Pembahasan Soal Un Transformasi

Pembahasan soal ujian nasional matematika IPA untuk pokok bahasan transformasi geometri yang mencakup translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi.

Misalkan (x', y') ialah bayangan titik (x, y) oleh suatu transformasi.

Translasi (a, b)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathrm{a}\\\mathrm{b }

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap garis x = a
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{2a-x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap garis y = b
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{2b-y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap sumbu-x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap sumbu-y
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap O(0, 0)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap garis y = x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap garis y = -x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Rotasi dengan sentra O dan sudut putaran θ
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,\theta & \mathrm{-sin}\,\theta\\
\mathrm{sin}\,\theta & \mathrm{cos}\,\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Jika rotasi berlawanan arah jarum jam, maka θ positif dan bila rotasi searah jarum jam maka θ negatif.

Dilatasi dengan sentra O dan faktor skala k
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{k} & 0\\
0 & \mathrm{k}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)


Misalkan \(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\) dan \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\) adalah matriks-matriks yang bersesuaian dengan suatu transformasi. Jika transformasi T ialah komposisi dari transformasi T₁ dan dilanjutkan transformasi T₂ atau ditulis T₂ o T₁ , maka matriks yang bersesuaian dengan transformasi T ialah :
\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\)




UN 2016
Persamaan bayangan kurva y = 3x² + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y ialah ...
A.  y = −3x² − 2x − 1
B.  y = −3x² + 2x + 1
C.  y = −3x² + 2x − 1
D.  y = 3x² + 2x + 1
E.  y = 3x² − 2x + 1

Pembahasan :
Misalkan :
T₁ = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.
T₂ = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.
T = T₂ o T₁

\(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)  dan  \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)

\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T ialah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{-x}\\ \mathrm{-y}

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x  ↔  x = -x'
y' = -y  ↔  y = -y'

Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
y = 3x² + 2x − 1
⇒  (-y') = 3(-x')² + 2(-x') − 1
⇔  -y' = 3(x')² − 2x' − 1
⇔  y' = −3(x')² + 2x' + 1

Jadi, persamaan bayangan kurva ialah :
y = −3x² + 2x + 1

Jawaban : B


UN 2015
Transformasi T ialah komposisi dari pencerminan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi dengan sentra O(0, 0) sebesar 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam. Bayangan dari garis 3x + 5y − 2 = 0 oleh transformasi T memiliki persamaan ...
A.  3x − 5y − 2 = 0
B.  3x + 5y + 2 = 0
C.  3x − 5y + 2 = 0
D.  5x − 3y + 2 = 0
E.  5x − 3y − 2 = 0

Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)

\(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,90^{\circ} & \mathrm{-sin}\,90^{\circ}\\
\mathrm{sin}\,90^{\circ} & \mathrm{cos}\,90^{\circ}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)

\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{-x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x  ↔  x = -x'
y' = y  ↔  y = y'

Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
3x + 5y − 2 = 0
⇒  3(-x') + 5(y') − 2 = 0
⇔  -3x' + 5y' − 2 = 0
⇔  3x' − 5y' + 2 = 0

Jadi, persamaan bayangan kurva ialah :
3x − 5y + 2 = 0

Jawaban : C


UN 2014
Persamaan bayangan bulat x² + y² = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan dengan translasi \(\begin{bmatrix}
-3\\ 4

\end{bmatrix}\) ialah ...
A.  x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0
B.  x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0
C.  x² + y² − 2x + 8y + 13 = 0
D.  x² + y² + 2x + 8y + 13 = 0
E.  x² + y² + 8x − 2y + 13 = 0

Pembahasan :
Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan transalasi (-3, 4) ialah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\cdot 2-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
-3\\ 4

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}+4

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matrik diatas, diperoleh :
x' = 1 − x  ↔  x = 1 − x'
y' = y + 4  ↔  y = y' − 4

Substitusi x dan y ke persamaan bulat :
x² + y² = 4
⇒  (1 − x')² + (y' − 4)² = 4
⇔  1 − 2x' + (x')² + (y')² − 8y' + 16 = 4
⇔  (x')² + (y')² − 2x' − 8y' + 13 = 0

Jadi, persamaan bayangan bulat ialah :
x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0

Jawaban : A


UN 2013
Diketahui titik A(3, -2) dipetakan oleh translasi T = \(\begin{bmatrix}
1\\ -2

\end{bmatrix}\), lalu dilanjutkan oleh rotasi dengan sentra O(0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A ialah ...
A.  (4, 4)
B.  (-4, 4)
C.  (4, -4)
D.  (0, -3)
E.  (-3, 0)

Pembahasan :
Bayangan titik A(3, -2) oleh translasi \(\begin{bmatrix}
1\\ -2

\end{bmatrix}\) adalah
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ -2

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
1\\ -2

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4\\ -4

\end{bmatrix}\)

dilanjutkan rotasi dengan sentra O sejauh 90° :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x''}\\ \mathrm{y'' }

\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,90^{\circ} & \mathrm{-sin}\,90^{\circ}\\
\mathrm{sin}\,90^{\circ} & \mathrm{cos}\,90^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x''}\\ \mathrm{y'' }

\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
4\\ -4
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x''}\\ \mathrm{y'' }

\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
4\\ 4

\end{bmatrix}\)

Jadi, koordinat titik hasil peta ialah (4, 4)

Jawaban : A


UN 2013
Diketahui M ialah pencerminan terhadap garis \(\mathrm{y = -x}\) dan T ialah transformasi yang nyatakan oleh matriks \(\begin{bmatrix}
2 & 3\\
0 & -1
\end{bmatrix}\). Koordinat bayangan titik A(2, -8) bila ditransformasikan oleh M dan dilanjutkan oleh T ialah ...
A.  (-10, 2)
B.  (-2, -10)
C.  (10, 2)
D.  (-10, -2)
E.  (2, 10)

Pembahasan :
\(\mathrm{M}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\)

\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
2 & 3\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)

Bayangan titik A(2, -8) oleh transformasi M dan dilanjutkan T ialah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
2 & 3\\
 0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{2}\\ \mathrm{-8}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-3 & -2\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{2}\\ \mathrm{-8}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
10\\ 2

\end{bmatrix}\)

Jadi, bayangan titik A ialah : (10, 2)

Jawaban : C


UN 2012
Bayangan kurva y = x² + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi sentra O(0, 0) dan faktor skala 3 ialah ...
A.  x² + 9x − 3y + 27 = 0
B.  x² + 9x + 3y + 27 = 0
C.  3x² + 9x − y + 27 = 0
D.  3x² + 9x + y + 27 = 0
E.  3x² + 9x + 27 = 0

Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}}\)  dan  \(\mathrm{T_{2}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}}\)

\(\mathrm{T=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix}\)

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x'}\\ \mathrm{y'}

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{3x}\\ \mathrm{-3y}

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = 3x  ↔  x = \(\frac{1}{3}\)x'
y' = -3y  ↔  y = \(-\frac{1}{3}\)y'

Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
y = x² + 3x + 3
⇒  (\(-\frac{1}{3}\)y') = (\(\frac{1}{3}\)x')² + 3(\(\frac{1}{3}\)x') + 3
⇔  \(-\frac{1}{3}\)y' = \(\frac{1}{9}\)(x')² + x' + 3   (kali 9)
⇔  -3y' = (x')² + 9x' + 27 = 0
⇔  (x')² + 9x' + 3y' + 27 = 0

Jadi, persamaan bayangan kurva ialah :
x² + 9x + 3y + 27 = 0

Jawaban : B


UN 2009
Diketahui \(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
a\\ 2

\end{bmatrix}\) dan \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
3\\ b

\end{bmatrix}\). Titik A' dan B' berturut-turut ialah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T₁ o T₂. Jika A(-1, 2), A'(1, 11) dan B'(12, 13), maka koordinat titik B ialah ...
A.  (9, 4)
B.  (10, 4)
C.  (14, 4)
D.  (10, -4)
E.  (14, -4)

Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}\,o\,T_{2}}=\begin{bmatrix}
3\\ \mathrm{b}

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathrm{a}\\ 2

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3+\mathrm{a}\\ \mathrm{b}+2

\end{bmatrix}\)

Untuk titik A :
\(\begin{bmatrix}
1\\ 11

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 2

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
3+\mathrm{a}\\ 2+\mathrm{b}

\end{bmatrix}\)

Diperoleh :
1 = 2 + a  ↔  a = -1
11 = 4 + b  ↔  b = 7

Untuk titik B :
\(\begin{bmatrix}
12\\ 13

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
3+(-1)\\ 2+7

\end{bmatrix}\)

Diperoleh :
12 = x + 2  ↔ x = 10
13 = y + 9  ↔ y = 4

Jadi, koordinat titik B ialah (10, 4)

Jawaban : B


UN 2009
Titik A'(3, 4) dan B'(1, 6) ialah bayangan titik A(2, 3) dan B(-4, 1) oleh transformasi \(\mathrm{T_{1}=\begin{bmatrix}
\mathrm{a} & \mathrm{b}\\
0 & 1
\end{bmatrix}}\) yang diteruskan \(\mathrm{T_{2}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}}\). Bila koordinat peta titik C oleh transformasi T₂ o T₁ adalah C'(-5, -6), maka koordinat titik C ialah ...
A.  (4, 5)
B.  (4, -5)
C.  (-4, -5)
D.  (-5, 4)
E.  (5, 4)

Pembahasan :
\(\mathrm{T_{2}\,o\,T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{a} & \mathrm{b}\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\)

Untuk titik A :
\(\begin{bmatrix}
3\\ 4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
3\\ 4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ \mathrm{-2a-3b+3}

\end{bmatrix}\)

Diperoleh persamaan :
4 = −2a −3b + 3  ⇔  2a + 3b = −1  ........(1)

Untuk titik B :
\(\begin{bmatrix}
1\\ 6

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 1

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
1\\ 6

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ \mathrm{4a-b+1}

\end{bmatrix}\)

Diperoleh persamaan :
6 = 4a − b + 1  ⇔  4a − b = 5  ..........(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh :
a = 1
b = -1

Sehingga :
\(\mathrm{T_{2}\,o\,T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\)

Untuk titik C :
\(\begin{bmatrix}
-5\\ -6

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
-5\\ -6

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{y}\\ \mathrm{-x+2y}

\end{bmatrix}\)

Diperoleh :
y = -5
-x + 2y = -6
-x + 2(-5) = -6
⇒ x = -4

Jadi, koordinat titik C ialah (-4, -5)

Jawaban : C