Pembahasan Soal Un Fungsi Kuadrat

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Sekolah Menengan Atas bidang studi Matematika IPA untuk bahan pembahasan  Fungsi Kuadrat yang mencakup grafik fungsi kuadrat dan menyusun fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat
D > 0 : grafik memotong sumbu-x di dua titik
D = 0 : grafik menyinggung sumbu-x
D < 0 ; grafik tidak memotong sumbu-x
dengan D = b² − 4ac

Definit konkret : a > 0 dan D < 0
Definit negatif : a < 0 dan D < 0

Menyusun Fungsi Kuadrat

1. Diketahui titik puncak (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}}$$
2. Memotong sumbu-x di (x₁, 0 ) dan (x₂, 0 ) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$$
3. Grafik melalui tiga titik. $$\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}$$

1.  UN 2008
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah...
A.  y = x² − 2x + 1
B.  y = x² − 2x + 3
C.  y = x² − 2x − 1
D.  y = x² + 2x + 1
E.  y = x² − 2x − 3

Pembahasan :
Diketahui titik balik (x_p, y_p) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − x_p)² + y_p
3 = a(2 − 1)² + 2
3 = a + 2
⇒ a = 1

y = 1 (x − 1)² + 2
y = x² − 2x + 1 + 2
y = x² − 2x + 3

Jawaban : B


2.  UN 2009
Jika m > 0 dan grafik f(x) = x² − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = ...
A.  −6
B.  −2
C.  6
D.  2
E.  8

Pembahasan :
Misalkan :
y₁ = x² − mx + 5
y₂ = 2x + 1

y₁ = y₂
x² − mx + 5 = 2x + 1
x² − mx − 2x + 5 − 1 = 0
x² − (m + 2)x + 4 = 0

a = 1
b = −(m + 2)
c = 4

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b² − 4ac = 0
(−(m + 2))² − 4 (1) (4) = 0
m² + 4m + 4 − 16 = 0

m² + 4m − 12 = 0

(m + 6)(m − 2) = 0

m = −6 atau m = 2

Karena m > 0, maka m = 2

Jawaban : D


3.  UN 2010
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah...
A.  −4
B.  −3
C.  0
D.  3
E.  4

Pembahasan :
Misalkan :
y₁ = x² + bx + 4
y₂ = 3x + 4

y₁ = y₂
x² + bx + 4 = 3x + 4
x² + bx − 3x = 0
x² + (b − 3)x = 0

a = 1
b = b − 3
c = 0

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b² − 4ac = 0
(b − 3)² − 4(1)(0) = 0
(b − 3)² = 0
b = 3

Jawaban : D


4.  UN 2011
Grafik y = px² + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
A.  p < −2 atau p > \(-\frac{2}{5}\)
B.  p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2
C.  p < 2 atau p > 10
D.  \(\frac{2}{5}\) < p < 2
E.  2 < p < 10

Pembahasan :
a = p
b = p + 2
c = −p + 4

Parabola memotong sumbu-x di dua titik :
D > 0
b² − 4ac > 0
(p + 2)² − 4(p)(−p + 4) > 0
p² + 4p + 4 + 4p² − 16p > 0
5p² − 12p + 4 > 0

Pembuat nol :
5p² − 12p + 4 = 0
(5p − 2)(p − 2) = 0
p = \(\frac{2}{5}\) atau p = 2

Pertidaksamaan bertanda ">", maka :
HP = {p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2}

Jawaban : B


5.  UN 2013
Nilai m yang menjadikan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x² − 2mx + m − 3 definit negatif adalah...
A.  m < \(-\frac{3}{2}\)
B.  m < −1
C.  m > \(\frac{3}{2}\)
D.  m > 1
E.  1 < m < \(\frac{3}{2}\)

Pembahasan :
a = m + 1
b = −2m
c = m − 3

Syarat definit negatif :
a < 0
m + 1 < 0
m < −1 .......................(1)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−2m)² − 4(m + 1)(m − 3) < 0
4m² − 4(m² − 2m − 3) < 0
4m² − 4m² + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0
8m < −12
2m < −3
m < \(-\frac{3}{2}\) .......................(2)

Irisan (1) dan (2) :
m < \(-\frac{3}{2}\)

Jawaban : A


6.  UN 2013
Fungsi f(x) = 2x² − ax + 2 akan menjadi fungsi definit konkret jikalau nilai a berada pada interval...
A.  a > −4
B.  a > 4
C.  −4 < a < 4
D.  4 < a < 6
E.  −6 < a < 4

Pembahasan :
a = 2
b = −a
c = 2

Syarat definit konkret :
a > 0
2 > 0 (memenuhi)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−a)² − 4(2)(2) < 0
a² − 16 < 0

Pembuat nol :
a² − 16 = 0
(a + 4)(a − 4) = 0
a = −4 atau a = 4

Pertidaksamaan bertanda "<", maka :
HP = {−4 < a < 4}

Jawaban : C


7.  UN 2016
Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x² − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah...
A.  a < 2
B.  a > −2
C.  a < −1
D.  a < −2
E.  a > 1

Pembahasan :
a = a + 1
b = −2a
c = a − 2

Syarat definit negatif :
a < 0
a + 1 < 0
a < −1 ................................(1)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−2a)² − 4(a + 1)(a − 2) < 0
4a² − 4(a² − a  − 2) < 0
4a² − 4a² + 4a  + 8 < 0
4a  + 8 < 0
4a < −8
a < −2 ..................................(2)

Irisan (1) dan (2) :
a < −2

Jawaban : D


8.  UN 2017
Jika grafik fungsi y = 2x² + (p - 1)x + 2 menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi yaitu ...
A.   p = 5 atau p = 2
B.   p = -5 atau p = 2
C.   p = 5 atau p = 3
D.   p = -5 atau p = 3
E.   p = 5 atau p = -3

Pembahasan :
Dari grafik fungsi diatas diperoleh :
a = 2,  b = p - 1  dan  c = 2

Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.
b² − 4ac = 0
(p - 1)² − 4(2)(2) = 0
p² − 2p + 1 - 16 = 0

p² − 2p - 15 = 0

(p - 5)(p + 3) = 0

p = 5  atau  p = -3

Jawaban : E