Posted by 
Pembahasan soal Ujian Nasional Matematika IPA jenjang pendidikan Sekolah Menengan Atas untuk pokok bahasan Logaritma yang mencakup sifat-sifat logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma.
Definisi Logaritma
ax = b ⇔ x = alog b
Syarat Logaritma (alog b)
Basis : a > 0 ; a ≠ 1
Numerus : b > 0
Sifat-Sifat Logaritma
1. alog 1 = 0
2. alog a = 1
3. alog b + alog c = alog (bc)
4. alog b − alog c = alog \(\left ( \frac{b}{c} \right )\)
5. alog bm = m . alog b
6. \(^{a^{n}}\)log bm = \(\frac{m}{n}\) . alog b
7. alog b . blog c = alog c
8. a\(\mathrm{^{^{\mathit{a}}log\,\mathit{b}}}\) = b
9. alog b = \(\mathrm{\frac{1}{^{\mathit{b}}log\,\mathit{a}}}\)
10. alog b = \(\mathrm{\frac{\mathit{^{p}}log\,\mathit{b}}{\mathit{^{p}}log\,\mathit{a}}}\)
Persamaan Logaritma
alog b = alog c .
Solusi : b = c ∩ syarat logaritma
Pertidaksamaan Logaritma
alog b > alog c , dengan a > 1
Solusi : b > c ∩ syarat logaritma
alog b > alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b < c ∩ syarat logaritma
alog b < alog c , dengan a > 1
Solusi : b < c ∩ syarat logaritma
alog b < alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b > c ∩ syarat logaritma
Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :
- Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka :$$\mathrm{HP=\left \{ x<p\;atau\;x>q \right \}}$$
- Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka : $$\mathrm{HP=\left \{ p<x<q \right \}}$$
1. UN 2004
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{2}}log(x^{2}-8)<0}\) adalah...
A. {x/ −2 < x < 2}
B. {x/ −2√2 < x < 2√2}
C. {x/ x < −3 atau x > 3}
D. {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E. {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}
Pembahaan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0
Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2 .................... (1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < \(^{\frac{1}{2}}\)log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3 ..............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3
Jawaban : C
2. UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{2\,log\,x\leq log(2x+5)+2\,log\,2}\) adalah...
A. \(-\frac{5}{2}\) < x ≤ 10
B. −2 ≤ x ≤ 10
C. 0 < x ≤ 10
D. −2 < x < 0
E. \(-\frac{5}{2}\) ≤ x < 10
Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > \(-\frac{5}{2}\)
Irisan dari syarat diatas :
x > 0 ..............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10 .....................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10
Jawaban : C
3. UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{2}log\,^{2}log\left ( 2^{x+1}+3 \right )=1+\,^{2}log\,x}\) adalah...
A. 2log 3
B. 3log 2
C. log\(\frac{2}{3}\)
D. −1 atau 3
E. 8 atau \(\frac{1}{2}\)
Pembahasan :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x
Syarat logaritma :
* 2x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* 2log(2x+1 + 3) > 0 → x ∈ R
* x > 0
Penyelesaian persamaan logaritma :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2x
2log(2x+1 + 3) = 2x
22x = 2x+1 + 3
22x − 2x+1 − 3 = 0
(2x)2 − 2x.21 − 3 = 0
Misalkan 2x = y
y2 − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3
2x = −1 → x ∉ R
2x = 3 ⇔ x = 2log 3
Jawaban : A
4. UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)}\) adalah...
A. x > 6
B. x > 8
C. 4 < x < 6
D. −8 < x < 6
E. 6 < x < 8
Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4 .............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x2 + 4x − 32 < 2x + 16
x2 + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6 ......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6
Jawaban : C
5. UN 2006
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log(5-x)+\,^{3}log(1+x)<\,^{3}log(6x-10)}\) adalah...
A. x < −5 atau x > 3
B. 1 < x < 5
C. \(\frac{5}{3}\) < x < 5
D. 3 < x < 5
E. −5 < x < 3
Pembahasan :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0 → x > \(\frac{5}{3}\)
Irisan dari syarat diatas :
\(\frac{5}{3}\) < x < 5 ....................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
3log(5 − x)(1 + x) < 3log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x2 < 6x − 10
x2 + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3 ............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5
Jawaban : D
6. UN 2007
Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ...
A. \(\frac{2}{a}\)
B. \(\frac{2+ab}{a(1+b)}\)
C. \(\frac{a}{2}\)
D. \(\frac{b+1}{2ab+1}\)
E. \(\frac{a(1+b)}{2+ab}\)
Penyelesaian :
2log 3 = a ⇔ 3log 2 = \(\frac{1}{a}\)
3log 5 = b
\(\begin{align}
\mathrm{^{15}log\,20} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red}3}}log\,20}{^{{\color{Red}3}}log\,15}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,(2^{2}\times 5)}{^{3}log\,(3\times 5)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \mathrm{\frac{2\cdot\, ^{3}log\,2+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \frac{2\left ( \frac{1}{a} \right )+b}{1+b}\cdot \frac{{\color{Red} a}}{{\color{Red} a}} \\
& = \frac{2+ab}{a(1+b)}
\end{align}\)
Jawaban : B
7. UN 2008
Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah...
A. \(\frac{a}{a+b}\)
B. \(\frac{a+1}{a+b}\)
C. \(\frac{a+1}{b+1}\)
D. \(\frac{a}{a(1+b)}\)
E. \(\frac{a+1}{a(1+b)}\)
Penyelesaian :
2log 7 = a
2log 3 = b
\(\begin{align}
\mathrm{^{6}log\,14} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 2}}log\,14}{^{{\color{Red} 2}}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log(2\times 7)}{^{2}log(2\times 3)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,7}{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,3}} \\
& = \frac{1+a}{1+b}
\end{align}\)
Jawaban : C
8. UN 2008
Akar-akar dari persamaan \(\mathrm{^{2}log^{2}x-6\,^{2}log\,x+8=\,^{2}log\,1}\) yakni x1 dan x2. Nilai x1 + x2 =...
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 20
Pembahasan :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1
Syarat logaritma :
x > 0 ..............................(1)
Penyelesaian persamaan logaritma :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1
(2log x)2 − 6 2log x + 8 = 0
Misalkan : 2log x = y
y2 − 6y + 8 = 0
(y − 2)(y − 4) = 0
y = 2 atau y = 4
2log x = 2 ⇔ x = 22 = 4
2log x = 4 ⇔ x = 24 = 16
x1 + x2 = 4 + 16 = 20
Jawaban : E
9. UN 2009
Diketahui \(\mathrm{^{64}log\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\). Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
A. −5\(\frac{1}{2}\)
B. −4\(\frac{3}{4}\)
C. 4
D. 5\(\frac{1}{2}\)
E. 9\(\frac{1}{2}\)
Penyelesaian :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\)
Syarat logaritma :
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) > 0 → x ∈ R
Penyelesaian persamaan logaritma :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64log 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\)
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\) (kuadratkan kedua ruas)
16x-4 = 64
24(x-4) = 26
4(x − 4) = 6
4x − 16 = 6
4x = 22
x = 5\(\frac{1}{2}\)
Jawaban : D
10. UN 2010
Nilai dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{6}}{\left ( ^{3}log\,18 \right )^{2}-\left ( ^{3}log\,2 \right )^{2}}=...}\)
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 1
D. 2
E. 8
Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18)^{2}-(^{3}log\,2)^{2}}} & =\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18+\,^{3}log\,2)(^{3}log\,18-\,^{3}log\,2)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,36)(^{3}log\,9)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{^{3}log\,36}\cdot \frac{1}{^{3}log\,9}} \\
& = \mathrm{\frac{\frac{1}{2}\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}{2\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}\cdot \frac{1}{2}} \\
& = \frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{2\cdot 2} \\
& = \frac{1}{8}
\end{align}\)
Jawaban : A
11. UN 2010
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,^{\sqrt{5}}log\,9+\,^{8}log\,2}{^{2}log\,12-\,^{2}log\,3}=...}\)
A. \(\frac{4}{6}\)
B. \(\frac{7}{6}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(\frac{13}{6}\)
E. \(\frac{26}{6}\)
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,.\;^{5^{\frac{1}{2}}}log\,3^{2}\,+\,^{2^{3}}log\,2}{^{2}log\left ( \frac{12}{3} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{3}log\,5\,.^{5}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{^{2}log\,2^{2}}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{3}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{2\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4+\frac{1}{3}}{2}=\frac{13}{6}$$
Jawaban : D
12. UN 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{2}}log(x^{2}-3)-\,^{\frac{1}{2}}log\,x=-1}\) adalah...
A. x = −1 atau x = 3
B. x = 1 atau x = −3
C. x = 1 atau x = 3
D. x = 1 saja
E. x = 3 saja
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = −1
Syarat logaritma :
* x2 − 3 > 0
* x > 0
Penyelesaian persamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = \(^{\frac{1}{2}}\)log (\(\frac{1}{2}\))-1
\(^{\frac{1}{2}}\)log\(\mathrm{\left ( \frac{x^{2}-3}{x} \right )}\) = \(^{\frac{1}{2}}\)log 2
\(\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x}}\) = 2
x2 − 3 = 2x
x2 − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Berdasarkan syarat logaritma, maka yang memenuhi yakni x = 3
Jawaban : E
13. UN 2012
Diketahui 3log 6 = p dan 3log 2 = q. Nilai 24log 288 = ...
A. \(\frac{2p+3q}{p+2q}\)
B. \(\frac{3p+2q}{p+2q}\)
C. \(\frac{p+2q}{2p+3q}\)
D. \(\frac{p+2q}{3p+2q}\)
E. \(\frac{q+2p}{2p+3q}\)
Pembahasan :
3log 6 = p
3log 2 = q
\(\begin{align}
\mathrm{^{24}log\,288} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 3}}log\,288}{^{{\color{Red} 3}}log\,24}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log(2^{3}\times 6^{2})}{^{3}log(2^{2}\times 6)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{3}+\,^{3}log\,6^{2}}{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{3\cdot \,^{3}log\,2\,+\,2\cdot \,^{3}log\,6}{2\cdot \,^{3}log\,2\,+\,^{3}log\,6}} \\
& = \frac{3q+2p}{2q+p}
\end{align}\)
Jawaban : A
14. UN 2013
Bentuk sederhana dari \(\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}\,-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}}\) adalah...
A. 2log(\(\frac{a}{b}\))
B. 2log(ab)
C. 2log(a − b)
D. 2log(a + b)
E. 2log(a + b)2
Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}} & = \mathrm{\frac{(^{2}log\,\mathit{a}+\,^{2}log\,\mathit{b})(^{2}log\,\mathit{a}-\,^{2}log\,\mathit{b})}{^{2}log\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}\cdot \,^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}
\end{align}\)
Jawaban : A
15. UN 2013
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x+\,^{2}log(x-1)<1}\) adalah...
A. −1 < x < 2
B. 0 < x < 1
C. 1 < x < 2
D. 1 ≤ x < 2
E. 0 < x < 2
Pembahasan :
2log x + 2log(x − 1) < 1
Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1 ..............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x + 2log(x − 1) < 1
2log x(x − 1) < 2log 2
x(x − 1) < 2
x2 − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2 .......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2
Jawaban : C
16. UN 2014
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{\sqrt{2}}log\,4-\,^{5}log\,8\,.\,^{2}log\,25}{^{8}log\,14-\,^{8}log\,7}=...}\)
A. 6
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(-\frac{2}{3}\)
D. −2
E. −6
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}\,-\,^{5}log\,2^{3}\,.\,^{2}log\,5^{2}}{^{8}log\left ( \frac{14}{7} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{2}log\,2\,-\,3\,.\,2\,.\,^{5}log\,2\,.\,^{2}log\,5}{^{2^{3}}log\,2}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{2}log\,2\,-\,6\,^{5}log\,5}{\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4-6}{\frac{1}{3}}=-6$$
Jawaban : E
17. UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x\,.\,^{x+1}log\,4<2-\,^{x+1}log\,4}\) adalah...
A. x > \(\frac{1}{3}\)
B. x > 1
C. 0 < x < 1
D. 0 < x < \(\frac{1}{3}\)
E. \(\frac{1}{3}\) < x < 1
Pembahasan :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4
Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0 ............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4
2log x . x+1log 4 + x+1log 4 < 2
x+1log 4 (2log x + 1) < 2
x+1log 22 (2log x + 2log 2) < 2
2 . x+1log 2 . 2log 2x < 2
2 . x+1log 2x < 2
x+1log 2x < 1
x+1log 2x < x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1 ..............................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1
Jawaban : C
18. UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log\,x\,.\,^{1-2x}log\,9<2-\,^{1-2x}log\,9}\) adalah...
A. 0 < x < \(\frac{1}{5}\)
B. 0 < x < \(\frac{2}{5}\)
C. 0 < x < \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
E. \(\frac{2}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
Pembahasan :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9
Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < \(\frac{1}{2}\)
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < \(\frac{1}{2}\) ..........................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9
2 . 1-2xlog 3x < 2
1-2xlog 3x < 1
1-2xlog 3x < 1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > \(\frac{1}{5}\) .................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
\(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
Jawaban : D
19. UN 2015
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{5}\,.\,^{\sqrt[3]{5}}log\,\frac{1}{3}\,+\,^{5}log\,\frac{1}{5}}{^{3}log\,\frac{1}{27}\,-\,^{3}log\,3\sqrt{3}}=...}\)
A. \(\frac{45}{4}\)
B. \(\frac{5}{9}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{3}\)
E. \(-\frac{5}{9}\)
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5^{\frac{1}{2}}\,.\,^{5^{\frac{1}{3}}}log\,3^{-1}\,+\,^{5}log\,5^{-1}}{^{3}log\,3^{-3}\,-\,^{3}log\,3^{\frac{3}{2}}}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{1}{2}\,.\,\frac{-1}{\frac{1}{3}}\,.\,^{3}log\,5\,.\,^{5}log\,3\,+\,(-1)^{5}log\,5}{^{3}log\,\left ( \frac{3^{-3}}{3^{\frac{3}{2}}} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{-\frac{3}{2}\,.\,^{3}log\,3\,-\,^{5}log\,5}{^{3}log\,3^{-\frac{9}{2}}}}$$ $$\frac{-\frac{3}{2}-1}{-\frac{9}{2}}=\frac{5}{9}$$
Jawaban : B
20. UN 2015
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{4}}log(x^{2}+3x+2)>\,^{\frac{1}{4}}log(5x+5)}\) adalah...
A. −2 < x < −1 atau x > 3
B. x < −2 atau x > 3
C. x < −3 atau x > 2
D. −2 < x < 3
E. −1 < x < 3
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)
Syarat logaritma :
* x2 + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1 ............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)
x2 + 3x + 2 < 5x + 5
x2 − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3 ......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3
Jawaban : E
21. UN 2016
Nilai dari \(\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,9\,.\,^{81}log\,625\,+\,^{5}log\,125}{^{6}log\,216\,-\,^{6}log\,36} \right )^{3}=...}\)
A. 625
B. 125
C. 25
D. −25
E. −125
Pembahasan :
$$\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,3^{2}\,.\,^{3^{4}}log\,5^{4}\,+\,^{5}log\,5^{3}}{^{6}log\left ( \frac{216}{36} \right )} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,\frac{4}{4}\,.\,^{5}log\,3\,.\,^{3}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,^{5}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\left ( \frac{2+3}{1} \right )^{3}=125$$
Jawaban : B
22. UN 2016
Nilai x yang memenuhi \(\mathrm{^{\frac{1}{3}}log(x+\sqrt{3})\,+\,^{\frac{1}{3}}log(x-\sqrt{3})>0}\) ...
A. x < −√3 atau 0 < x < 2
B. −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C. √3 < x < 2
D. −2 < x < 2
E. −√3 < x < 2
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3) > 0
Syarat logaritma :
* x + √3 > 0 → x > −√3
* x − √3 > 0 → x > √3
Irisan dari syarat diatas :
x > √3 .........................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ;
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3) > 0
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3)(x − √3) > \(^{\frac{1}{3}}\)log 1
(x + √3)(x − √3) < 1
x2 − 3 < 1
x2 − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−2 < x < 2 .....................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
√3 < x < 2
Jawaban : C
23. UN 2017
Hasil dari \(\mathrm{ \frac{^{6}log\,32\,\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\,\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32\,-\,^{\sqrt{2}}log\,8}}\) yakni ...
A. 15/4
B. 15/9
C. -15/16
D. -15/4
E. -5/4
Pembahasan :
Misalkan : \(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{6}log\,32\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32-\,^{\sqrt{2}}log\,8}=L}
\end{align}\)
\(\begin{align} \mathrm{L} & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,32 \right )\left (^{\sqrt{8}}log\,27 \right )\left (^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6} \right )}{^{\sqrt{2}}log\left ( \frac{32}{8} \right )}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,2^{5} \right )\left (^{2^{\frac{3}{2}}}log\,3^{3} \right )\left (^{3^{-1}}log\,6^{\frac{3}{2}} \right )}{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (5\cdot \,^{6}log\,2 \right )\left (2\cdot \,^{2}log\,3 \right )\left ( -\frac{3}{2} \cdot \,^{3}log\,6\right )}{4\cdot\,^{2}log\,2}} \\ & = \mathrm{\frac{5\cdot 2\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )\,^{6}log\,2\cdot \,^{2}log\,3\cdot \,^{3}log\,6}{4\cdot 1}} \\ & = \mathrm{\frac{-15\cdot\,^{6}log\,6}{4}} \\ & = -\frac{15}{4} \end{align}\)
Jawaban : D
A. {x/ −2 < x < 2}
B. {x/ −2√2 < x < 2√2}
C. {x/ x < −3 atau x > 3}
D. {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E. {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}
Pembahaan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0
Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2 .................... (1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < \(^{\frac{1}{2}}\)log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3 ..............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3
Jawaban : C
2. UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{2\,log\,x\leq log(2x+5)+2\,log\,2}\) adalah...
A. \(-\frac{5}{2}\) < x ≤ 10
B. −2 ≤ x ≤ 10
C. 0 < x ≤ 10
D. −2 < x < 0
E. \(-\frac{5}{2}\) ≤ x < 10
Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > \(-\frac{5}{2}\)
Irisan dari syarat diatas :
x > 0 ..............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10 .....................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10
Jawaban : C
3. UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{2}log\,^{2}log\left ( 2^{x+1}+3 \right )=1+\,^{2}log\,x}\) adalah...
A. 2log 3
B. 3log 2
C. log\(\frac{2}{3}\)
D. −1 atau 3
E. 8 atau \(\frac{1}{2}\)
Pembahasan :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x
Syarat logaritma :
* 2x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* 2log(2x+1 + 3) > 0 → x ∈ R
* x > 0
Penyelesaian persamaan logaritma :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2x
2log(2x+1 + 3) = 2x
22x = 2x+1 + 3
22x − 2x+1 − 3 = 0
(2x)2 − 2x.21 − 3 = 0
Misalkan 2x = y
y2 − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3
2x = −1 → x ∉ R
2x = 3 ⇔ x = 2log 3
Jawaban : A
4. UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)}\) adalah...
A. x > 6
B. x > 8
C. 4 < x < 6
D. −8 < x < 6
E. 6 < x < 8
Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4 .............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x2 + 4x − 32 < 2x + 16
x2 + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6 ......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6
Jawaban : C
5. UN 2006
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log(5-x)+\,^{3}log(1+x)<\,^{3}log(6x-10)}\) adalah...
A. x < −5 atau x > 3
B. 1 < x < 5
C. \(\frac{5}{3}\) < x < 5
D. 3 < x < 5
E. −5 < x < 3
Pembahasan :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0 → x > \(\frac{5}{3}\)
Irisan dari syarat diatas :
\(\frac{5}{3}\) < x < 5 ....................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
3log(5 − x)(1 + x) < 3log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x2 < 6x − 10
x2 + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3 ............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5
Jawaban : D
6. UN 2007
Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ...
A. \(\frac{2}{a}\)
B. \(\frac{2+ab}{a(1+b)}\)
C. \(\frac{a}{2}\)
D. \(\frac{b+1}{2ab+1}\)
E. \(\frac{a(1+b)}{2+ab}\)
Penyelesaian :
2log 3 = a ⇔ 3log 2 = \(\frac{1}{a}\)
3log 5 = b
\(\begin{align}
\mathrm{^{15}log\,20} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red}3}}log\,20}{^{{\color{Red}3}}log\,15}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,(2^{2}\times 5)}{^{3}log\,(3\times 5)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \mathrm{\frac{2\cdot\, ^{3}log\,2+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \frac{2\left ( \frac{1}{a} \right )+b}{1+b}\cdot \frac{{\color{Red} a}}{{\color{Red} a}} \\
& = \frac{2+ab}{a(1+b)}
\end{align}\)
Jawaban : B
7. UN 2008
Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah...
A. \(\frac{a}{a+b}\)
B. \(\frac{a+1}{a+b}\)
C. \(\frac{a+1}{b+1}\)
D. \(\frac{a}{a(1+b)}\)
E. \(\frac{a+1}{a(1+b)}\)
Penyelesaian :
2log 7 = a
2log 3 = b
\(\begin{align}
\mathrm{^{6}log\,14} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 2}}log\,14}{^{{\color{Red} 2}}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log(2\times 7)}{^{2}log(2\times 3)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,7}{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,3}} \\
& = \frac{1+a}{1+b}
\end{align}\)
Jawaban : C
8. UN 2008
Akar-akar dari persamaan \(\mathrm{^{2}log^{2}x-6\,^{2}log\,x+8=\,^{2}log\,1}\) yakni x1 dan x2. Nilai x1 + x2 =...
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 20
Pembahasan :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1
Syarat logaritma :
x > 0 ..............................(1)
Penyelesaian persamaan logaritma :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1
(2log x)2 − 6 2log x + 8 = 0
Misalkan : 2log x = y
y2 − 6y + 8 = 0
(y − 2)(y − 4) = 0
y = 2 atau y = 4
2log x = 2 ⇔ x = 22 = 4
2log x = 4 ⇔ x = 24 = 16
x1 + x2 = 4 + 16 = 20
Jawaban : E
9. UN 2009
Diketahui \(\mathrm{^{64}log\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\). Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
A. −5\(\frac{1}{2}\)
B. −4\(\frac{3}{4}\)
C. 4
D. 5\(\frac{1}{2}\)
E. 9\(\frac{1}{2}\)
Penyelesaian :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\)
Syarat logaritma :
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) > 0 → x ∈ R
Penyelesaian persamaan logaritma :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64log 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\)
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\) (kuadratkan kedua ruas)
16x-4 = 64
24(x-4) = 26
4(x − 4) = 6
4x − 16 = 6
4x = 22
x = 5\(\frac{1}{2}\)
Jawaban : D
10. UN 2010
Nilai dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{6}}{\left ( ^{3}log\,18 \right )^{2}-\left ( ^{3}log\,2 \right )^{2}}=...}\)
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 1
D. 2
E. 8
Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18)^{2}-(^{3}log\,2)^{2}}} & =\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18+\,^{3}log\,2)(^{3}log\,18-\,^{3}log\,2)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,36)(^{3}log\,9)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{^{3}log\,36}\cdot \frac{1}{^{3}log\,9}} \\
& = \mathrm{\frac{\frac{1}{2}\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}{2\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}\cdot \frac{1}{2}} \\
& = \frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{2\cdot 2} \\
& = \frac{1}{8}
\end{align}\)
Jawaban : A
11. UN 2010
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,^{\sqrt{5}}log\,9+\,^{8}log\,2}{^{2}log\,12-\,^{2}log\,3}=...}\)
A. \(\frac{4}{6}\)
B. \(\frac{7}{6}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(\frac{13}{6}\)
E. \(\frac{26}{6}\)
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,.\;^{5^{\frac{1}{2}}}log\,3^{2}\,+\,^{2^{3}}log\,2}{^{2}log\left ( \frac{12}{3} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{3}log\,5\,.^{5}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{^{2}log\,2^{2}}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{3}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{2\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4+\frac{1}{3}}{2}=\frac{13}{6}$$
Jawaban : D
12. UN 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{2}}log(x^{2}-3)-\,^{\frac{1}{2}}log\,x=-1}\) adalah...
A. x = −1 atau x = 3
B. x = 1 atau x = −3
C. x = 1 atau x = 3
D. x = 1 saja
E. x = 3 saja
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = −1
Syarat logaritma :
* x2 − 3 > 0
* x > 0
Penyelesaian persamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = \(^{\frac{1}{2}}\)log (\(\frac{1}{2}\))-1
\(^{\frac{1}{2}}\)log\(\mathrm{\left ( \frac{x^{2}-3}{x} \right )}\) = \(^{\frac{1}{2}}\)log 2
\(\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x}}\) = 2
x2 − 3 = 2x
x2 − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Berdasarkan syarat logaritma, maka yang memenuhi yakni x = 3
Jawaban : E
13. UN 2012
Diketahui 3log 6 = p dan 3log 2 = q. Nilai 24log 288 = ...
A. \(\frac{2p+3q}{p+2q}\)
B. \(\frac{3p+2q}{p+2q}\)
C. \(\frac{p+2q}{2p+3q}\)
D. \(\frac{p+2q}{3p+2q}\)
E. \(\frac{q+2p}{2p+3q}\)
Pembahasan :
3log 6 = p
3log 2 = q
\(\begin{align}
\mathrm{^{24}log\,288} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 3}}log\,288}{^{{\color{Red} 3}}log\,24}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log(2^{3}\times 6^{2})}{^{3}log(2^{2}\times 6)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{3}+\,^{3}log\,6^{2}}{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{3\cdot \,^{3}log\,2\,+\,2\cdot \,^{3}log\,6}{2\cdot \,^{3}log\,2\,+\,^{3}log\,6}} \\
& = \frac{3q+2p}{2q+p}
\end{align}\)
Jawaban : A
14. UN 2013
Bentuk sederhana dari \(\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}\,-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}}\) adalah...
A. 2log(\(\frac{a}{b}\))
B. 2log(ab)
C. 2log(a − b)
D. 2log(a + b)
E. 2log(a + b)2
Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}} & = \mathrm{\frac{(^{2}log\,\mathit{a}+\,^{2}log\,\mathit{b})(^{2}log\,\mathit{a}-\,^{2}log\,\mathit{b})}{^{2}log\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}\cdot \,^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}
\end{align}\)
Jawaban : A
15. UN 2013
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x+\,^{2}log(x-1)<1}\) adalah...
A. −1 < x < 2
B. 0 < x < 1
C. 1 < x < 2
D. 1 ≤ x < 2
E. 0 < x < 2
Pembahasan :
2log x + 2log(x − 1) < 1
Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1 ..............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x + 2log(x − 1) < 1
2log x(x − 1) < 2log 2
x(x − 1) < 2
x2 − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2 .......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2
Jawaban : C
16. UN 2014
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{\sqrt{2}}log\,4-\,^{5}log\,8\,.\,^{2}log\,25}{^{8}log\,14-\,^{8}log\,7}=...}\)
A. 6
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(-\frac{2}{3}\)
D. −2
E. −6
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}\,-\,^{5}log\,2^{3}\,.\,^{2}log\,5^{2}}{^{8}log\left ( \frac{14}{7} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{2}log\,2\,-\,3\,.\,2\,.\,^{5}log\,2\,.\,^{2}log\,5}{^{2^{3}}log\,2}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{2}log\,2\,-\,6\,^{5}log\,5}{\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4-6}{\frac{1}{3}}=-6$$
Jawaban : E
17. UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x\,.\,^{x+1}log\,4<2-\,^{x+1}log\,4}\) adalah...
A. x > \(\frac{1}{3}\)
B. x > 1
C. 0 < x < 1
D. 0 < x < \(\frac{1}{3}\)
E. \(\frac{1}{3}\) < x < 1
Pembahasan :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4
Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0 ............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4
2log x . x+1log 4 + x+1log 4 < 2
x+1log 4 (2log x + 1) < 2
x+1log 22 (2log x + 2log 2) < 2
2 . x+1log 2 . 2log 2x < 2
2 . x+1log 2x < 2
x+1log 2x < 1
x+1log 2x < x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1 ..............................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1
Jawaban : C
18. UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log\,x\,.\,^{1-2x}log\,9<2-\,^{1-2x}log\,9}\) adalah...
A. 0 < x < \(\frac{1}{5}\)
B. 0 < x < \(\frac{2}{5}\)
C. 0 < x < \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
E. \(\frac{2}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
Pembahasan :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9
Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < \(\frac{1}{2}\)
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < \(\frac{1}{2}\) ..........................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9
3log x . 1-2xlog 9 + 1-2xlog 9 < 2
1-2xlog 9 (3log x + 1) < 2
1-2xlog 32 (3log x + 3log 3) < 2
2 . 1-2xlog 3 . 3log 3x < 22 . 1-2xlog 3x < 2
1-2xlog 3x < 1
1-2xlog 3x < 1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > \(\frac{1}{5}\) .................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
\(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
Jawaban : D
19. UN 2015
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{5}\,.\,^{\sqrt[3]{5}}log\,\frac{1}{3}\,+\,^{5}log\,\frac{1}{5}}{^{3}log\,\frac{1}{27}\,-\,^{3}log\,3\sqrt{3}}=...}\)
A. \(\frac{45}{4}\)
B. \(\frac{5}{9}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{3}\)
E. \(-\frac{5}{9}\)
Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5^{\frac{1}{2}}\,.\,^{5^{\frac{1}{3}}}log\,3^{-1}\,+\,^{5}log\,5^{-1}}{^{3}log\,3^{-3}\,-\,^{3}log\,3^{\frac{3}{2}}}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{1}{2}\,.\,\frac{-1}{\frac{1}{3}}\,.\,^{3}log\,5\,.\,^{5}log\,3\,+\,(-1)^{5}log\,5}{^{3}log\,\left ( \frac{3^{-3}}{3^{\frac{3}{2}}} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{-\frac{3}{2}\,.\,^{3}log\,3\,-\,^{5}log\,5}{^{3}log\,3^{-\frac{9}{2}}}}$$ $$\frac{-\frac{3}{2}-1}{-\frac{9}{2}}=\frac{5}{9}$$
Jawaban : B
20. UN 2015
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{4}}log(x^{2}+3x+2)>\,^{\frac{1}{4}}log(5x+5)}\) adalah...
A. −2 < x < −1 atau x > 3
B. x < −2 atau x > 3
C. x < −3 atau x > 2
D. −2 < x < 3
E. −1 < x < 3
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)
Syarat logaritma :
* x2 + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1 ............................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)
x2 + 3x + 2 < 5x + 5
x2 − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3 ......................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3
Jawaban : E
21. UN 2016
Nilai dari \(\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,9\,.\,^{81}log\,625\,+\,^{5}log\,125}{^{6}log\,216\,-\,^{6}log\,36} \right )^{3}=...}\)
A. 625
B. 125
C. 25
D. −25
E. −125
Pembahasan :
$$\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,3^{2}\,.\,^{3^{4}}log\,5^{4}\,+\,^{5}log\,5^{3}}{^{6}log\left ( \frac{216}{36} \right )} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,\frac{4}{4}\,.\,^{5}log\,3\,.\,^{3}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,^{5}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\left ( \frac{2+3}{1} \right )^{3}=125$$
Jawaban : B
22. UN 2016
Nilai x yang memenuhi \(\mathrm{^{\frac{1}{3}}log(x+\sqrt{3})\,+\,^{\frac{1}{3}}log(x-\sqrt{3})>0}\) ...
A. x < −√3 atau 0 < x < 2
B. −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C. √3 < x < 2
D. −2 < x < 2
E. −√3 < x < 2
Pembahasan :
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3) > 0
Syarat logaritma :
* x + √3 > 0 → x > −√3
* x − √3 > 0 → x > √3
Irisan dari syarat diatas :
x > √3 .........................................(1)
Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ;
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3) > 0
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3)(x − √3) > \(^{\frac{1}{3}}\)log 1
(x + √3)(x − √3) < 1
x2 − 3 < 1
x2 − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−2 < x < 2 .....................................(2)
Irisan dari (1) dan (2) :
√3 < x < 2
Jawaban : C
23. UN 2017
Hasil dari \(\mathrm{ \frac{^{6}log\,32\,\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\,\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32\,-\,^{\sqrt{2}}log\,8}}\) yakni ...
A. 15/4
B. 15/9
C. -15/16
D. -15/4
E. -5/4
Pembahasan :
Misalkan : \(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{6}log\,32\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32-\,^{\sqrt{2}}log\,8}=L}
\end{align}\)
\(\begin{align} \mathrm{L} & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,32 \right )\left (^{\sqrt{8}}log\,27 \right )\left (^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6} \right )}{^{\sqrt{2}}log\left ( \frac{32}{8} \right )}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,2^{5} \right )\left (^{2^{\frac{3}{2}}}log\,3^{3} \right )\left (^{3^{-1}}log\,6^{\frac{3}{2}} \right )}{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (5\cdot \,^{6}log\,2 \right )\left (2\cdot \,^{2}log\,3 \right )\left ( -\frac{3}{2} \cdot \,^{3}log\,6\right )}{4\cdot\,^{2}log\,2}} \\ & = \mathrm{\frac{5\cdot 2\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )\,^{6}log\,2\cdot \,^{2}log\,3\cdot \,^{3}log\,6}{4\cdot 1}} \\ & = \mathrm{\frac{-15\cdot\,^{6}log\,6}{4}} \\ & = -\frac{15}{4} \end{align}\)
Jawaban : D
Emoticon