Pembahasan Sbmptn Matematika Deret Geometri Tak Hingga

1. Jumlah suatu deret geometri tak sampai dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 yakni S. Jika suku pertama menjadi 2a dan rasio bermetamorfosis (2 - r)r, maka jumlahnya menjadi ......

   A. 2S(1 - 1⁄r)

   B. 2S⁄(1-r)

   C. 2S(1⁄r - r)

   D. 2S(1⁄r - 1)

   E. (S-1)⁄r

   
   Pembahasan :
   Sesuai dengan konsep deret geometri, jumlah deret geometri tak sampai sanggup dihitung dengan rumus diberikut :
   

   S∞ = a 1 − r

   
   melaluiataubersamaini :
   S∞ = jumlah deret geometri tak hingga.
   a = suku pertama deret geometri
   r = rasio deret geometri.
   
   Pada soal diketahui sebuah deret geometri tak sampai dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah S, maka berlaku :
   

   ⇒ S =	a
   	1 − r

   ⇒ a = S(1 − r)
   
   Pada deret geometri tak sampai yang gres diketahui perubahan sebagai diberikut :
   ⇒ a' = 2a
   ⇒ r' = (2 − r)r
   
   melaluiataubersamaini rumus yang sama maka kita peroleh :
   

   ⇒ S' =	a'
   	1 − r'

   ⇒ S' =	2a
   	1 − (2 − r)r

   ⇒ S' =	2.S(1 − r)
   	1 − (2r − r2)

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	1 − 2r + r2

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	(1 − r)(1 − r)

   ⇒ S' =	2S
   	(1 − r)

   Jawaban : B

2. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki kedua dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3 dan ke-4, dan seterusnya masing-masing dibentuk dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga tersebut yakni .....

   A. 8a2	D. 2a2
   B. 4a2	E. a2
   C. 3a2

Pembahasan : 
Berdasarkan keterangan dalam soal, maka bagan untuk segitiga sama kaki terlihat ibarat gambar di atas. Jika luas segitiga pertama yakni L, maka luas segitiga kedua yakni ½L, dan luas segitiga ketiga yakni ¼L.

Luas masing-masing segitiga membentuk deret geometri dengan rasio ½. Nilai tersebut kita peroleh dari rumus diberikut ini :

⇒ r =	L2	=	L3
	L1		L2

⇒ r =	½L	=	¼L
	L		½L

⇒ r = ½

Luas seluruh segitiga, ialah jumlah deret geometri tak sampai sehingga sanggup kita hitung dengan rumus yang sama ibarat pada soal nomor 1, sebagai diberikut :

⇒ S =	a
	1 - r

⇒ S =	L
	1 - ½

⇒ S =	L
	½

⇒ S = 2L

Seperti yang kita ketahui, luas segitiga ialah setengah ganjal dikali tingginya. Karena segitiga pada soal ialah segitiga siku-siku sama kaki maka panjang ganjal dan tingginya sama yaitu a. Sehingga kita peroleh :
⇒ S = 2L
⇒ S = 2 (½.a.a)
⇒ S = 2a²

Jawaban : E

3. Diketahui sebuah segitiga OP₁P₂ dengan sudut siku-siku pada P₂ dan sudut puncak 30^o pada O. melaluiataubersamaini OP₂ sebagai sisi miring dibentuk pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan sudut puncak P₂OP₃ sbesar 30^o. Selanjutnya dibentuk pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan OP₃ sebagai sisi miring dan sudut puncak P₃OP₄ sebesar 30^o. Proses ini dilanjutkan terus-menerus. Jika OP₁ = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga yakni ....

   A. 64√3	D. 256
   B. 128	E. 256√3
   C. 128√3

Pembahasan :
Berdasarkan uraian dalam soal, maka segitiga-segitiga tersebut kurang lebih ibarat gambar di atas. Karena proses berlanjut terus menerus dengan teladan yang sama, maka luas segitiga tersebut membentuk deret geometri tak hingga.

Untuk mengetahui luas segitiga seluruhnya, maka kita harus mengetahui luas segitiga pertama dan rasionya. Karena OP₁ = 16, maka panjang sisi P₁P₂ sanggup dihitung dengan memakai konsep trigonometri, sebagai diberikut :

⇒ sin 30o =	P1P2
	OP1

⇒ P₁P₂ = OP₁ sin 30^o
⇒ P₁P₂ = 16. ½
⇒ P₁P₂ = 8

Selanjutnya dengan cara yang sama kita sanggup memilih panjang sisi OP₂ sebagai diberikut :

⇒ cos 30o =	OP2
	OP1

⇒ OP₂ = OP₁ cos 30^o
⇒ OP₂ = 16. ½√3
⇒ OP₂ = 8√3

melaluiataubersamaini demikian luas segitiga pertama yakni :
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½. P₁P₂. OP₂
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½ (8) (8√3)
⇒ L Δ OP₁P₂ = 32√3

Segitiga kedua yakni Δ OP₂P₃. Untuk mengetahui luasnya, kita harus mencari ganjal dan tingginya terlebih lampau dengan konsep trigonometri.

⇒ sin 30o =	P2P3
	OP2

⇒ P₂P₃ = OP₂ sin 30^o
⇒ P₂P₃ = 8√3. ½
⇒ P₂P₃ = 4√3

Selanjutnya dengan cara yang sama kita sanggup memilih panjang sisi OP₃ sebagai diberikut :

⇒ cos 30o =	OP3
	OP2

⇒ OP₃ = OP₂ cos 30^o
⇒ OP₃ = 8√3. ½√3
⇒ OP₃ = 12

melaluiataubersamaini demikian, luas segitiga kedua yakni :
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½. P₂P₃. OP₃
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½ (4√3) (12)
⇒ L Δ OP₂P₃ = 24√3

Selanjutnya kita sanggup memilih rasio deret geometrinya :

⇒ r =	L Δ OP2P3
	L Δ OP1P2

⇒ r =	24√3
	32√3

⇒ r = ¾

Karena suku pertama dan rasionya sudah kita peroleh, maka jumlah luas segitiga sanggup kita tentukan dengan rumus jumlah deret geometri tak sampai sebagai diberikut :

⇒ L∞ =	L Δ OP1P2
	1 - r

⇒ L∞ =	32√3
	1 - ¾

⇒ L∞ =	32√3
	¼

⇒ L∞ = 128√3

Jawaban : C