin 165o = ¼ (√6 + √2).
Atau :
sin165o = sin (210o − 45o)
⇒ sin 165o = sin 210o .cos 45o − cos 120o .sin 45o
⇒ sin 165o = (-½).(½√2) − (-½√3).(½√2)
⇒ sin 165o = -¼√2 − (-¼√6)
⇒ sin 165o = ¼√6 − ¼√2
⇒ sin 165o = ¼ (√6 + √2)
Jadi, sin 165o = ¼ (√6 + √2). - sin 195o = sin (150o + 45o)⇒ sin 195o = sin 150o .cos 45o + cos 150o .sin 45o
⇒ sin 195o = (½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
⇒ sin 195o = ¼√2 + (-¼√6)
⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
Jadi, sin 195o = ¼ (√2 − √6).
Atau :
sin195o = sin (240o − 45o)
⇒ sin 195o = sin 240o .cos 45o − cos 240o .sin 45o
⇒ sin 195o = (-½√3).(½√2) − (-½).(½√2)
⇒ sin 195o = -¼√6 − (-¼√2)
⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
Jadi, sin 195o = ¼ (√2 − √6). - sin 255o = sin (210o + 45o)⇒ sin 255o = sin 210o .cos 45o + cos 210o .sin 45o
⇒ sin 255o = (-½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
⇒ sin 255o = -¼√2 + (-¼√6)
⇒ sin 255o = -¼√2 − ¼√6
⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
Jadi, sin 255o = -¼ (√2 + √6).
Atau :
sin 255o = sin (300o − 45o)
⇒ sin 255o = sin 300o .cos 45o − cos 300o .sin 45o
⇒ sin 255o = (-½√3).(½√2) − (½).(½√2)
⇒ sin 255o = -¼√6 − ¼√2
⇒ sin 255o = -¼ (√6 + √2)
⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
Jadi, sin 255o = -¼ (√2 + √6).
- Sederhanakan tiap bentuk diberikut ini :
- sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)
- sin (Ï€⁄3 + p) cos (Ï€⁄6 + p) − cos (Ï€⁄3 + p) sin (Ï€⁄6 + p)
Pembahasan :
- sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)misalkan : (90o + a) = α dan (270o − a) = β.
⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (α + β)
⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin {(90o + a) + (270o − a)}
⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (90o + a + 270o − a)
⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin 360o
⇒ sin α .cos β + cos α sin β = 0
Jadi, sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a) = 0. - sin (Ï€⁄3 + p) cos (Ï€⁄6 + p) − cos (Ï€⁄3 + p) sin (Ï€⁄6 + p) misalkan (Ï€⁄3 + p) = α dan (Ï€⁄6 + p) = β.
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (α − β)
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin {(Ï€⁄3 + p) − (Ï€⁄6 + p)}
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (Ï€⁄3 + p − Ï€⁄6 − p)
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (Ï€⁄3 − Ï€⁄6)
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin Ï€⁄6
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin 30o
⇒ sin α .cos β − cos α sin β = ½
Jadi, sin (Ï€⁄3 + p) cos (Ï€⁄6 + p) − cos (Ï€⁄3 + p) sin (Ï€⁄6 + p) = ½.
- melaluiataubersamaini prinsip (α ± β), tunjukkan bahwa :
- sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
- sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a
Pembahasan :
- Mari kita bahas pertahap :sin (45o + a) = sin 45o .cos a + cos 45o sin a
⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a + ½√2 sin a
sin (45o − a) = sin 45o .cos a − cos 45o sin a
⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a − ½√2 sin a
Selanjutnya :
sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − (½√2 cos a − ½√2 sin a) = √2 sin a
⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − ½√2 cos a + ½√2 sin a = √2 sin a
⇒ ½√2 cos a − ½√2 cos a + ½√2 sin a+ ½√2 sin a = √2 sin a
⇒ ½√2 sin a + ½√2 sin a = √2 sin a
⇒ √2 sin a = √2 sin a
(Terbukti). - Mari kita bahas pertahap : sin (150o + a) = sin 150o .cos a + cos 150o sin a
⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + (-½√3) sin a
⇒ sin (45o + a) = ½ cos a − ½√3 sin a
sin (30o + a) = sin 30o .cos a + cos 30o sin a
⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + ½√3 sin a
Selanjutnya :
sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a
⇒ ½ cos a − ½√3 sin a + ½ cos a + ½√3 sin a = cos a
⇒ ½ cos a + ½ cos a − ½√3 sin a + ½√3 sin a = cos a
⇒ ½ cos a + ½ cos a = cos a
⇒ cos a = cos a
(Terbukti.)
- Diketahui α dan β sudut lancip. Jika cos α = ⅗ dan cos β = ⅘, hitunglah nilai dari :
- sin (α + β)
- sin (α − β)
Pembahasan :
Untuk menjawaban soal ini, maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
Karena cos α = ⅗ → sin α = ⅘
Karena cos β = ⅘ → sin β = ⅗
- sin (α + β) = sin α .cos β + cos α sin β⇒ sin (α + β) = ⅘.⅘ + ⅗.⅗
⇒ sin (α + β) = 16⁄25 + 9⁄25
⇒ sin (α + β) = 25⁄25
⇒ sin (α + β) = 1. - sin (α − β) = sin α .cos β − cos α sin β ⇒ sin (α − β) = ⅘.⅘ − ⅗.⅗
⇒ sin (α − β) = 16⁄25 − 9⁄25
⇒ sin (α − β) = 7⁄25.
- Tanpa memakai tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai dari tiap bentuk diberikut ini.
- sin 64o cos 26o + cos 64o sin 26o
- sin 34o .cos 26o + cos 34o .sin 26o
- sin 140o .cos 50o − cos 140o .sin 50o
Pembahasan :
- sin 64o .cos 26o + cos 64o .sin 26o = sin (64o + 26o)⇒ sin 64o .cos 26o + cos 64o .sin 26o = sin 90o
⇒ sin 64o .cos 26o + cos 64o .sin 26o = 1. - sin 34o .cos 26o + cos 34o .sin 26o = sin (34o + 26o) ⇒ sin 34o .cos 26o + cos 34o .sin 26o = sin 60o
⇒ sin 34o .cos 26o + cos 34o .sin 26o = ½√3. - sin 140o .cos 50o − cos 140o .sin 50o = sin (140o − 50o) ⇒ sin 140o .cos 50o − cos 140o .sin 50o = sin 90o
⇒ sin 140o .cos 50o − cos 140o .sin 50o = 1.
Emoticon