Menentukan Jumlah N Suku Pertama Aritmatika Kalau Suku Ke-N Tidak Diketahui

.com - Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika. Jumlah n suku pertama menyatakan penjumlahan sebanyak n suku pertama dalam suatu barisan atau deret aritmatika. Jumlah n suku pertama umumnya disimbolkan dengan karakter (Sn) dimana S menyatakan jumlah dan n menyatakan banyak suku yang dijumlahkan. Pada artikel sebelumnya wacana deret artimatika, edutafsi sudah mengulas bagaimana cara menurunkan rumus untuk memilih jumlah n suku pertama pada deret aritmatika. Namun rumus tersebut spesialuntuk sanggup digunakan kalau suku pertama dan suku terakhirnya diketahui. Lalu bagaimana kalau suku terakhir dalam deret tersebut tidak diketahui? Bagaimana cara memilih jumlahnya?

Katakanlah di dalam sebuah soal didiberikan deret aritmatika dimana beberapa sukunya diketahui. Deret tersebut terdiri dari seratus suku dan spesialuntuk beberapa suku saja yang disebutkan sedangkan suku-suku lainnya tidak diketahui termasuk suku ke-100. Jika anda diminta memilih jumlah 100 suku pertama, maka bagaimana cara menentukannya?

Untuk kondisi ibarat itu, kita sanggup memanfaatkan kembali sifat-sifat yang berlaku dalam barisan aritmatika. Kita tahu bahwa suku ke-n dalam suatu barisan aritmatika sanggup ditentukan kalau beberapa suku dalam barisan tersebut diketahui. Ada banyak kondisi dan cara yang sanggup digunakan.

Itu artinya, kalau suku ke-n barisan tersebut sanggup kita tentukan menurut nilai suku-suku yang diketahui, maka suku ke-100 juga sanggup diketahui dengan memakai cara yang sesuai bergantung pada situasi dalam soal. Untuk itu, perlu kita ingat kembali bagaimana kekerabatan Un dengan suku lainnya.

A. Rumus Sn Jika a dan Un Diketahui

Jika suku pertama (U₁ atau a) dan suku terkahir (Un) dalam suatu barisan atau deret aritmatika diketahui, maka jumlah n suku pertama sanggup dihitung memakai rumus diberikut :

Sn = n (U1 + Un) 2

Perhatikan bahwa Un di sini tidak selalu menyatakan suku terakhir melainkan suku ke-n dari deret tersebut. Nilai n bergantung pada soal yang ditanya. Misal diketahui deret aritmatika terdiri dari 20 suku (suku terakhir suku ke-20) dan anda diminta memilih jumlah 5 suku pertama, maka nilai n yang digunakan ialah 5 dan Un dalam rumus ialah U₅ bukan U₂₀.

misal :
Suku pertama dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika ialah 20 dan 155. Tentukanlah jumlah sepuluh suku pertama barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : n = 10, a = 20, U₁₀ = 155
Dit : S₁₀ = .... ?

Berdasarkan rumus :
⇒ S_n = n/2 (a + Un)
⇒ S₁₀ = 10/2 (20 + 155)
⇒ S₁₀ = 5(175)
⇒ S₁₀ = 875

Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut ialah 875.

B. Rumus Sn Jika Un Tidak Diketahui

Jika suku ke-n pada deret atau barisan aritmatika tidak diketahui, maka prinsipnya kita harus memilih suku ke-n terlebih lampau. Namun kita sanggup memanipulasi rumus Sn di atas biar sanggup digunakan untuk situasi ketika suku ke-n tidak diketahui.

Pada rumus di atas sanggup kita lihat ada bemasukan Un yang menyatakan suku ke-n deret aritmatika. Jika suku tersebut tidak diketahui, maka kita sanggup menentukannya menurut hubungannya dengan suku pertama dan beda barisan.

Seperti yang sudah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, kekerabatan suku ke-n, suku pertama dan beda barisan sanggup ditulis sebagai diberikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b

Nah, kalau persamaan di atas kita substitusi ke rumus Sn yang pertama, maka akan kita peroleh bentuk lain dari rumus tersebut sebagai diberikut :
⇒ S_n = ⁿ/₂ (a + Un)
⇒ S_n = ⁿ/₂ [a + {a + (n - 1)b}]
⇒ S_n = ⁿ/₂ {a + a + (n - 1)b}
⇒ S_n = ⁿ/₂ {2a + (n - 1)b}

melaluiataubersamaini demikian, kalau suku ke-n tidak diketahui (tapi a dan b diketahui), maka jumlah n suku pertama dpat ditentukan dengan rumus diberikut :

Sn = n {2a + (n - 1)b} 2

melaluiataubersamaini Sn menyatakan jumlah n suku pertama, n menyatakan banyak suku yang ditanya (n = 1, 2, 3, ...), a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan.

misal :
Diketahui barisan aritmatika : 4, 10, 16, 22, ...., Un. Tentukanlah jumlah 100 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut!

Pembahasan :
Dik : n = 100, a = 4, b = 10 - 4 = 16 - 10 = 6
Dit : S₁₀₀ = ... ?

Berdasarkan rumus :
⇒ S_n = ⁿ/₂ {2a + (n - 1)b}
⇒ S₁₀₀ = ¹⁰⁰/₂ {2.4 + (100 - 1)6}
⇒ S₁₀₀ = 50 (8 + 594)
⇒ S₁₀₀ = 50 (602)
⇒ S₁₀₀ = 30.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut ialah 30.100.