Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Himpunan Penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat sanggup ditentukan dengan langkah-langkah sebagai diberikut :

Langkah 1 : Tentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi "sama dengan". Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh yakni pembuat nol.

Langkah 2 : Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda untuk masing-masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) kalau hasil substitusi bernilai aktual dan tulis (−) kalau hasil substitusi bernilai negatif.

Catatan :
Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali kalau akar-akar yang diperoleh sama (kembar)

Tips :
Jika akar-akar yang diperoleh tidak sama, cukup dicari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol biar perhitungan lebih praktis (jika nol bukan ialah pembuat nol).

Langkah 3 : Tentukan kawasan penyelesaian (arsiran).
Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥", kawasan penyelesaian berada pada interval yang bertanda aktual (+).
Untuk pertidaksamaan "<" atau "≤", kawasan pernyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−).

Langkah 4 : Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat kawasan penyelesaian.

HP terletak pada ujung-ujung interval


misal 1
Tentukan HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0

Penyelesaian :
Pembuat nol.:

x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)

Karena pertidaksamaan bertanda "≥" , maka kawasan penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}


misal 2
Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0

Penyelesaian :
Pembuat nol :
−x² − 3x + 4 = 0
x² + 3x − 4 = 0
(x + 4)(x − 1) = 0
x = −4 atau x = 1

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0
−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4  (+)

Karena pertidaksamaan bertanda ">" , maka kawasan penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−4 < x < 1}


misal 3
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

Penyelesaian :
Terlebih lampau ubah ke dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1
⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1
⇔ 2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
x(2x − 1) = 0
x = 0 atau x = \(\frac{1}{2}\)

Untuk interval x > \(\frac{1}{2}\) ambil x = 1
2x² − x = 2(1)² − 1 = 1  (+)

Karena pertidaksamaan bertanda "<" , maka kawasan penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x < \(\frac{1}{2}\)}


Perhatikan grafik fungsi kuadrat diberikut :

Dari grafik diatas sanggup dilihat bahwa :
Untuk interval x < p atau x > q kurvanya berada diatas sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai aktual (> 0)

Untuk interval p < x < q kurvanya berada dibawah sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai negatif (< 0)

Berdasarkan uraian diatas, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat sanggup pula ditentukan dengan konsep diberikut :

Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 yakni p dan q. Untuk p < q, berlaku :

• Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka $$\mathrm{HP=\left \{ x<p\;atau\;x>q \right \}}$$
• Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka $$\mathrm{HP=\left \{ p<x<q \right \}}$$ 

Perlu diperhatikan bahwa konsep diatas berlaku untuk a > 0. Jika a bernilai negatif, maka terlebih lampau kalikan kedua ruas dengan negatif (−).

melaluiataubersamaini memakai konsep diatas, contoh-contoh sebelumnya sanggup diselesaikan dengan cara sebagai diberikut.

(1)  x² − 2x − 3 ≥ 0

Pembuat nol :
x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka
HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}


(2)  −x² − 3x + 4 > 0

Kalikan kedua ruas dengan (−) :
x² + 3x − 4 < 0

Pembuat nol :
x² + 3x − 4 = 0
(x + 4)(x − 1) = 0
x = −4 atau x = 1

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka
HP = {−4 < x < 1}


(3)  2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
x(2x − 1) = 0
x = 0 atau x = \(\frac{1}{2}\)

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka
HP = {0 < x < \(\frac{1}{2}\)}