Soal Dan Tanggapan Sbmptn Matematika Persamaan Kuadrat

1. Aka-akar persamaan kuadrat x² + 6x + c = 0 ialah x₁ dan x₂. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (x₁² + x₂²)x + 4 = 0 ialah u dan v. Jika u + v = -uv, maka x₁³.x₂ + x₁.x₂³ sama dengan .....
   

   A. -64	D. 32
   B. 4	E. 64
   C. 16

   
   Pembahasan :
   Untuk menjawaban soal di atas, langkah yang sanggup kita lakukan yaitu :
   

   • Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
   • Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
   • Menentukan nilai c pada persamaan kuadrat petama
   • Menyusun persamaan kuadrat pertama sehabis nilai c diperoleh
   • Menentukan nilai yang ditanya dalam soal

Langkah Pertama
Dari x² + 6x + c = 0,
Dik : a = 1 , b = 6, dan c = c.

Jumlah akar :
⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ^-6⁄₁
⇒ x₁ + x₂ = -6

Hasil kali akar :
⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
⇒ x₁.x₂ = ^c⁄₁
⇒ x₁.x₂ = c

Langkah Kedua 
Dari x² + (x₁² + x₂²)x + 4 = 0
Dik : a = 1 , b = (x₁² + x₂²), c = 4.

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^{-(x₁2 + x₂2)}⁄₁
⇒ u + v = -(x₁² + x₂²)

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ⁴⁄₁
⇒ u.v = 4

Langkah Ketiga
Dari soal diketahui bahwa :
⇒ u + v = -uv

melaluiataubersamaini nilai yang kita peroleh di langkah kedua, maka :
⇒ -(x₁² + x₂²) = -4
⇒ x₁² + x₂² = 4

Karena persamaan sudah dalam bentuk akar-akar persamaan kuadrat pertama, maka manfaatkan nilai jumlah dan hasil kali akar pada langkah pertama. Untuk itu kita perlu menjabarkan persamaan tersebut dan merubahnya sedemikian rupa supaya mengandung x₁ + x₂ dan x₁.x₂. Untuk teori penjabarannya, engkau sanggup baca artikel Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kudarat.

Jika dijabarkan, maka kita peroleh :
⇒ x₁² + x₂² = 4
⇒ (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = 4
⇒ (-6)² - 2(c) = 4
⇒ 36 - 2c = 4
⇒ -2c = 4 - 36
⇒ -2c = -32
⇒ c = 16

Langkah Keempat 
Karena nilai c sudah diperoleh, selanjutnya substitusi nilai tersebut ke persamaan kuadrat pertama yang ada pada soal sehingga bentuknya
⇒ x² + 6x + c = 0
⇒ x² + 6x + 16 = 0
Dik a = 1, b = 6, dan c = 16

Dari langkah pertama sudah kita peroleh :
⇒ x₁ + x₂ = -6 dan x₁.x₂ = c = 16

Langkah Kelima
Untuk mencari nilai yang ditanya kita harus menjabarkan bentuk tersebut supaya mengandung x₁ + x₂ dan x₁.x₂, sebagai diberikut :
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = x₁.x₂(x₁² + x₂²)
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = 16(4)
⇒ x₁³.x₂ + x₁.x₂³ = 64

Jawaban : E

2. Syarat supaya akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x² + 2px + p -1 = 0 bernilai negatif dan berlainan ialah ....

   p > 2 p < 0 atau p > 2⁄3 0 < p < 2⁄3 2⁄3 < p < 1 2⁄3 < p < 2

   
   Pembahasan :
   Dari (p - 2)x² + 2px + p -1 = 0
   Dik : a = p -2, b = 2p, c = p -1
   
   Syarat supaya akar-akar suatu persamaan kuadrat bernilai negatif dan berlainan ialah :
   

   • Diskriminan D > 0
   • Jumlah akar lebih kecil dari nol
   • Hasil kali akar lebih besar dari nol

   Untuk teori lebih lengkap, engkau sanggup membaca artikel Jenis dan Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat.

Syarat Pertama 
Agar akar berlainan, nilai diskriminan harus lebih besar dari nol.
⇒ D > 0
⇒ b² - 4ac > 0
⇒ (2p)² - 4(p - 2)(p - 1) > 0
⇒ 4p² - 4(p² - 3p + 2) > 0
⇒ 4p² - 4p² + 12p - 8 > 0
⇒ 12p - 8 > 0
⇒ p > ²⁄₃

Syarat Kedua
Jumlah akar persamaan kuadratnya harus lebih kecil dari nol alasannya ialah negatif tambah negatif jadinya negatif.
⇒ x₁ + x₂ < 0
⇒ ^-b⁄_a < 0

⇒	-2p	< 0
	(p - 2)

⇒ p < 0 atau p > 2

Syarat Ketiga
Hasil kali akar-akarnya harus lebih besar dari nol alasannya ialah negatif dikali negatif jadinya nyata atau lebih besar dari nol.
⇒ x₁.x₂ > 0
⇒ ^c⁄_a > 0

⇒	p - 1	> 0
	p - 2

⇒ p < 1 atau p > 2

Gabungan dari syarat pertama, kedua, dan ketiga ialah p > 2.

Jawaban : A