Soal Dan Pembahasan Integral Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode penyelesaian integral dengan mengubah bentuk fungsi menjadi lebih sederhana dalam bentuk variabel tertentu yang saling bekerjasama dan ditandai dengan adanya pemisalan. Metode substitusi dipakai sebab tidak tiruana fungsi sanggup diintegralkan dengan rumus dasar atau metode anti turunan sesuai dengan defenisinya. Walaupun tidak tiruana soal sanggup diselesaikan dengan metode substitusi, tetapi adanya metode ini sangat memmenolong menuntaskan soal-soal trigonometri yang cukup rumit.

Berikut proses mengintegralkan fungsi dengan metode substitusi :

1. Misalkan salah satu fungsi sebagai u.
2. Turunkan fungsi u terhadap x 
3. Bentuk relasi keduanya (a dx = n du)
4. Substitusi fungsi pemisalan ke bentuk integral awal
5. Sesudah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke bentuk awalnya.

misal Soal :

1. Tentukan hasil dari ∫ x√x² + 1 dx
   
   Pembahasan :
   Perhatikan bentuk ∫ x√x² + 1 dx, kita sanggup mengubahnya menjadi ∫ √x² + 1 x dx. Sekarang ada dua penggalan yaitu √x² + 1 dan x dx.
   
   Misalkan : u = x² + 1
   

   du	= 2x
   dx

   2x dx = du
   

   x dx	=	1	du
   		2

   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ √u ½du
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ ½√u du
   ∫ √x² + 1 x dx = ∫ ½(u)^½ du
   

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	½	u½+1	+ c
   			½ + 1

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	½	u3⁄2	+ c
   			3⁄2

   ∫	√x2 + 1 x dx	=	1	u3⁄2	+ c
   			3

   
   Selanjutnya kembalikan u ke bentuk awalnya :
   

   ∫	x √x2 + 1 dx	=	1	(x2 + 1)3⁄2	+ c
   			3

   
   
   
   
2. Tentukan hasil dari ∫ (2x − 1) (x² − x + 3)³ dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x² − x + 3
   

   du	= 2x − 1
   dx

   (2x −  1) dx = du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ (2x − 1)(x² − x + 3)³ dx = ∫ u³ du

   ∫	(2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx	=	1	u4	+ c
   			4

   ∫	(2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx	=	1	(x2 − x + 3)4	+ c
   			4

   
   
   
   
3. Tentukan hasil integral di bawah ini :

   ∫	2x + 3	dx
   	√3x2 + 9x − 1

   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = 3x² + 9x − 1
   

   du	= 6x + 9
   dx

   (6x + 9) dx = du
   3(2x + 3) dx = du 
   

   (2x + 3) dx	=	1	du
   		3

   
   Substitusi u ke dalam  integral :
   

   ∫	2x + 3	dx =	∫	⅓du
   	√3x2 + 9x − 1			u½

   ∫	2x + 3	dx =	∫	1	u-½	du
   	√3x2 + 9x − 1			3

   ∫	2x + 3	dx =	⅓	u½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		½

   ∫	2x + 3	dx =	2	u½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		3

   ∫	2x + 3	dx =	2	(3x2 + 9x − 1)½	+ c
   	√3x2 + 9x − 1		3

   
   
   
   
4. Tentukan hasil dari  ∫ 4x³ (x⁴ − 1)³ dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x⁴ − 1
   

   du	= 4x3
   dx

   4x³ dx = du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ 4x³ (x⁴ − 1)³ dx = ∫ u³ du
   

   ∫	4x3 (x4 − 1)3 dx	=	1	u4	+ c
   			4

   ∫	4x3 (x4 − 1)3 dx	=	1	(x4 − 1)4	+ c
   			4

   
   
   
   
5. Tentukan hasil dari  ∫ 12x (x² + 1)² dx.
   
   Pembahasan :
   Misalkan : u = x² + 1
   

   du	= 2x
   dx

   2x dx = du
   12x dx = 6 du
   
   Substitusi u dalam integral :
   ∫ 12x (x² + 1)² dx = ∫ u² 6du
   

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	=	6	u3	+ c
   			3

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	= 2 u3 + c

   ∫	12x (x2 + 1)2 dx	= 2(x2 + 1)3 + c