Pernyataan Beragam (Implikasi Dan Biimplikasi)

(3) Implikasi
Implikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p→q” Dalam bahasa lain ditulis :
“q kalau p”
“p syarat cukup untuk q”
“q syarat perlu biar p”

Dimana p dinamakan alasannya tragedi (anteseden) dan q dinamakan akhir tragedi (konsekwen)
Tabel kebenaran untuk implikasi sanggup dilihat pada gambar di bawah ini

Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa implikasi dari kalau p maka q akan bernilai salah kalau p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar

Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal diberikut ini
04. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap implikasi diberikut ini :
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil

Jawab
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
Misalkan
p : “Kambing berkaki dua” (salah)
q : “Kerbau berkaki empat (Benar)
Maka : p → q ≡ S → B ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar

(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
Misalkan
p : “3 faktor dari 12” (Benar)
q : “12 habis dibagi 5 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah

(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Ambil x = 9 sehingga pernyataan di atas berbunyi :
”Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6
Misalkan
p : “9 habis dibagi 3” (Benar)
q : “9 habis dibagi 6 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah

(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena tiruana bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar

(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar

05. Tentukanlah nilai x biar implikasi diberikut ini bernilai benar
(a) Jika 2x – 6 = 8 maka 3x + 5 = 2
(b) Jika x² – 9 = 0 maka x² – 5x + 6 = 0
(c) Jika 2x – 3 = 5 maka Surabaya ibukota Jawa Timur
(d) Jika 4x + 5 = 17 maka ayam hewan berkaki empat

Jawab
(a) p : “2x – 6 = 8”
p : “2x = 14”
p : “x = 7” Benar kalau x = 7
q : “3x + 5 = 2”
q : “3x = –3”
q : “x = –1” Benar kalau x = –1
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ 7 dan x bilangan real

(b) p : “x² – 9 = 0”
p : “(x – 3)(x + 3) = 0” Benar kalau x = –3 dan x = 3
q : “x² – 5x + 6 = 0”
q : “(x – 6)(x - 3) = 0” Benar kalau x = 3 dan x = 6
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ –3 dan x bilangan real

(c) p : “2x – 3 = 5”
p : “2x = 8”
p : “x = 4” Benar kalau x = 4
q : “Surabaya ibukota Jawa Timur” (Pernyataan benar)
Makara p → q bernilai benar untuk tiruana x bilangan real

(d) p : “4x + 5 = 17”
p : “4x = 12”
p : “x = 3” Benar kalau x = 4
q : “ayam hewan berkaki empat” (Pernyataan salah)
Makara p → q bernilai benar untuk tiruana x bilangan real kecuali 4

(4) Biimplikasi
Biimplikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p kalau dan spesialuntuk kalau q” ditulis “p↔q” .
Dalam hal ini, p dan q keduanya sanggup dianggap anteseden dan sanggup dianggap konsekwen
Tabel kebenaran untuk Biimplikasi sanggup dilihat pada gambar di samping

Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa biimplikasi dari p kalau dan spesialuntuk kalau q akan bernilai benar kalau p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah

Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal diberikut ini

06. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi diberikut ini :
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama kalau dan spesialuntuk kalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
(b) 15 yaitu bilangan genap kalau dan spesialuntuk kalau 15 tidak habis dibagi 2
(c) x yaitu bilangan prima kalau dan spesialuntuk kalau x tidak habis dibagi 6
(d) x lebihdari 6 jikadanspesialuntuk x lebihdari 3
(e) ABC yaitu segitiga sama sisi kalau dan spesialuntuk kalau ketiga sisinya sama panjang

Jawab
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama kalau dan spesialuntuk kalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
Misalkan
p : “Soeharto yaitu presiden RI pertama” (salah)
q : “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat (Salah)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar

(b) 15 yaitu bilangan genap kalau dan spesialuntuk kalau 15 tidak habis dibagi 2
Misalkan
p : “15 yaitu bilangan genap” (Salah)
q : “15 tidak habis dibagi 2 (Benar)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai salah

(c) x yaitu bilangan prima kalau dan spesialuntuk kalau x tidak habis dibagi 6
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x yaitu bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar)
Jika x tidak habis dibagi 6 maka x yaitu bilangan prima (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah

(d) x lebih dari 6 kalau dan spesialuntuk x lebih dari 3
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x lebih dari 6 maka x lebih dari 3 (Benar)
Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah

(e) ABC yaitu segitiga sama sisi kalau dan spesialuntuk kalau ketiga sisinya sama panjang
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika ABC yaitu segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC yaitu segitiga sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar

07. Manakah diantara implikasi diberikut ini sanggup diganti dengan biimplikasi
(a) Jika segi empat ABCD yaitu persegi maka keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Jika sebuah bilangan habis dibagi empat maka bilangan tersebut juga habis dibagi dua
(c) Jika persamaan ax² + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real maka diskriminannya negatif

Jawab
(a) Pernyataan diatas kalau dibalik berbunyi :
Jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar maka segiempat ABCD yaitu persegi (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
segiempat ABCD yaitu persegi Jika dan spesialuntuk kalau keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar

(b) Pernyataan diatas kalau dibalik berbunyi :
Jika sebuah bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut juga habis dibagi empat (Salah)
Sehingga pernyataan di atas tidak sanggup diganti biimplikasi

(c) Pernyataan diatas kalau dibalik berbunyi :
Jika diskriminannya negatif maka persamaan ax² + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
persamaan ax² + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real Jika dan spesialuntuk kalau diskriminannya negatif

08. Tentukanlah nilai x biar biimplikasi diberikut ini bernilai benar
(a) x – 5 = 3 kalau dan spesialuntuk 3x + 2 = 8
(b) x² – 6x + 8 = 0 kalau dan spesialuntuk kalau x² + 3x – 10 = 0
(c) 4x + 5 = 25 kalau dan spesialuntuk kalau 7 yaitu bilangan prima
(d) 5x – 7 = 23 kalau dan spesialuntuk kalau 20 yaitu faktor dari 5

Jawab
(a) p : “x – 5 = 3”
p : “x = 8” Benar kalau x = 8
q : “3x + 2 = 8”
q : “3x = 6”
q : “x = 2” Benar kalau x = 2
Makara p ↔ q bernilai benar untuk tiruana x bilangan real kecuali 2 dan 8

(b) p : “x² – 6x + 8 = 0”
p : “(x – 4)(x – 2) = 0” Benar kalau x = 2 dan x = 4
q : “x² + 3x – 10 = 0”
q : “(x – 5)(x – 2) = 0” Benar kalau x = 2 dan x = 5
Makara p ↔ q bernilai benar untuk tiruana x bilangan real kecuali 4 dan 5

(c) p : “4x + 5 = 25”
p : “4x = 20”
p : “x = 5” Benar kalau x = 5
q : “7 yaitu bilangan prima” (Benar)
Makara p ↔ q bernilai benar spesialuntuk untuk x = 5

(d) p : “5x – 7 = 23”
p : “5x = 30”
p : “x = 6” Benar kalau x = 6
q : “20 yaitu faktor dari 5” (Salah)
Makara p ↔ q bernilai benar untuk tiruana x bilangan real kecuali 5