Menentukan Rumus Suku Ke-N Aritmatika Kalau Suku Pertama Tidak Diketahui

.com - Suku ke-n (Un) Barisan Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, sudah dibahas cara menurunkan rumus suku ke-n barisan aritmatika menurut relasi antara beda dengan dua suku terdekat. Bedasarkan penurunan tersebut, diperoleh rumus umum memilih suku ke-n yaitu Un = a + (n - 1)b, dengan a ialah suku pertama dan b ialah beda barisan. Jika a dan b diketahui, maka rumus suku ke-n sanggup ditentukan dengan praktis dengan cara mensubstitusi nilai a dan b ke rumus umum. Lalu bagaimana kalau suku pertama (a) tidak diketahui?

#1 Sebuah Suku dan Beda Diketahui

Jika di dalam soal didiberikan beberapa suku dan beda barisan aritmatikan namun suku pertamanya tidak diketahui, maka rumus suku ke-n sanggup ditentukan dengan memilih suku pertamanya terlebih lampau. Karena b diketahui, maka suku pertama sanggup dengan praktis ditentukan.

Langkah pertama yang sanggup kita lakukan ialah dengan menyusun persamaan linear dua variabel dari salah satu suku yang diketahui. Kemudian substitusi nilai b ke dalam persamaan yang terbentuk untuk memperoleh nilai a. Langkah terkahir, substitusi nilai a dan b ke persamaan umum suku ke-n (Un).

Berdasarkan pembagian terstruktur mengenai tersebut, maka diberikut langkah-langkah memilih rumus suku ke-n (Un) dalam variabel n, kalau suku pertama tidak diketahui tapi bedanya diketahui :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan salah satu suku
2). Substitusi nilai b untuk memperoleh suku pertamanya
3). Substitusi nilai a dan b ke rumus umum.

misal :
Diketahui kesembilan suatu barisan aritmatika ialah 39. Jika beda barisan tersebut ialah 3, maka tentukanlah rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n.

Pembahasan :
Dik : U₉ = 39, b = 3
Dit : Un = .... ?

Langkah #1 : Menyusun Persamaan yang Bersesuaian
Persamaan untuk suku ke-9 :
⇒ U₉ = 39
⇒ a + (9 - 1)b = 39
⇒ a + 8b = 39

Langkah #2 : Substitusi nilai b ke Persamaan yang Diperoleh
⇒ a + 8b = 39
⇒ a + 8(3) = 39
⇒ a + 24 = 39
⇒ a = 39 - 24
⇒ a = 15

Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Rumus Umum
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 15 + (n - 1)3
⇒ Un = 15 + 3n - 3
⇒ Un = 12 + 3n
⇒ Un = 3n + 12

Jadi, rumus suku ke-n (ditetapkan dalam n) untuk barisan tersebut ialah Un = 3n + 12.

#2 Dua Suku Diketahui

Jika di dalam sebuah soal didiberikan dua atau beberapa suku dari barisan aritmatika namun suku pertamanya tidak diketahui, maka rumus suku ke-n barisan tersebut sanggup ditentukan dengan cara memilih beda dan suku pertamanya terlebih lampau.

Langkah pertama yang sanggup dilakukan ialah menyusun persamaan yang bersesuaian dengan suku-suku yang diketahui. Persamaan ini diperoleh menurut relasi antara suku pertama, beda, dan suku ke-n pada rumus umum suku ke-n (Un).

Dari suku-suku yang diketahui kita sanggup menyusun setidaknya dua persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b (dimana a ialah suku pertama barisan dan b ialah beda barisan). Selanjutnya, dengan memanfaatkan metode subtitusi atau metode eliminasi, kita selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk.

Dari proses penyelesaian persamaan linear tersebut, akan diperoleh nilai a dan b. Karena nilai a dan b sudah diketahui, maka selanjutnya tinggal mensubstitusi nilai tersebut ke persamaan atau rumus umum Un = a + (n - 1)b sehingga diperoleh persamaan dalam variabel n.

Berdasarkan pembagian terstruktur mengenai tersebut, maka diberikut langkah-langkah memilih rumus suku ke-n (Un) dalam variabel n, kalau suku pertama tidak diketahui :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan suku-suku yang diketahui
2). Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk
3). Substitusi nilai a dan b ke rumus umum.

misal :
Jika suku ketiga dan suku kesembilan suatu barisan aritmatika berturut-turut ialah 21 dan 39, maka tentukanlah rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n.

Pembahasan :
Dik : U₃ = 21, U₉ = 39
Dit : Un = .... ?

Langkah #1 : Menyusun Persamaan yang Bersesuaian
Persamaan untuk suku ke-3 :
⇒ U₃ = 21
⇒ a + (3 - 1)b = 21
⇒ a + 2b = 21

Persamaan
⇒ U₉ = 39
⇒ a + (9 - 1)b = 39
⇒ a + 8b = 39

melaluiataubersamaini demikian kita peroleh dua persamaan lienar dua variabel yaitu :
1). a + 2b = 21
2). a + 8b = 39

Langkah #2 : Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear yang Terbentuk
Untuk menuntaskan sistem persamaan linear dua variabel yang kita peroleh di langkah pertama, kita sanggup memakai metode eliminasi atau substitusi. Pada pembahasan ini, dipakai metode substitusi.

Dari persamaan (1) :
⇒ a + 2b = 21
⇒ a = 21 - 2b

Substitusi persamaan a di atas ke persamaan (2) :
⇒ a + 8b = 39
⇒ (21 - 2b) + 8b = 39
⇒ 21 - 2b + 8b = 39
⇒ 6b = 39 - 21
⇒ 6b = 18
⇒ b = 18/6
⇒ b = 3

Selanjutnya substitusi nilai b ke persamaan (1) :
⇒ a = 21 - 2b
⇒ a = 21 - 2(3)
⇒ a = 21 - 6
⇒ a = 15

Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Rumus Umum
Pada langkah kedua kita sudah memperoleh nilai a dan b barisan tersebut. Itu artinya kita sudah tahu berapa suku pertama dan beda barisan itu. Langkah terakhir, tinggal masukkan nilai a dan b :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 15 + (n - 1)3
⇒ Un = 15 + 3n - 3
⇒ Un = 12 + 3n
⇒ Un = 3n + 12

Jadi, rumus suku ke-n (ditetapkan dalam n) untuk barisan tersebut ialah Un = 3n + 12.