Posted by Sebelum lebih jauh mengulas bangun-bangun pada geometri bidang, akan diuraikan dulu pengertian titik, garis dan bidang dalam konsep geometri.
Titik sanggup dibayangkan menyerupai bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol. Titik ditetapkan dengan satu abjad besar (misalnya A, B, C dan sebagainya), dan alasannya tidak mempunyai ukuran maka titik dikatakan berdimensi nol.
Garis sanggup dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus memanjang ke dua arah. Garis dinotasikan dengan abjad non-kapital (misalnya g, h, l dan sebagainya). Bidang sanggup dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tampa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas.
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa definisi yang bekerjasama dengan titik, garis dan bidang, yakni:
1. Ruas garis (segmen).
Ruas garis AB ialah himpunan titik A, B dan tiruana titik diantara A dan B yang kolinier dengan garis melalui kedua titik tersebut.
2. Sinar (Ray).
Sinar AB ialah himpunan tiruana titik pada ruas garis AB dan tiruana titik X yang segaris dengan A dan B sedemikian sampai B terletak diantara A dan X. Selanjutnya A dinamakan sebagai titik awal.
3. Sudut.
Sudut yaitu campuran dua sinar yang bersekutu dititik awalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik awal komplotan dinamakan sebagai titik sudut..
Sesudah mengetahui konsep-konsep dasar dalam geometri, diberikut akan diuraikan konsep berdiri geometri pada bidang.
Pada geometri bidang, berdiri segibanyak (poligon ) ialah berdiri datar tertutup yang sisi-sisinya berupa ruas garis, dan setiap ruas garis spesialuntuk berpotongan pada ujung-ujungnya.,
Pada ilustrasi di atas, gambar 1, 2, 3 dan 4 ialah poligon. Gambar 1 dan 2 disebut poligon konveks. Suatu berdiri geometri dikatakan konveks kalau setiap mengambil dua titik didalam poligon, maka seluruh ruas garis yang menghubungkannya berada di dalam berdiri tersebut. Sementara itu gambar 3 dan 4 ialah poligon konkaf. Dikatakan konkaf kalau ada dua titik di dalam bangun, yang kalau dihubungkan, maka terdapat pecahan ruas garis yang berada di luar bangun. Gambar 5 dan 6 bukan poligon alasannya mempunyai sisi yang bukan ruas garis.
Pada pecahan ini akan diuraikan lebih lanjut beberapa berdiri dalam geometri bidang, yakni segi tiga, segi empat dan lingkaran
1. Segi tiga.
Segitiga yaitu polygon dengan tiga sisi (dilambangkan dengan Δ ) dan ialah campuran tiga ruas garis yang ujung-ujungnya ditentukan oleh tiga titik tidak segaris. Ruas-ruas garis tersebut dinamakan sebagai sisi, sedangkan ketiga ujungnya dinamakan sebagai titik sudut.
Ketiga sisi pada segitiga tersebut harus memenuhi syarat ketaksamaan segitiga, yakni: Jika a, b dan c yaitu sisi-sisi pada segitiga ABC, maka haruslah berlaku: a + b > c dan a + c > b dan b + c > a.
Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3 jenis, yaitu :
(1) Segitiga lancip, yakni segitiga yang tiruana sudutnya kurang dari 90o
(2) Segitiga siku-siku yakni segitiga yang salah satu sudutnya 90o
(3) Segitiga tumpul yakni segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90o.
Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi :
(1) segitiga samakaki yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(2) segitiga samasisi yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(3) Segitiga sembarang, yakni segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang.
Dapat juga dikatakan, dua segitiga kongruen kalau keenam unsur segitiga pertama kongruen dengan enam unsur yang bersesuaian pada segitiga yang kedua
Beberapa dalil dalam segitiga sanggup diuraikan sebagai diberikut :
Dalil 1
Dua segitiga kongruen kalau ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang
misal untuk dalil ini adalah:
Pada gambar diberikut, AB dan CD saling membagi dua sama panjang di titik M. Jika AC = DB buktikan bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Bukti:
Diketahui AB dan CD saling membagi dua sama panjang di M maka AM = BM dan CM = DM. Sementara itu diketahui bahwa AC = BD. melaluiataubersamaini demikian
berdasarkan postulat I kekongruenan, alasannya ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka terbukti bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Dalil 2.
Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga sama dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen
misal untuk dalil ini yaitu pada segitiga ABC disamping, dimana BM tegak lurus AC, dan M titik tengah AC. Maka ΔAMB ≅ ΔCMB
Bukti pola ini adalah:
Diketahui M titik tengah AC, sehingga AM = CM dan AC tegak lurus BM. sehingga <AMB = <CMB = 90o.
Perhatikan segitiga AMB dan CMB, sisi MB dipakai pada kedua segitiga, sehingga MB = MB. Dari kedua segitiga di atas dipenuhi AM = CM, <AMB = <CMB , MB = MB sehingga, berdasarkan dalil kekongruenan diatas terbukti bahwa ΔAMB ≅ ΔCMB
Dalil 3.
Jika dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga sama dengan dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
misal untuk dalil ini yaitu pada gambar segitiga ABC dan segitiga PQR diatas, dimana <A = <P, <C = <Q dan sisi AC = PQ maka berdasarkan dalil diatas berlaku ΔABC ≅ ΔPQR
Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (dilambangkan ΔABC ΔPQR), kalau ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : <A = <P, <B = <Q dan <C = <R. Sehingga ΔABC ΔPQR
Suatu konsep yang berkaitan erat dengan kesebangunan yaitu proporsi. Sifat proporsional pada segitiga ditunjukkan dengan dalil diberikut ini.
Dalil 4.
Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.
Pada sebuah segitiga ABC, ditarik garis PQ sejajar AC. Jika garis PQ membagi BA dan BC sehingga panjang ruas garis yang bersesuaian pada setiap sisi mempunyai perbandingan yang sama, yakni :
Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai diberikut :
a. Garis sumbu suatu segitiga
Garis sumbu segitiga ialah garis bagi tegak lurus setiap sisi segitiga tersebut.
Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik.
b. Garis tinggi suatu segitiga
Garis tinggi suatu segitiga ialah garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut. Karena segitiga mempunyai tiga titik sudut yang sanggup dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah.
Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter.
c. Garis berat suatu segitiga
Garis berat yaitu garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di depannya. Karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini ialah sentra kesetimbangan segitiga.
Jika sebuah segitiga digantungkan sempurna pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.
d. Garis bagi sudut suatu segitiga
Garis bagi sudut segitiga yaitu garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga sehingga menjadi dua pecahan yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini ialah titik sentra bundar dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung tiruana sisinya).
Berikut ini akan didiberikan beberapa pola soal yang berkaitan dengan segi-tiga dan segi-empat yakni sebagai diberikut:
2. Segi-empat
segiempat sanggup didefinisikan sebagai poligon dengan empat sisi. Ada terdapat beberapa macam segi-empat, yakni sebagai diberikut:
a. Jajar genjang (parallelogram)
Jajar genjang ialah segi empat yang dua pasang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Segi empat ABCD di samping ialah jajar genjang alasannya AB sejajar DC dan AD sejajar BC
Pada jajar genjang ABCD, kalau sisi AB dianggap sebagai alas, maka tinggi jajar genjang yaitu DP, yakni jarak suatu titik pada sisi AB ke garis yang memuat sisi DC. Seperti halnya dalam segitiga, tinggi suatu jajar genjang tidak selalu harus dalam posisi vertikal.
Jajar genjang mempunyai sifat-sifat:
1) Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga kongruen.
2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.
4). Sudut-sudut yang berdekatan saling berpelurus
5). Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
6) Luas jajar genjang dirumuskan : L = ganjal x tinggi
b. Persegi panjang
Persegi panjang yaitu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Berikut sifat-sifat persegi panjang:
1) Karena persegi panjang ialah jajar genjang, maka tiruana sifat jajar genjang dimiliki oleh persegi panjang.
2) Keempat sudutnya sama besar (equiangular) dan berupa sudut siku-siku.
3) Diagonal persegi panjang sama panjang.
4) Luas persegi panjang dirumuskan :
Luas = panjang x lebar = AB x AD
c. Belah ketupat (rhombus)
Belah ketupat ialah jajar genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena belah ketupat ialah jajar genjang, maka tiruana sifat jajar genjang menjadi sifat belah ketupat.
Berikut ini beberapa sifat khusus belah ketupat.
1) Belah ketupat mempunyai tiruana sifat jajar genjang.
2) Semua sisi belah ketupat mempunyai panjang yang sama (equilateral).
3) Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
4) Diagonal-diagonal belah ketupat membagi dua sama besar sudut belah ketupat.
5) Luas belah ketupat dirumuskan :
L = ganjal x tinggi = AB x PD atau
L = ½ (diagonal1 x diagonal2) = ½ (AC x BD)
d. Persegi (square)
Persegi ialah persegi panjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena persegi ialah kasus khusus dari persegi panjang dan persegi panjang ialah kasus khusus dari jajar genjang maka persegi mempunyai tiruana sifat persegi panjang dan sekaligus mempunyai tiruana sifat jajar genjang.
Karena persegi mempunyai dua sisi berdekatan yang sama panjang, maka persegi ialah belah ketupat sehingga tiruana sifat belah ketupat juga dimiliki oleh persegi.
Persegi mempunyai tiruana sifat jajargenjang, persegi panjang, dan belah ketupat.
e. Trapesium (trapezoid/trapezium)
trapesium ialah segi empat yang mempunyai sempurna sepasang sisi yang sejajar.
Jika AB sejajar CD dan AD tidak sejajar BC, maka segi empat ABCD ialah trapesium.
Sisi AB dan CD disebut sisi-sisi sejajar atau sering juga disebut sisi ganjal (bases). Pasangan sisi yang tidak sejajar AD dan BC dinamakan kaki-kaki trapesium. Pasangan sudut yang memakai satu sisi sejajar sebagai kaki sudut bersama dinamakan pasangan sudut alas.
Trapesium sama kaki yaitu trapesium yang kaki-kakinya sama panjang (AD = BC)
Sifat-sifat trapesium:
1) Masing-masing pasangan sudut berdekatan di antara dua sisi sejajar suatu trapesium saling berpelurus.
2) Pasangan sudut ganjal suatu trapesium samakaki sama besar.
3) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki sama panjang.
4) Luas trapezium dirumuskan :
L = ½ (jumlah sisi-sisi sejajar x tinggi) = ½ (AB + DC)PD
g. Layang-layang (kite)
Layang-layang yaitu segi empat konveks yang mempunyai dua pasang sisi berdekatan yang kongruen, pasangan sisi kongruen yang satu tidak sama dengan pasangan sisi kongruen yang lain.
Pada layang-layang diatas, diagonal BD membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen. Diagonal AC membagi layang-layang menjadi dua segitiga samakaki yang tidak kongruen. <D dan <B yang dibuat oleh dua sisi yang kongruen dinamakan sebagai sudut puncak (vertex angles) sedangkan <A dan <C yaitu sudut bukan puncak (non vertex angles).
Layang-layang mempunyai sifat:
1) Kedua sudut bukan puncak suatu layang-layang besarnya sama.
2) Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.
3) Salah satu diagonal ialah garis bagi diagonal yang lain.
4) Sudut puncak suatu layang-layang dibagi dua sama besar oleh diagonal yang melalui titik puncak.
Berikut ini akan didiberikan beberapa pola soal wacana segi-empat
3. Lingkaran
Lingkaran ialah kawasan yang dibatasi oleh titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut sebagai sentra lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada bundar ke sentra dinamakan jari-jari. Istilah jari-jari juga sanggup dipakai untuk menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan sentra bundar dengan titik pada lingkaran.
Pada gambar di atas, garis lengkung BCD disebut busur pendek atau busur kecil, sedangkan garis lengkung BFD disebut busur panjang atau busur besar. Selanjutnya kalau disebutkan busur BD maka yang dimaksud yaitu busur pendek. Tali busur ialah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Pada gambar, BF ialah tali busur. Talibusur yang melalui sentra bundar dinamakan diameter.
Apotema suatu bundar ialah ruas garis yang menghubungkan sentra bundar ke titik tengah tali busur. Istilah apotema sanggup dipakai untuk menyatakan panjangnya. Sebagai pola pada gambar di atas, ruas garis PQ, ataupun panjang PQ sanggup disebut sebagai apotema. Apotema tegak lurus tali busur BF yang bersesuaian.
Tembereng ialah kawasan yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya. Juring bundar ialah kawasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur. Perhatikan pada gambar di atas, pecahan DPE yang diarsir ialah juring kecil , dan pecahan yang diarsir ABF ialah tembereng lingkaran.
Untuk setiap bundar perbandingan dari keliling dan diameter selalu bernilai tetap yaitu mendekati 3,14. Nilai ini disebut sebagai Ï€ (dibaca “pi”). Sehingga berlaku :
maka diperoleh rumus Keliling bundar = 2 πr
Selanjutnya pada bundar berlaku pula perbandingan :
Luas bundar sanggup dirumuskan sebagai :
L = π r2
melaluiataubersamaini r yaitu panjang jari-jari lingkaran.
Pada gambar di atas titik P yaitu sentra lingkaran, dan titik A, B, C, D, dan E terletak pada lingkaran. <CPD disebut sebagai sudut sentra dan <BAE dinamakan sudut keliling.
Perhatikan gambar di atas, <BPC ialah sudut pusat, dan <BAC ialah sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur BC).
Panjang AP = BP = CP, sehingga ΔAPB dan ΔAPC sama kaki serta berlaku <BAP = <ABP dan <CAP = <ACP.
Karena jumlah sudut segitiga 1800 maka pada ΔAPB berlaku <BPA = 180o – 2<BAP dan ΔAPC berlaku <APC = 180o – 2<CAP .
Sehingga :
<BPC = 360o – <BPA – <APC
<BPC = 360o – (180o – 2<BAP) – (180o – 2<CAP)
<BPC = 2(<BAP + CAP)
<BPC = 2<BAC
Kaprikornus besar sudut sentra sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Dari sifat ini sanggup diturunkan sifat bahwa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, akan selalu sama besar.
Sebagai bukti akan diperlihatkan pada gambar diberikut :
Pada gambar bundar di atas, berlaku :
<BPC = 2<BDC ………. (1)
<BPC = 2<BAC ………..(2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa
<BAC = <BDC
Garis singgung bundar yaitu garis yang memotong bundar sempurna di satu titik..
Garis singgung ini tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgungnya.
Selanjutnya akan didiberikan contoh-contoh soal wacana lingkaran, yakni sebagai diberikut:
Titik sanggup dibayangkan menyerupai bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol. Titik ditetapkan dengan satu abjad besar (misalnya A, B, C dan sebagainya), dan alasannya tidak mempunyai ukuran maka titik dikatakan berdimensi nol.
Garis sanggup dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus memanjang ke dua arah. Garis dinotasikan dengan abjad non-kapital (misalnya g, h, l dan sebagainya). Bidang sanggup dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tampa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas.
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa definisi yang bekerjasama dengan titik, garis dan bidang, yakni:
1. Ruas garis (segmen).
Ruas garis AB ialah himpunan titik A, B dan tiruana titik diantara A dan B yang kolinier dengan garis melalui kedua titik tersebut.
Sinar AB ialah himpunan tiruana titik pada ruas garis AB dan tiruana titik X yang segaris dengan A dan B sedemikian sampai B terletak diantara A dan X. Selanjutnya A dinamakan sebagai titik awal.
Sudut yaitu campuran dua sinar yang bersekutu dititik awalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik awal komplotan dinamakan sebagai titik sudut..
Sesudah mengetahui konsep-konsep dasar dalam geometri, diberikut akan diuraikan konsep berdiri geometri pada bidang.
Pada geometri bidang, berdiri segibanyak (poligon ) ialah berdiri datar tertutup yang sisi-sisinya berupa ruas garis, dan setiap ruas garis spesialuntuk berpotongan pada ujung-ujungnya.,
Pada pecahan ini akan diuraikan lebih lanjut beberapa berdiri dalam geometri bidang, yakni segi tiga, segi empat dan lingkaran
1. Segi tiga.
Segitiga yaitu polygon dengan tiga sisi (dilambangkan dengan Δ ) dan ialah campuran tiga ruas garis yang ujung-ujungnya ditentukan oleh tiga titik tidak segaris. Ruas-ruas garis tersebut dinamakan sebagai sisi, sedangkan ketiga ujungnya dinamakan sebagai titik sudut.
Ketiga sisi pada segitiga tersebut harus memenuhi syarat ketaksamaan segitiga, yakni: Jika a, b dan c yaitu sisi-sisi pada segitiga ABC, maka haruslah berlaku: a + b > c dan a + c > b dan b + c > a.
Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3 jenis, yaitu :
(1) Segitiga lancip, yakni segitiga yang tiruana sudutnya kurang dari 90o
(2) Segitiga siku-siku yakni segitiga yang salah satu sudutnya 90o
(3) Segitiga tumpul yakni segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90o.
Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi :
(1) segitiga samakaki yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(2) segitiga samasisi yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(3) Segitiga sembarang, yakni segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang.
Beberapa dalil dalam segitiga sanggup diuraikan sebagai diberikut :
Dalil 1
Dua segitiga kongruen kalau ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang
misal untuk dalil ini adalah:
Pada gambar diberikut, AB dan CD saling membagi dua sama panjang di titik M. Jika AC = DB buktikan bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Bukti:
berdasarkan postulat I kekongruenan, alasannya ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka terbukti bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Dalil 2.
Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga sama dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen
misal untuk dalil ini yaitu pada segitiga ABC disamping, dimana BM tegak lurus AC, dan M titik tengah AC. Maka ΔAMB ≅ ΔCMB
Bukti pola ini adalah:
Perhatikan segitiga AMB dan CMB, sisi MB dipakai pada kedua segitiga, sehingga MB = MB. Dari kedua segitiga di atas dipenuhi AM = CM, <AMB = <CMB , MB = MB sehingga, berdasarkan dalil kekongruenan diatas terbukti bahwa ΔAMB ≅ ΔCMB
Dalil 3.
Jika dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga sama dengan dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (dilambangkan ΔABC ΔPQR), kalau ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : <A = <P, <B = <Q dan <C = <R. Sehingga ΔABC ΔPQR
Dalil 4.
Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.
Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai diberikut :
a. Garis sumbu suatu segitiga
Garis sumbu segitiga ialah garis bagi tegak lurus setiap sisi segitiga tersebut.
Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik.
b. Garis tinggi suatu segitiga
Garis tinggi suatu segitiga ialah garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut. Karena segitiga mempunyai tiga titik sudut yang sanggup dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah.
Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter.
c. Garis berat suatu segitiga
Garis berat yaitu garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di depannya. Karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini ialah sentra kesetimbangan segitiga.
Jika sebuah segitiga digantungkan sempurna pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.
Garis bagi sudut segitiga yaitu garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga sehingga menjadi dua pecahan yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini ialah titik sentra bundar dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung tiruana sisinya).
Berikut ini akan didiberikan beberapa pola soal yang berkaitan dengan segi-tiga dan segi-empat yakni sebagai diberikut:
2. Segi-empat
segiempat sanggup didefinisikan sebagai poligon dengan empat sisi. Ada terdapat beberapa macam segi-empat, yakni sebagai diberikut:
a. Jajar genjang (parallelogram)
Jajar genjang ialah segi empat yang dua pasang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Segi empat ABCD di samping ialah jajar genjang alasannya AB sejajar DC dan AD sejajar BC
Jajar genjang mempunyai sifat-sifat:
1) Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga kongruen.
2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.
4). Sudut-sudut yang berdekatan saling berpelurus
5). Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
6) Luas jajar genjang dirumuskan : L = ganjal x tinggi
b. Persegi panjang
Persegi panjang yaitu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
1) Karena persegi panjang ialah jajar genjang, maka tiruana sifat jajar genjang dimiliki oleh persegi panjang.
2) Keempat sudutnya sama besar (equiangular) dan berupa sudut siku-siku.
3) Diagonal persegi panjang sama panjang.
4) Luas persegi panjang dirumuskan :
Luas = panjang x lebar = AB x AD
c. Belah ketupat (rhombus)
Belah ketupat ialah jajar genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena belah ketupat ialah jajar genjang, maka tiruana sifat jajar genjang menjadi sifat belah ketupat.
1) Belah ketupat mempunyai tiruana sifat jajar genjang.
2) Semua sisi belah ketupat mempunyai panjang yang sama (equilateral).
3) Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
4) Diagonal-diagonal belah ketupat membagi dua sama besar sudut belah ketupat.
5) Luas belah ketupat dirumuskan :
L = ganjal x tinggi = AB x PD atau
L = ½ (diagonal1 x diagonal2) = ½ (AC x BD)
d. Persegi (square)
Persegi ialah persegi panjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena persegi ialah kasus khusus dari persegi panjang dan persegi panjang ialah kasus khusus dari jajar genjang maka persegi mempunyai tiruana sifat persegi panjang dan sekaligus mempunyai tiruana sifat jajar genjang.
Karena persegi mempunyai dua sisi berdekatan yang sama panjang, maka persegi ialah belah ketupat sehingga tiruana sifat belah ketupat juga dimiliki oleh persegi.
Persegi mempunyai tiruana sifat jajargenjang, persegi panjang, dan belah ketupat.
e. Trapesium (trapezoid/trapezium)
trapesium ialah segi empat yang mempunyai sempurna sepasang sisi yang sejajar.
Jika AB sejajar CD dan AD tidak sejajar BC, maka segi empat ABCD ialah trapesium.
Trapesium sama kaki yaitu trapesium yang kaki-kakinya sama panjang (AD = BC)
1) Masing-masing pasangan sudut berdekatan di antara dua sisi sejajar suatu trapesium saling berpelurus.
2) Pasangan sudut ganjal suatu trapesium samakaki sama besar.
3) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki sama panjang.
4) Luas trapezium dirumuskan :
L = ½ (jumlah sisi-sisi sejajar x tinggi) = ½ (AB + DC)PD
g. Layang-layang (kite)
Layang-layang yaitu segi empat konveks yang mempunyai dua pasang sisi berdekatan yang kongruen, pasangan sisi kongruen yang satu tidak sama dengan pasangan sisi kongruen yang lain.
Pada layang-layang diatas, diagonal BD membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen. Diagonal AC membagi layang-layang menjadi dua segitiga samakaki yang tidak kongruen. <D dan <B yang dibuat oleh dua sisi yang kongruen dinamakan sebagai sudut puncak (vertex angles) sedangkan <A dan <C yaitu sudut bukan puncak (non vertex angles).
1) Kedua sudut bukan puncak suatu layang-layang besarnya sama.
2) Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.
3) Salah satu diagonal ialah garis bagi diagonal yang lain.
4) Sudut puncak suatu layang-layang dibagi dua sama besar oleh diagonal yang melalui titik puncak.
Berikut ini akan didiberikan beberapa pola soal wacana segi-empat
3. Lingkaran
Lingkaran ialah kawasan yang dibatasi oleh titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut sebagai sentra lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada bundar ke sentra dinamakan jari-jari. Istilah jari-jari juga sanggup dipakai untuk menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan sentra bundar dengan titik pada lingkaran.
Apotema suatu bundar ialah ruas garis yang menghubungkan sentra bundar ke titik tengah tali busur. Istilah apotema sanggup dipakai untuk menyatakan panjangnya. Sebagai pola pada gambar di atas, ruas garis PQ, ataupun panjang PQ sanggup disebut sebagai apotema. Apotema tegak lurus tali busur BF yang bersesuaian.
Tembereng ialah kawasan yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya. Juring bundar ialah kawasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur. Perhatikan pada gambar di atas, pecahan DPE yang diarsir ialah juring kecil , dan pecahan yang diarsir ABF ialah tembereng lingkaran.
Untuk setiap bundar perbandingan dari keliling dan diameter selalu bernilai tetap yaitu mendekati 3,14. Nilai ini disebut sebagai Ï€ (dibaca “pi”). Sehingga berlaku :
Selanjutnya pada bundar berlaku pula perbandingan :
L = π r2
melaluiataubersamaini r yaitu panjang jari-jari lingkaran.
Panjang AP = BP = CP, sehingga ΔAPB dan ΔAPC sama kaki serta berlaku <BAP = <ABP dan <CAP = <ACP.
Karena jumlah sudut segitiga 1800 maka pada ΔAPB berlaku <BPA = 180o – 2<BAP dan ΔAPC berlaku <APC = 180o – 2<CAP .
Sehingga :
<BPC = 360o – <BPA – <APC
<BPC = 360o – (180o – 2<BAP) – (180o – 2<CAP)
<BPC = 2(<BAP + CAP)
<BPC = 2<BAC
Kaprikornus besar sudut sentra sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Dari sifat ini sanggup diturunkan sifat bahwa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, akan selalu sama besar.
Sebagai bukti akan diperlihatkan pada gambar diberikut :
<BPC = 2<BDC ………. (1)
<BPC = 2<BAC ………..(2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa
<BAC = <BDC
Garis singgung bundar yaitu garis yang memotong bundar sempurna di satu titik..
Garis singgung ini tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgungnya.
Selanjutnya akan didiberikan contoh-contoh soal wacana lingkaran, yakni sebagai diberikut:
Emoticon