Proyeksi Skalar Dan Proyeksi Vektor

Didiberikan dua buah vektor OA dan OB, dengan θ yakni sudut terkecil yang dibuat oleh kedua vektor tersebut.

Misalkan h yakni sebuah garis lurus yang melalui OB dan P yakni sebuah titik pada h sedemikian sehingga AP tegak lurus h, menyerupai pada gambar (i) atau (ii).

Proyeksi ortogonal vektor OA pada OB atau cukup kita sebut proyeksi vektor OA pada OB yakni proyeksi tegak lurus OA pada sebuah garis lurus yang melalui (sejajar) OB.

Jadi, proyeksi vektor OA pada OB yakni OP.

Apabila θ lancip maka OP akan searah dengan OB dan apabila θ tumpul maka OP akan berlawanan arah dengan OB, menyerupai pada gambar diatas.

melaluiataubersamaini demikian, vektor proyeksi OA pada OB, yaitu OP akan selalu kolinear dengan OB.

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut yakni panjang dari vektor a, b dan p.

melaluiataubersamaini menolongan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| adalah
|p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ,    kalau θ tumpul

Mengingat  \(\begin{align}
\mathrm{cos\,\theta} =\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}}
\end{align}\), maka

\(\begin{align}
|\mathbf{p}| &=|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;lancip}
\end{align}\)

\(\begin{align}
|\mathbf{p}| &=-|\mathbf{a}|\,\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
=-\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}},\;\;\;\mathrm{\theta \;tumpul}
\end{align}\)

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, saat θ tumpul, maka a ‧ b < 0.


Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{\left | a\cdot b \right |}{\left | b \right |}}
\end{align}

dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b


 misal 1 
Diketahui a = [8, 4]  dan  b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a

Jawab :
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|b|}}=\frac{|8(4)+4(-3)|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{|20|}{5}=4
\end{align}\)

Panjang proyeksi vektor b pada a adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|=\frac{|a\cdot b|}{|a|}}=\frac{|8(4)+4(-3)|}{\sqrt{8^{2}+4^{2}}}=\frac{|20|}{\sqrt{80}}=\sqrt{5}
\end{align}\)



 misal 2 
Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k  pada vektor b = i - 2j + k  yakni ...

Jawab :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|}=\frac{|3(1)+4(-2)+(-1)1|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=\frac{|-6|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}
\end{align}\)

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b yakni suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif kalau vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{ a\cdot b}{\left | b \right |}}
\end{align}

 misal 3 
Diketahui a = [3, 2, 4]  dan  b = [0, 3, -4]. Tentukan proyeksi skalar a pada b dan proyeksi skalar b pada a.

Jawab :
a = [3, 2, 4]
b = [0, 3, -4]

Proyeksi skalar a pada b adalah

\(\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|b|}}=\frac{3(0)+2(3)+4(-4)}{\sqrt{0^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}}=-2
\end{align}\)

Proyeksi skalar b pada a adalah

\(\begin{align}
\mathrm{s}=\mathbf{\frac{a\cdot b}{|a|}}=\frac{3(0)+2(3)+4(-4)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+4^{2}}}=\frac{-10}{\sqrt{29}}
\end{align}\)

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada b, yaitu p ialah perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan vektor satuan dari b. Kita tulis,

\(\begin{align}
\mathbf{p}= \mathrm{s}\;\mathbf{\hat{b}}
= \mathbf{\frac{a\cdot b}{\left | b \right |}\;\frac{b}{\left | b \right |}}
=\mathbf{\left ( \frac{a\cdot b}{\left | b \right |^{2}} \right )b}
\end{align}\)


melaluiataubersamaini demikian, proyeksi vektor a pada b dapat kita rumuskan menjadi

\begin{align}
\mathbf{p=\left ( \frac{a\cdot b}{\left | b \right |^{2}} \right )b}
\end{align}

 misal 4 
Diketahui a = [6, -4, 2]  dan  b = [4, 2, -2]. Tentukan proyeksi vektor a pada b dan proyeksi vektor b pada a.

Jawab :
a = [6, -4, 2]
b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektor a pada b adalah

\(\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|b|^{2}}  \right )b}\\
&=\left ( \frac{6(4)+(-4)2+2(-2)}{4^{2}+2^{2}+(-2)^{2}} \right )\left [ 4,2,-2 \right ]\\
&=\left ( \frac{1}{2} \right )\left [ 4,2,-2 \right ]\\
&=[2,1,-1]
\end{align}\)


Proyeksi vektor b pada a adalah

\(\begin{align}
\mathbf{p}&=\mathbf{\left (\frac{a\cdot b}{|a|^{2}}  \right )a}\\
&=\left ( \frac{6(4)+(-4)2+2(-2)}{6^{2}+(-4)^{2}+2^{2}} \right )\left [ 6,-4,2 \right ]\\
&=\left ( \frac{3}{14} \right )\left [ 6,-4,2 \right ]\\
&=\left [ \frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7} \right ]
\end{align}\)



Berdasarkan uraian-uraian diatas, kita sanggup menyimpulkan 2 hal sebagai diberikut.

1. Proyeksi skalar akan menghasilkan skalar (bisa bernilai nyata atau negatif), sedangkan proyeksi vektor akan menghasilkan vektor.
2. Panjang proyeksi vektor ialah nilai mutlak dari proyeksi skalar.

Soal Latihan Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor

 Latihan 1 
Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

Jawab :
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

\(\begin{align}
\mathbf{|p|}&=\mathbf{\frac{\left |AB\cdot BC  \right |}{|BC|}}\\
&=\frac{\left |0(-3)+4(0)+(-4)4  \right |}{\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+4^{2}}}\\
&=\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}
\end{align}\)


 Latihan 2 
Dua vektor u = 2i + 3j + mk  dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v yakni 2, maka nilai m yakni ...

Jawab :
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v yakni p, dengan panjangnya yakni |p| = 2

\(\begin{align}
|\mathbf{p}|&=\mathbf{\frac{|u\cdot v|}{|v|}}\\
2&=\frac{|2(4)+3(-4)+\mathrm{m}(2)|}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+2^{2}}}\\
2&=\frac{|2\mathrm{m}-4|}{6}\\
12&=|2\mathrm{m}-4|
\end{align}\)

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12  atau  2m - 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -8
m = 8  atau  m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0   ⇔   2m - 4 < 0   ⇔   m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi yakni m = -4


 Latihan 3 
Diketahui p = [2, -1, 7] dan q = [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (p + q) pada 2q

Jawab :
p + q =  [2, -1, 7] + [3, 0, -4] = [5, -1, 3]
2q = 2[3, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (p + q) pada 2q adalah

\(\begin{align}
\mathrm{s}&=\mathbf{\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}}\\
&=\frac{5(6)+(-1)0+3(-8)}{\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}}\\
&=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}
\end{align}\)


 Latihan 4 
Diketahui a = pi - 2j + 2k dan b = 2i + qj + 4k. Jika c = i - 3j + rk adalah proyeksi vektor a pada b,  maka nilai p + q + r yakni ...

Jawab :
a = [p, -2, 2]
b = [2, q, 4]
c = [1, -3, r]

Proyeksi vektor a pada b yakni c. melaluiataubersamaini demikian, b kolinear dengan c. Akibatnya, terdapat skalar k sehingga b = kc

\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ \mathrm{q}
\\ 4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ \mathrm{r}
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1)   ⇔   k  = 2
q = k(-3)   ⇔   q = -6
4 = k(r)   ⇔   r = 2

Proyeksi vektor a pada b kita tulis :

\(\begin{align}
\mathbf{c}&=\left (\frac{\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf{b}|^{2}}  \right )\mathbf{b}\\
\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ 2
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{\mathrm{p}(2)+(-2)(-6)+2(4)}{2^{2}+(-6)^{2}+4^{2}} \right )\begin{bmatrix}
2\\ -6
\\ 4
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
1\\ -3
\\ 2
\end{bmatrix}&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+20}{56} \right )\begin{bmatrix}
2\\ -6
\\ 4
\end{bmatrix}\\
\end{align}\)

Diperoleh persamaan

\(\begin{align}
1&=\left ( \frac{2\mathrm{p}+20}{56} \right )2\\
28&=2\mathrm{p}+20\\
8&=2\mathrm{p}\\
\mathrm{p}&=4
\end{align}\)

Jadi, p + q + r = 4 + (-6) + 2 = 0