Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik (dot product) dari dua vektor a dan b dinotasikan dengan a ‧ b.

Perkalian titik disini tidak sama dengan perkalian aljabar menyerupai yang sudah kita kenal, lantaran yang dilibatkan disini ialah vektor, bukan bilangan.

Didiberikan dua buah vektor,
a = [a₁ , a₂ , a₃]
b = [b₁ , b₂ , b₃]
dengan θ ialah sudut antara a dan b, menyerupai yang terlihat pada gambar.

melaluiataubersamaini menolongan hukum cosinus, kita peroleh
|b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ
|a| |b| cos θ = \(\frac{1}{2}\)( |a|² + |b|² - |b - a|² )     (*)

Substitusikan
|a|² = a₁² + a₂² + a₃² ,
|b|² = b₁² + b₂² + b₃² ,
|b - a|² = (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)²,
pada ruas kanan persamaan (*), kemudian sederhanakan sampai diperoleh

|a| |b| cos θ = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃    (**)

Persamaan terakhir ini cukup menarikdanunik, lantaran bisa pertanda kekerabatan antara panjang, sudut, dan komponen-komponen suatu vektor secara bersamaan.

Persamaan yang didominasi oleh operasi perkalian inilah yang kemudian menjadi inspirasi dalam pendefinisian perkalian titik dua vektor.


 Definisi 
Misalkan a dan b adalah vektor-vektor bukan nol. Perkalian titik atau dot product dari a dan b, ditulis a ‧ b, didefinisikan

a ‧ b = |a| |b| cos θ

dimana
|a| = panjang a
|b| = panjang b
θ = sudut antara a dan b


melaluiataubersamaini demikian, persamaan (**) sanggup ditulis menjadi

a ‧ b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Perkalian titik dari dua vektor akan menghasilkan skalar. Oleh alasannya ialah itu, perkalian titik sering disebut dengan perkalian skalar (skalar product).


misal 1
Dua buah vektor u dan v membentuk sudut sebesar 60°. Jika |u| = 4 dan |v| = 7, maka u ‧ v = ...

Jawab :
u ‧ v = |u| |v| cos 60°
u ‧ v = 4 ‧ 7 ‧ \(\frac{1}{2}\)
u ‧ v = 14


misal 2
Diketahui p dan q adalah vektor-vektor di R³, dengan  p = 2i - 3j + 4k dan q = 3i - k. Tentukan nilai p ‧ q

Jawab :
p = [2 , -3 , 4]
q = [3 , 0 , -1]

p ‧ q = 2 ‧ 3  +  (-3) 0  +  4 (-1)
p ‧ q = 6 + 0 - 4
p ‧ q = 2


misal 3
Diketahui p = [6 , 0] dan q = [4 , -4]. Tentukan besar sudut yang dibuat oleh p dan q !

Jawab :
Panjang masing-masing vektor :
|p| = √(6² + 0²) = 6
|q| = √(4² + (-4)²) = 4√2

Hasil kali titik dari kedua vektor :
p ‧ q = 6 ‧ 4  +  0 (-4)  =  24

Misalkan sudut diantara p dan q ialah θ.
\(\begin{align}
\mathrm{cos\,\theta} =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p||q|}}=\frac{24}{6\cdot 4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}\)

Karena cos θ = \(\frac{1}{2}\)√2, maka θ = 45°

Sifat-Sifat Perkalian Titik

Jika a, b dan c ialah vektor, dan k ialah skalar/bilangan, maka

1.   a ‧ a = |a|²
2.   a ‧ b = b ‧ a
3.   a ‧ (b + c) = a ‧ b + a ‧ c
4.   a ‧ (kb) = k(a ‧ b) = (ka) ‧ b

Kita tahu bahwa

• Dua vektor yang saling tegak lurus membentuk sudut sebesar 90°
• Dua vektor yang searah membentuk sudut sebesar 0°
• Dua vektor yang berlawanan arah membentuk sudut sebesar 180°
• Ketika θ lancip, maka cos θ > 0
• Ketika θ tumpul, maka cos θ < 0

Apabila fakta-fakta diatas kita terapkan pada definisi perkalian titik, akan kita peroleh kesimpulan sebagai diberikut.

Misalkan a dan b adalah vektor, dengan θ ialah sudut yang dibuat oleh kedua vektor tersebut. 

Jika a tegak lurus b, maka

a ‧ b = 0

Jika a searah dengan b, maka

a ‧ b = |a| |b|

Jika a berlawanan arah dengan b, maka
a ‧ b = -|a| |b|

Jika θ lancip (0 < θ < 90°), maka
a ‧ b > 0

Jika θ tumpul (0° < θ < 180°), maka
a ‧ b < 0

misal 4
Diketahui u = [3 , 1 , -2] dan v = [4 , 0 , k]. Tentukan k semoga kedua vektor tersebut saling tegak lurus.

Jawab :
Agar u tegak lurus v, haruslah u ‧ v = 0

\(\begin{align}
\mathbf{u\cdot v} &=0 \\
3\cdot 4+1\cdot 0+(-2)k&=0 \\
12-2k&=0 \\
12 &=2k \\
k&=6
\end{align}\)

misal 5
Jika u = [u₁ , u₂], tunjukkan bahwa u ‧ u = |u|²

Jawab :
Berdasarkan definisi perkalian titik, maka

u ‧ u = u₁ u₁ + u₂ u₂ 

u ‧ u =  u₁² + u₂²   ..............................(1)

Berdasarkan rumus panjang vektor, maka

|u|² = u₁² + u₂²   .................................(2)

Dari (1) dan (2) kita peroleh hubungan

u ‧ u = |u|²

Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor

Didiberikan dua vektor a dan b, dengan θ ialah sudut antara vektor a dan b. Jika c = a + b, maka
c ‧ c = (a + b) ‧ (a + b)
c ‧ c = a ‧ a  +  b ‧ b  +  2 a ‧ b

Karena c ‧ c = |c|² ,  a ‧ a = |a|² , dan  b ‧ b = |b|² , persamaan diatas menjadi
|c|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

Jika kita substitusikan kembali c = a + b, maka akan kita peroleh

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

Karena  a ‧ b = |a| |b| cos θ, persamaan diatas sanggup pula ditulis menjadi

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 |a| |b| cos θ

melaluiataubersamaini cara yang sama, untuk c = a - b, akan diperoleh

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b

atau

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos θ

Uraian-uraian diatas, sanggup pula kita tuliskan sebagai diberikut.

1.  Jika c = a + b, maka berlaku

|c|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

   

2.  Jika c = a - b, maka berlaku

|c|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b

dimana |a|, |b| dan |c| berturut-turut ialah panjang dari vektor a, b dan c.



misal 5
Diketahui |a| = 5, |b| = 3 dan |a - b| = 2√6. Apabila a dan b membentuk sudut lancip sebesar α, tentukan nilai sin α

Jawab :
|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos α
(2√6)² = (5)² + (3)² - 2 (5) (3) cos α
24 = 34 - 30 cos α
30 cos α = 10
cos α = \(\frac{1}{3}\)    ⟶   sin α = \(\frac{2}{3}\)√2


misal 6
Diketahui |a| = 2√2, |b| = 10 dan a ‧ b = 4. Apabila a = b - c, maka a ‧ c = ...

Jawab :
Karena a = b - c, maka c = b - a. Akibatnya
|c|² = |b|² + |a|² - 2 b ‧ a
|c|² = (10)² + (2√2)² - 2 (4)
|c|² = 100
|c| = 10

Karena a = b - c, maka b = a + c. Akibatnya
|b|² = |a|² + |c|² - 2 a ‧ c
(10)² = (2√2)² + (10)² + 2 a ‧ c
2 a ‧ c = -8
a ‧ c = -4

Soal Latihan dan Pembahasan

Latihan 1
Diketahui tiga buah titik A(2, -4, -2), B(3, -4, -1) dan C(4, -3, -1). Jika p dan q berturut-turut ialah wakil dari vektor AB dan BC, tentukan besar sudut yang dibuat oleh p dan q.

Jawab :
AB = [3, -4, -1] - [2, -4, -2]
AB = [1, 0, 1]

BC = [4, -3, -1] - [3, -4, -1]
BC = [1, 1, 0]

Diperoleh
p = AB = [1, 0, 1]
q = BC = [1, 1, 0]

Misalkan sudut antara p dan q ialah α.
\(\begin{align}
\mathrm{Cos\,\alpha} &=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p|\,|q|}} \\
&=\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}\)

Karena cos α = 1/2, maka α = 60°


Latihan 2
Diketahui |a| = 3, |b| = 5 dan |a + b| = 2√13 . Tentukan |a - b|

Jawab :
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b
(2√13)² = (3)² + (5)² + 2 a ‧ b
52 = 9 + 25 + 2 a ‧ b
2 a ‧ b = 18

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2 a ‧ b
|a - b|² = (3)² + (5)² - 18
|a - b|² = 16
|a - b| = 4

Latihan 3
Diketahui tiga vektor u, v dan w, dengan  |u| = 4 , |w| = √13 dan u ‧ v = 6. Jika v = u + w dan sudut antara v dan w adalah β, maka sin²β = ...

Jawab :
Karena v = u + w, maka w = v - u . Akibatnya
|w|² = |v|² + |u|² - 2 v ‧ u
(√13)² = |v|² + (4)² - 2 (6)
13 = |v|² + 4
|v|² = 9
 |v| = 3

Karena v = u + w, maka u = v - w . Akibatnya
|u|² = |v|² + |w|² - 2 v ‧ w
(4)² = (3)² + (√13)² - 2 v ‧ w
 2 v ‧ w = 6
v ‧ w = 3

Sudut antara v dan w adalah β, sehingga
\(\begin{align}
\mathrm{cos}\,\beta =\mathbf{\frac{v\cdot w}{\left | v \right |\,\left | w \right |}}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}
 \end{align}\)

Berdasarkan identitas phythagoras :
\(\begin{align}
sin^{2}\beta &=1-cos^{2}\beta \\
& = 1-\left ( \frac{1}{\sqrt{13}} \right )^{2} \\
& = 1-\frac{1}{13} \\
& = \frac{12}{13}
 \end{align}\)


Latihan 4
Dari suatu segitiga sama sisi ABC diketahui A(2, -1) dan B(4, 1). Tentukan koordinat titik C yang mungkin

Jawab :
Misalkan koordinat titik C ialah (x, y)
AB = [4, 1] - [2, -1] = [2, 2]
AC = [x, y] - [2, -1] = [x - 2 , y + 1]

Panjang AB dan AC berturut-turut :
|AB| = √(2² + 2²) = √8
|AC| = √((x - 2)² + (y + 1)²) = √(x² + y² - 4x + 2y + 5)

Karena ABC sama sisi, maka |AC| = |AB|.
√(x² + y² - 4x + 2y + 5) = √8
x² + y² - 4x + 2y + 5 = 8
x² + y² - 4x + 2y - 3 = 0   ...................................(1)


Karena AB = [2, 2] dan AC = [x - 2, y + 1] maka
AB ‧ AC = 2(x - 2) + 2(y + 1)
AB ‧ AC = 2x - 4 + 2y + 2
AB ‧ AC = 2x + 2y - 2   ......................................(2)

Karena ABC sama sisi, maka sudut antara AB dan AC ialah 60°. Akibatnya,
AB ‧ AC = |AB| |AC| cos 60°
AB ‧ AC = √8 √8 \(\frac{1}{2}\)
AB ‧ AC = 4   ........................................................(3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh hubungan
2x + 2y - 2 = 4
2x + 2y = 6
x + y = 3
y = 3 - x   .............................................................(4)

Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (1)
x² + (3 - x)² - 4x + 2(3 - x) - 3 = 0
x² + 9 - 6x + x² - 4x + 6 - 2x - 3 = 0
2x² - 12x + 12 = 0
x² - 6x + 6 = 0

melaluiataubersamaini memakai rumus kuadrat diperoleh
x = 3 + √3   atau   x = 3 - √3

Substitusikan nilai -nilai x ke persamaan (4) :
Untuk x = 3 + √3   →   y = -√3
Untuk x = 3 - √3   →   y = √3

Jadi, koordinat titik C yang mungkin adalah
C(3 + √3 , -√3)   atau   C(3 - √3 , √3)