Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu bulat sanggup ditentukan dengan aneka macam cara, tergantung informasi-informasi apa yang kita ketahui dari garis singgung tersebut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik

Untuk sub potongan ini akan dibagi menjadi 2, yaitu persamaan garis singgung bulat yang melalui titik pada bulat dan persamaan garis singgung bulat yang melalui titik di luar lingkaran.

PGSL Melalui Titik pada Lingkaran

Persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x₁, y₁) yaitu $$\mathrm{\mathbf{\left ( x_{1}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{1}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}}}$$ dengan
(a, b) = sentra lingkaran
r = radius atau jari-jari lingkaran
(x₁, y₁) = titik singgung lingkaran

Persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x₁, y₁) yaitu $$\mathrm{\mathbf{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}}$$ dengan
r = radius atau jari-jari lingkaran
(x₁, y₁) = titik singgung lingkaran

misal 1
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=25}\) yang melalui titik (3, 4)

Jawab :
Dari soal diketahui
P(0, 0)
r² = 25
(x₁, y₁) = (3, 4)

Persamaan garis singgung
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 3x + 4y = 25 


misal 2
Persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) di titik (1, 4) adalah

Jawab :
Dari soal diketahui
P(a, b) ⇔ P(−2, 3)
r² = 10
(x₁, y₁) = (1, 4)

Persamaan garis singgung
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (1 + 2)(x + 2) + (4 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 3x + 6 + y − 3 = 10
⇔ y = −3x + 7

PGSL Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada dua garis singgung yang sanggup dibentuk dari titik yang berada diluar lingkaran. Untuk memilih kedua persamaan garis singgung tersebut, terlebih lampau tentukan titik-titik singgung sehingga garis singgung di titik tersebut juga melalui titik yang berada diluar lingkaran.

Ada beberapa cara untuk memilih titik-titik singgung tersebut, salah satunya yaitu dengan memakai menolongan garis polar atau kutub. Persamaan garis polar sanggup ditentukan dengan memakai rumus persamaan garis singgung sebelumnya dimana (x₁, y₁) yaitu titik yang berada diluar lingkaran.

Karena garis polar memotong bulat sempurna di titik-titik singgung, maka titik-titik singgung tersebut sanggup ditentukan dengan mensubstitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. Perhatikan pola diberikut!


misal 3
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=20}\) yang melalui titik (6, −2)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² = 20  ........................(1)

Persamaan garis polar untuk titik (6, −2)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 6x − 2y = 20
⇔ y = 3x − 10  .....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² = 20
⇔ x² + (3x − 10)² = 20
⇔ x² − 6x + 8 = 0
⇔ (x − 2)(x − 4) = 0
     x = 2 atau x = 4

Dari persamaan (2)
x = 2 ⇒ y = 3.2 − 10 = −4
x = 4 ⇒ y = 3.4 − 10 = 2

Diperoleh titik singgung (2, −4) dan (4, 2)

Persamaan garis singgung di titik (2, −4)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 2x − 4y = 20
⇔ x − 2y = 10

Persamaan garis singgung di titik (4, 2)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 4x + 2y = 20
⇔ 2x + y = 10


misal 4
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) yang melalui titik (2, 1)

Jawab :
Persamaan lingkaran
(x + 2)² + (y − 3)² = 10  .....................(1)
P(a, b) = (−2, 3)
r² = 10

Persamaan garis polar untuk titik (2, 1)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (2 + 2)(x + 2) + (1 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 4x + 8 − 2y + 6 = 10
⇔ y = 2x + 2  ......................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
(x + 2)² + (y − 3)² = 10
⇔ (x + 2)² + ((2x + 2) − 3)² = 10
⇔ x² + 4x + 4 + 4x² − 4x + 1 = 10
⇔ 5x² = 5
⇔ x² = 1
⇔ x = ±1

Dari persamaan (2)
x = −1 ⇒ y = 2(−1) + 2 = 0
x = 1   ⇒ y = 2(1) + 2 = 4

Diperoleh titik singgung (−1, 0) dan (1, 4)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 0)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (−1 + 2)(x + 2) + (0 − 3)(y − 3) = 10
⇔ x + 2 − 3y + 9 = 10
⇔ x − 3y = −1

Persamaan garis singgung di titik (1, 4)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (1 + 2)(x + 2) + (4 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 3x + 6 + y − 3 = 10
⇔ 3x + y = 7

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m yaitu $$\mathrm{\mathbf{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan
(a, b) = sentra lingkaran
r = jari-jari lingkaran
m = gradien garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m yaitu $$\mathrm{\mathbf{y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan
r = jari-jari lingkaran
m = gradien garis singgung lingkaran

misal 5
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=5}\), kalau gradien garis singgungnya 2

Jawab :
r = \(\sqrt{5}\)
m = 2

Persamaan garis singgung
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y = 2x ± \(\sqrt{5}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y = 2x ± 5

Diperoleh persamaan garis singgung
y = 2x + 5 atau y = 2x − 5


misal 6
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=8}\) kalau gradien garis singgungnya −1

Jawab :
(a, b) = (2, −1)
r = \(\sqrt{8}\)
m = −1

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y + 1 = −1(x − 2) ± \(\sqrt{8}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-1)^{2}}}\)
y + 1 = −x + 2 ± 4
y = −x + 1 ± 4

Diperoleh persamaan garis singgung
y = −x + 1 + 4 ⇔ y = −x + 5
y = −x + 1 − 4 ⇔ y = −x − 3

Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Latihan 1
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-4x+2y-13=0}\) di titik (5, −4)

Jawab :
Uji posisi titik (5, −4) terhadap lingkaran
x² + y² − 4x + 2y − 13 = 0
K = (5)² + (−4)² − 4(5) + 2(−4) − 13 = 0
K = 0 (titik terletak pada lingkaran)

A = −4
B = 2
C = −13

Pusat bulat (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (2, −1)

Kuadrat jari-jari
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 18

Titik singgung
(x₁, y₁) = (5, −4)

Persamaan garis singgung
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (5 − 2)(x − 2) + (−4 + 1)(y + 1) = 18
⇔ x − y = 9


Latihan 2
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+4x-2y-15=0}\) yang melalui titik (8, 1)

Jawab :
Uji posisi titik (8, 1) terhadap lingkaran
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0
K = (8)² + (1)² + 4(8) − 2(1) − 15 = 80
K > 0 (titik diluar lingkaran)

Persamaan lingkaran
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0  ...................(1)
A = 4
B = −2
C = −15

Pusat bulat (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−2, 1)

Kuadrat jari-jari
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 20

Persamaan garis polar untuk titik (8, 1)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (8 + 2)(x + 2) + (1 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x = 0  ................................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0
⇔ (0)² + y² + 4(0) − 2y − 15 = 0
⇔ y² − 2y − 15 = 0
⇔ (y + 3)(y − 5) = 0
     y = −3 atau y = 5

Diperoleh titik singgung (0, −3) dan (0, 5)

Persamaan garis singgung di titik (0, −3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (0 + 2)(x + 2) + (−3 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x − 2y = 6

Persamaan garis singgung di titik (0, 5)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (0 + 2)(x + 2) + (5 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x + 2y = 10


Latihan 3
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+8x+2y-23=0}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{3x+y=6}\)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² + 8x + 2y − 23 = 0
A = 8
B = 2
C = −23

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−4, −1)

Jari-jari bulat (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{40}\)

Misalkan garis h : 3x + y = 6
⇒ m_h = −3

Misalkan g yaitu garis singgung lingkaran.
Karena g || h maka
m_g = m_h = −3

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y + 1 = −3(x + 4) ± \(\sqrt{40}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-3)^{2}}}\)
⇔ y + 1 = −3x − 12 ± 20
⇔ y = −3x − 13 ± 20

Diperoleh persamaan garis singgung
 y = −3x − 13 + 20 ⇔  y = −3x + 7
 y = −3x − 13 − 20 ⇔  y = −3x − 33


Latihan 4
Tentukan persamaan garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-2x-6y-35=0}\) yang tegak lurus terhadap garis \(\mathrm{x+2y=4}\)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² − 2x − 6y − 35 = 0
A = −2
B = −6
C = −35

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (1, 3)

Jari-jari bulat (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{45}\)

Misalkan garis h : x + 2y = 4
⇒ m_h = \(-\frac{1}{2}\)

Misalkan g adalah garis singgung lingkaran.
Karena g ⊥ h maka
m_g . m_h = −1
m_g . \(-\frac{1}{2}\) = −1
⇒ m_g = 2

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y − 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{45}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(2)^{2}}}\)
⇔ y − 3 = 2x − 2 ± 15
⇔ y = 2x + 1 ± 15

Diperoleh persamaan garis singgung
y = 2x + 1 + 15 ⇔ y = 2x + 16
y = 2x + 1 − 15 ⇔ y = 2x − 14


Latihan 5
Garis singgung bulat \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-18=0}\) membentuk sudut 60° terhadap sumbu-x positif. Jika salah satu garis singgung bulat memotong sumbu-x konkret di titik A, tentukan koordinat titik A tersebut

Jawab :

Persamaan lingkaran
x² + y² − 6x − 18 = 0
A = −6
B = 0
C = −18

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = P(3, 0)

Jari-jari bulat (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{27}\)

Gradien garis singgung (m)
m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)

Persamaan garis singgung lingkaran
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y − 0 = \(\sqrt{3}\)(x − 3) ± \(\sqrt{27}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}\)
⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) ± 6\(\sqrt{3}\)

Diperoleh persamaan garis singgung
y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) + 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\)

y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) − 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\)

Titik potong sumbu-x
y = 0
⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\)
⇔ \(\sqrt{3}\)x = −3\(\sqrt{3}\)
⇔ x = −3

y = 0
⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\)
⇔ \(\sqrt{3}\)x = 9\(\sqrt{3}\)
⇔ x = 9

Diperoleh titik potong sumbu-x
(−3, 0) dan (9, 0)

Diantara kedua titik potong tersebut yang memotong sumbu-x konkret yaitu A(9, 0)