Ujian Nasional Matematika - Dimensi Tiga. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang dimensi tiga atau berdiri ruang. Biasanya, ada dua soal tentang berdiri ruang yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal dimensi tiga yang paling sering muncul yaitu memilih jarak antara titik ke bidang pada kubus, memilih jarak titik ke garis, memilih jarak antar bidang dalam suatu berdiri ruang, dan memilih besar sudut yang dibuat oleh dua garis atau bidang.
Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC yaitu ...
8√3 cm
8√2 cm
4√6 cm
4√3 cm
4√2 cm
Pembahasan : Untuk memmenolong menuntaskan soal di atas, ada baiknya kalau kita menggambar sebuah kubus sebagai acuan. Berikut ilustrasi untuk kubus ABCD.EFGH :
Dari gambar di bawah, sanggup dilihat bahwa jarak titik H dan garis AC kita misalkan HO. Selanjutnya perhatikan segitga DOH (daerah yang diwarnai pada gambar).
Segitiga DOH ialah segitigu siku-siku dengan siku berada di titik D. Panjang garis DH diketahui 8 cm, sedangkan panjang garis DO yaitu setengah dari panjang garis DB.
Ingat bahwa pada kubus, pajang diagonal bidang dan diagonal sisinya yaitu :
Diagonal ruang = panjang rusuk√3
Diagonal sisi = panjang rusuk√2
Karena DB ialah diagonal bidang, maka panjang garis DO yaitu : ⇒ DO = ½DB ⇒ DO = ½ (8√2) ⇒ DO = 4√2 cm
Nah, kini dari segitiga DOH sudah diketahui dua sisinya, dengan demikian panjang garis HO sanggup kita cari dengan memanfaatkan dalil phytagoras sebagai diberikut : ⇒ HO = √DH2 + DO2 ⇒ HO = √82 + (4√2)2 ⇒ HO = √64 + 32 ⇒ HO = √96 ⇒ HO = √16 x 6 ⇒ HO = 4√6 cm Jadi, jarak titik H ke garis AC yaitu 4√6 cm.
Jawaban : C
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang ganjal ABCD yaitu α, maka sin α yaitu ...
½√3
½√2
⅓√3
½
⅓√2
Pembahasan : Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!
AG ialah diagonal ruang. Bidang ganjal ABCD sanggup diwakili dengan diagonal sisi AC. Sudut antara AG dan AC yaitu α ibarat terlihat pada gambar di atas.
Selanjutnya perhatikan segitiga AGC. Jika kita lihat, segitiga tersebut ialah segitiga siku-siku dengan siku di titik c. Panjang CG sama dengan panjang rusuk yaitu 6 cm.
Karena AG ialah diagonal ruang dan AC yaitu diagonal sisi, maka panjang masing-masing diagonal tersebut yaitu : ⇒ AG = panjang rusuk√3 = 6√3 cm ⇒ AC = panjang rusuk√2 = 2√2 cm
melaluiataubersamaini memakai konsep trigonometri, maka berlaku :
⇒ sin α =
sisi depan
sisi miring
⇒ sin α =
CG
AG
⇒ sin α =
6
6√3
⇒ sin α = ⅓√3
Jawaban : C
Perhatikan gambar kubus di bawah ini!
Jarak bidang ACH dan EGB yaitu ...
4√3 cm
2√3 cm
4 cm
6 cm
12 cm
Pembahasan : Berikut digambarkan bidang ACH dan EGB. Pada gambar, jarak antara ACH dan EGB sanggup diwakilkan oleh garis PQ.
Dari gambar di atas, coba perhatikan bidang BOHP. Bidang BOHP ialah jajargenjang dengan ganjal HO dan tinggi PQ. Jadi, kita sanggup memilih jarak antara ACH dan EGB dengan mencari tahu tinggi PQ.
Untuk mengetahui tinggi PQ, maka kita harus tahu dulu luas jajargenjang dan panjang alasnya yaitu panjang HO.
Untuk mengetahu panjang HO, perhatikan segitiga HDO. Dari segitiga HDO diketahui DH = 6√3 cm. Panjang DO yaitu setengah dari panjang DB : ⇒ DO = ½DB ⇒ DO = ½ (6√3.√2) ⇒ DO = ½ (6√6) ⇒ DO = 3√6 cm
melaluiataubersamaini demikian panjang HO yaitu : ⇒ HO = √DH2 + DO2 ⇒ HO = √(6√3)2 + (3√6)2 ⇒ HO = √108 + 54 ⇒ HO = √162 ⇒ HO = √81 x 2 ⇒ HO = 9√2 cm
Selanjutnya perhatikan bidang BDHF. Bidang BDHF terdiri dari segitiga ODH, segitiga BFP dan jajargenjang BOHP. melaluiataubersamaini demikian berlaku : ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF - luas ODH - luas BFP
Karena luas segitiga ODH sama dengan luas segitiga BFP, maka : ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF - 2 luas ODH ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) - 2(½ DO x DH) ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) - (DO x DH) ⇒ Luas BOHP = DH (DB - DO) ⇒ Luas BOHP = 6√3(6√6 - 3√6) ⇒ Luas BOHP = 6√3(3√6) ⇒ Luas BOHP = 18√18 ⇒ Luas BOHP = 54√2 cm
Nah, kini kita sudah sanggup menghitung tinggi jajargenjangnya, yaitu : ⇒ Luas BOHP = 54√2 ⇒ ganjal x tinggi = 54√2 ⇒ HO x PQ = 54√2 ⇒ 9√2 PQ = 54√2 ⇒ PQ = 6 cm Jadi, jarak antara bidang ACH dan EGB yaitu 6 cm.
Jawaban : D
Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibuat oleh garis BG dengan bidang BDHF yaitu ....
90o
60o
45o
30o
15o
Pembahasan : Perhatikan gambar di bawah ini!
Pada gambar di atas, titik P ialah proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB yaitu proyeksi garis GB pada bidang BDHF.
melaluiataubersamaini demikian, sudut antara BG dan BDHF akan sama dengan sudut antara GB dan PB. Dalam gambar sudut tersebut dimisalkan θ.
Selanjutnya perhatikan segitiga GPB. Segitiga GPB ialah segitiga siku-siku dengan siku di titik P. Sesuai dengan konsep trigonometri, maka berlaku :
⇒ sin θ =
sisi depan
sisi miring
⇒ sin θ =
GP
GB
⇒ sin θ =
½ diagonal sisi GE
panjang rusuk√2
⇒ sin θ =
½ (panjang rusuk √2)
panjang rusuk√2
⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30o
Jawaban : D
Balok ABDC.EFGH dengan panjang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α yaitu sudut antar PQ dan ABCD, maka tan α yaitu ...
½√5
1/10 √5
½√10
1/7 √14
1/7 √35
Pembahasan : Perhatikan gambar di bawah ini !
Dari segitiga POT. Dari segitiga POT diperoleh panjang PT sebagai diberikut : ⇒ PT = √PO2 + OT2 ⇒ PT = √32 + 12 ⇒ PT = √9 + 1 ⇒ PT = √10 cm
Perhatikan segitiga PTQ. melaluiataubersamaini konsep trigonometri :
Posted by 
Emoticon