Pembahasan Soal Ujian Nasional Turunan Fungsi

Turunan fungsi, limit fungsi, dan integral ialah tiga topik matematika yang selalu keluar dalam ujian nasional. Ketiga topik tersebut biasanya berada pada nomor yang berdekatan. Untuk turunan fungsi, model soal yang sering keluar antaralain memilih turunan pertama (y') dari suatu fungsi trigonometri, memilih turunan pertama fungsi aljabar, dan memilih nilai dari turunan pertama suatu fungsi kalau variabel bebasnya ditentukan.

Bentuk fungsi yang sering dipakai dalam soal ujian nasional yakni bentuk perkalian dan sumbangan dua fungsi, konsep hukum rantai, dan garis singgung kurva. Berikut beberapa soal ujian nasional terkena turunan fungsi yang pernah keluar.

Soal 1

Turunan pertama dari fungsi di bawah ini yakni ....

y =	sin x
	sin x + cos x

A. y' =	cos x
	(sin x + cos x)2

B. y' =	1
	(sin x + cos x)2

C. y' =	2
	(sin x + cos x)2

D. y' =	sin x − cos x
	(sin x + cos x)2

E. y' =	2 sin x cos x
	(sin x + cos x)2

Pembahasan :
Gunakan konsep turunan sumbangan dua fungsi :

y' =	dy	=	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	dx		v2(x)

Misalkan :
u = sin x, maka u' = cos x
v = sin x + cos x, maka v' = cos x - sin x.

melaluiataubersamaini rumus di atas diperoleh :

y' =	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	v2(x)

y' =	cos x.(sin x + cos x) − sin x (cos x - sin x)
	(sin x + cos x)2

y' =	sin x cos x + cos2 x − sin x cos x + sin2 x
	(sin x + cos x)2

y' =	cos2 x + sin2 x
	(sin x + cos x)2

y' =

1

(sin x + cos x)²
Jawaban : B.


Soal 2
Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka nilai f(0) + 2 f '(0) = .....

f(x) =	x2 + 3
	2x + 1

A. -10	C. -7	E. -3
B. -9	D. -5

Pembahasan :

f(0) =

(0)2 + 3

2(0) + 1

f(0) =

3

1
f(0) = 3

Sekarang kita cari turunannya, misalkan :
u = x² + 3, maka u' = 2x
v = 2x + 1, maka v' = 2.

melaluiataubersamaini rumus di atas diperoleh :

f '(x) =	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	v2(x)

f '(x) =	2x.(2x + 1) − (x2 + 3)(2)
	(2x + 1)2

f '(x) =	4x2 + 2x − 2x2 − 6
	(2x + 1)2

f '(x) =	2x2 + 2x − 6
	(2x + 1)2

f '(0) =

2(0)2 + 2(0) − 6

(2.0 + 1)²
f '(0) = -6

melaluiataubersamaini demikian diperoleh :
f(0) + 2 f '(0) = 3 + 2(-6) = -9
Jawaban : B.


Soal 3
Jika f(x) = sin² (2x + ^π⁄₆), maka nilai dari f '(0) yakni ....

A. 2√3	C. √3	E. ½√2
B. 2	D. ½√3

Pembahasan :
Gunakan rumus hukum rantai turunan trigonometri :

f '(x) = c.n sinn-1 g(x). cos g(x).g '(x)

Dari soal dik :
c = 1, n = 2.
g(x) = 2x + ^π⁄₆, maka g'(x) = 2.

melaluiataubersamaini demikian diperoleh :
f '(x) = c.n sin^n-1 g(x). cos g(x).g '(x) 
f '(x) = 1.2 sin^2-1 (2x + ^π⁄₆). cos (2x + ^π⁄₆).(2)
f '(x) = 4 sin (2x + ^π⁄₆). cos (2x + ^π⁄₆)
f '(0) = 4 sin (2.0 + ^π⁄₆). cos (2.0 + ^π⁄₆)
f '(0) = 4 sin (^π⁄₆). cos (^π⁄₆)
f '(0) = 4 (½) (½√3)
f '(0) = √3.
Jawaban : C.

Soal 4

Turunan pertama dari f(x) = sin⁴ (3x² − 2) yakni ....

A. 2 sin² (3x² − 2) sin (6x² − 4)
B. 12x sin² (3x² − 2) sin (6x² − 4)
C. 12x sin² (3x² − 2) cos (6x² − 4)
D. 24x sin³ (3x² − 2) cos² (3x² − 2)
E. 24x sin³ (3x² − 2) cos (3x² − 2)

Pembahasan :

Dari soal diketahui :
c = 1, n = 4
g(x) = 3x² − 2 , g'(x) = 6x.

melaluiataubersamaini demikian diperoleh :
f '(x) = c.n sin^n-1 g(x). cos g(x).g '(x) 
f '(x) = 1.4 sin^4-1 (3x² − 2). cos (3x² − 2).(6x)
f '(x) = 24x sin³ (3x² − 2). cos (3x² − 2)
Jawaban : E