Aplikasi Barisan Dan Deret

Salah satu apliksai barisan dan deret pada bidang ekonomi yaitu pada perhitungan bunga pada simpanan uang di bank atau koperasi atau forum lain sejenisnya. Terdapat dua macam jenis bunga pada simpanan, yaitu :

(1) Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika)
Yaitu metoda pemdiberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok proteksi atau modal awal simpanan saja.
Rumus bunga tunggal:

Mn = Mo (1 + in)
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan

(2) Bunga Majemuk (Barisan geometri)
Yaitu metoda pemdiberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan
Rumus bunga majemuk:

Mn = Mo (1 + i)ⁿ
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan setelah periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal diberikut ini :

01. Pak Ahmad memerlukan perhiasan modal untuk usaspesialuntuk berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi “Maju Jaya” sebesar Rp. 4.000.000 dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar 2% dari pokok proteksi per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi proteksi itu beserta bunganya setelah 6 bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad
Jawab
Diketahui :
Mo = 40.000.000
i = 2% = 0,02
n = 6
maka
Mn = Mo (1 + in)
M6 = 40.000.000(1 + 0,02(6))
M6 = 40.000.000(1,12)
M6 = 4.480.000
Kaprikornus total pengembalian pak Ahmad yaitu Rp. 4.480.000,-

02. Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman yaitu tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika setelah 3 tahun tabungan Arman menjadi Rp. 25.400.000 maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu
Jawab

Kaprikornus besar tabungan awal Arman di bank itu yaitu Rp. 20.000.000,-

03. Pak Budi menabung sebesar Rp. 8.000.000 di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar 3% setiap triwulan, maka setelah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi Rp. 10.400.000
Jawab
Diketahui :
Mo = 8.000.000
i = 3% = 0,03
Mn = 10.400.000
maka
Mn = Mo (1 + in)
10.400.000 = 8.000.000 (1 + 0,03n)
10.400.000 = 8.000.000 + 240.000n
2.400.000 = 240.000n
n = 240.000/2.400.000
n = 10
sehingga n = 10 triwulan = (10x3) bulan = 30 bulan = 2,5 tahun

04. Pak Mulyo yaitu seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar Rp. 100.000.000 di sebuah bank. Bank tersebut mempersembahkan bunga tabungan dengan sistem bunga beragam sebesar 12% per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo setelah 5 bulan ?
Jawab
Diketahui : Mo = 100.000.000
i = 12% = 0,12
n = 5
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)ⁿ
M10 = 100.000.000  (1 + 0,12)⁵
M10 = 100.000.000  (1,12)⁵
M10 = 100.000.000.(1,762)
M10 = 176.200.000

05. Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar Rp. 2.000.000. Sesudah tiga tahun uang tabungan Santi menjadi Rp. 2.662.000. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga beragam , berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut ?
Jawab
Diketahui : Mo = 2.000.000
Mn = 2.662.000
n = 3
Ditanya : i = …. ?
Jawab

Aplikasi lain dari barisan dan deret yaitu pada pertumbuhan dan peluruhan

(1) Pertumbuhan yaitu bertambahnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri.

misal : 

(a) Perkembangbiakan bakteri

(b) Pertumbuhan penduduk

(2) Peluruhan yaitu berkurangnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri

misal : 

(a) Penurunan nilai jual mobil

(b) Penurunan jumlah populasi hewan

Rumus Pertumbuhan aritmatika :

Mn = Mo (1 + pn) atau Mn = Mo + bn

Dimana : 

Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu

Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula

p = Persentase pertumbuhan

b = Nilai beda pertumbuhan

n = jangka waktu pertumbuhan

Rumus Pertumbuhan geometri :
Mn = Mo (1 + p)ⁿ atau Mn = Mo . rⁿ
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase pertumbuhan
r = Ratio pertumbuhan (r > 1)
n = jangka waktu pertumbuhan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal diberikut ini :

01. Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun 2005 dengan penghasilan permulaan sebesar Rp. 3.000.000. Jika ia mendapat kenaikan penghasilan secara bersiklus setiap tahunnya sebesar Rp. 200.000 maka berapakah penghasilan yang diterima Elsa pada awal tahun 2011?
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
b = 200.000
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo + bn
Mn = 3.000.000 + 200.000(6)
Mn = 3.000.000 + 1.200.000
Mn = Rp. 4.200.000

02. Suatu koloni basil akan membelah menjadi dua setiap lima menit. Jika pada permulaan trdapat 90 bakteri, maka tentukanlah jumlah basil setelah setengah jam ?
Jawab
Diketahui :
Mo = 90
r = 2
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo . rⁿ
Mn = 90 x 4²
Mn = 90 (16)
Mn = 1440 bakteri

03. Jumlah penduduk suatu kota bertambah berdasarkan pola geometri sebesar 0,1% per bulan. Berarti kalau jumlah penduduk kota itu tiruanla 3 juta orang maka pada final bulan ke-3 jumlahnya sudah menjadi sekitar … orang
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
i = 0,1% = 0,001
n = 3
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)ⁿ
M3 = 3.000.000  (1 + 0,001)³
M3 = 3.000.000  (1,001)³
M3 = 3.000.000(1,003003)
M3 = 3.009.009 orang

Rumus Peluruhan aritmatika :
Mn = Mo (1 – in) atau Mn = Mo – bn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
p = Persentase peluruhan
b = Nilai beda peluruhan
n = jangka waktu peluruhan

Rumus Peluruhan geometri :
Mn = Mo (1 – p)ⁿ atau Mn = Mo . rⁿ
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase peluruhan
r = Ratio peluruhan (r < 1)
n = jangka waktu peluruhan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal diberikut ini :

04. Sebuah kendaraan beroda empat dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga kendaraan beroda empat itu setelah digunakan selama 5 tahun
Jawab
Diketahui :
Mo = 200.000.000
i = 20% = 0,2
n = 5
Ditanya :
Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – i)ⁿ
Mn =  200.000.000 (1 – 0,2)⁵
Mn =  200.000.000 (0,8)⁵
Mn = 200.000.000(0,32768)
Mn = 65.536.000

05. Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun 2010 sebanyak 20.000 unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun 100 unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun 2016?
Jawab
Diketahui :
Mo = 20.000
b = 100
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo – bn
Mn = 20.000 – 100(6)
Mn = 20.000 – 600
Mn = 19.400 unit

06. Suatu jenis binatang langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi sebanyak 1/3 dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2015 diperkirakan jumlah populasi binatang tersebut disuatu pulau sebanyak 720 ujung, maka berapakah asumsi jumlah binatang itu pada tahun 2019 ?
Jawab
Diketahui : Mo = 360
r = 1/4
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab Mn = Mo . rⁿ
Mn = 360 x 4(1/3)⁴
Mn = 360 x (1/81)
Mn = 14,44 = 14 ujung

07. melaluiataubersamaini pesatnya pembangunan pemukiman, maka tempat pesawahan semakin usang semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun 2003 total areal sawah di tempat itu sekitar 400 ha dan setiap tahun berkurang 5% dari total areal sawah tiruanla . Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun 2015?
Jawab
Diketahui :
Mo = 400
i = 5% = 0,05
n = 12
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – in)
Mn = 400(1 – 0,05x12)
Mn = 400(1 – 0,6)
Mn = 400(0,4)
Mn = 160 ha