Pembahasan Soal Un Aplikasi Turunan

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Sekolah Menengan Atas bidang studi matematika IPA perihal Aplikasi Turunan dalam pemecahan duduk kasus yang berkaitan dengan maksimum dan minimum.


1.  UN 2005

Kawat sepanjang 120 m akan dibentuk kerangka menyerupai pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah...

A. 16 m

B.  18 m

C.  20 m

D.  22 m

E.  24 m

Pembahasan :
Persamaan kerangka :
3p + 4l = 120
4l = 120 − 3p
l = 30 − \(\frac{3}{4}\)p

Persamaan luas :
L = p × 2l
L = p × 2 (30 − \(\frac{3}{4}\)p)

L = 60p − \(\frac{3}{2}\)p²

Luas akan maksimum jikalau :
L' = 0
60 − 3p = 0
⇒ p = 20

Jadi, panjang kerangka biar luas maksimum yakni 20 m.

Jawaban : C

2.  UN 2005
Suatu perusahaan menghasilkan produk yang sanggup diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam \(\mathrm{\left ( 4x-800+\frac{120}{x} \right )}\) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut sanggup diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + \(\mathrm{\frac{120}{x}}\)
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + \(\mathrm{\frac{120}{x}}\))x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jikalau :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diharapkan biar biaya minimum yakni 100 jam.

Jawaban : C


3.  UN 2005
Persamaan gerak suatu partikel ditetapkan dengan rumus \(\mathrm{x=f(t)=\sqrt{3t+1}}\) (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada ketika t = 8 detik adalah...
A.  \(\frac{3}{10}\) m/detik
B.  \(\frac{3}{5}\) m/detik
C.  \(\frac{3}{2}\) m/detik

D.  3 m/detik
E.  5 m/detik

Pembahasan :
f(t) = \(\mathrm{\sqrt{3t+1}}\)
⇒ f '(t) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\)

v(t) = \(\mathrm{\frac{df}{dt}}\)
v(t) = f '(t) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\)

v(8) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3.8+1}}}\)
v(8) = \(\frac{3}{10}\)

Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 yakni \(\frac{3}{10}\) m/detik

Jawaban : A

4.  UN 2006
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru sehabis t detik ditetapkan dengan fungsi \(\mathrm{h(t)=100+40t-4t^{2}}\). Tinggi masksimum yang sanggup dicapai peluru tersebut adalah...
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m

Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jikalau :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada ketika t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

Jawaban : B


5.  UN 2006
Suatu pekerjaan sanggup diselesaikan  dalam x hari dengan biaya \(\mathrm{4x-160+\frac{2000}{x}}\) ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah...
A.  Rp 200.000,00
B.  Rp 400.000,00
C.  Rp 560.000,00
D.  Rp 600.000,00
E.  Rp 800.000,00

Pembahasan :
Biaya per hari : \(\mathrm{\left (4x-160+\frac{2000}{x}  \right )}\)

Biaya x hari :
B(x) = \(\mathrm{\left (4x-160+\frac{2000}{x}  \right )}\)x
B(x) = 4x² − 160x + 2000

Biaya akan minimum jikalau :
B'(x) = 0
8x − 160 = 0
⇒ x = 20

Jadi, biaya akan minimum jikalau pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari
= 4x − 160 + \(\mathrm{\frac{2000}{x}}\)
= 4(20) − 160 + \(\frac{2000}{20}\)
= 20  (ribuan rupiah)

Jawaban : -


6.  UN 2006
Luas permukaan balok dengan ganjal persegi yakni 150 cm². Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang ganjal balok adalah...
A.  3 cm
B.  5 cm
C.  6 cm
D.  15 cm
E.  25 cm

Pembahasan :
Karena ganjal berbentuk persegi maka p = l

L = 150
2(pl + pt + lt) = 150
pl + pt + lt = 75
p² + pt + pt = 75  (p = l)
2pt = 75 − p²
t = \(\mathrm{\frac{75-p^{2}}{2p}}\)

V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
V = p²\(\mathrm{\left (\frac{75-p^{2}}{2p}  \right )}\)
V = \(\frac{75}{2}\)p − \(\frac{1}{2}\)p³

Volume akan maksimum, jikalau :
V' = 0
\(\frac{75}{2}\) − \(\frac{3}{2}\)p² = 0
75 − 3p² = 0
⇒ p = 5

Jadi, volume akan maksimum jikalau panjang balok 5 cm.

Jawaban : B


7.  UN 2007
Perhatikan gambar !

Luas kawasan yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jikalau koordinat titik M adalah...
A.  (2, 5)
B.  (2, \(\frac{5}{2}\))
C.  (2, \(\frac{2}{5}\))
D.  (\(\frac{5}{2}\), 2)
E.  (\(\frac{2}{5}\), 2)

Pembahasan :
Teknik I
Persamaan garis yang memotong sumbu-x di (4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 5) yakni :
5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20

4y = 20 − 5x
y = 5 − \(\frac{5}{4}\)x

L = x . y
L = x\(\mathrm{\left ( 5-\frac{5}{4}x \right )}\)
L = 5x − \(\frac{5}{4}\)x²

Luas akan maksimum, jikalau :
L' = 0
5 − \(\frac{5}{2}\)x = 0
⇒ x = 2

5x + 4y = 20
5(2) + 4y = 20
⇒ y = \(\frac{5}{2}\)

M = (2, \(\frac{5}{2}\))

Teknik II
Sebuah garis dengan
titik potong sumbu-x : (a, 0)
titik potong sumbu-y : (0, b)
M(x, y) terletak pada garis
|xy| akan maksimum jikalau M\(\mathrm{\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )}\)

a = 4 dan b = 5
M\(\mathrm{\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )}\)
M(2, \(\frac{5}{2}\))

Jawaban : B


8.  UN 2008
Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m² terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diharapkan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah...
A.  2 m, 1 m, 2 m
B.  2 m, 2 m, 1 m
C.  1 m, 2 m, 2 m
D.  4 m, 1 m, 1 m
E.  1 m, 1 m, 4 m

Pembahasan :
Karena ganjal berbentuk persegi, maka p = l

Volume kotak :
V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
4 = p²t
t = \(\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\)

Luas kotak tanpa tutup :
L = pl + 2pt + 2lt
L = p² + 2pt + 2pt  (p = l)
L = p² + 4pt
L = p² + 4p\(\mathrm{\left (\frac{4}{p^{2}}  \right )}\)
L = p² + \(\mathrm{\frac{16}{p}}\)

Luas akan maksimum jikalau :
L' = 0
2p − \(\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\) = 0
2p = \(\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\)
p³ = 8
⇒ p = 2
⇒ l = 2

t = \(\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\) = \(\mathrm{\frac{4}{2^{2}}}\)
⇒ t = 1

Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut yakni 2 m, 2 m, 1 m.

Jawaban : B


9.  UN 2009
Jumlah bilangan nyata x dan y yakni 18. Nilai maksimum xy adalah...
A.  100
B.  81
C.  80
D.  70
E.  72

Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x

Misalkan :
L = xy
L = x (18 − x)
L = 18x − x²

L akan maksimum jikalau :
L' = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9

x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9

Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81

Jawaban : B


10.  UN 2009
Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam sehabis disemprotkan ditetapkan dengan rumus \(\mathrm{f(t)=15t^{2}-t^{3}}\). Reaksi maksimum tercapai sesudah...
A.  3 jam
B.  5 jam
C.  10 jam
D.  15 jam
E.  30 jam

Pembahasan :
Fungsi reaksi :
f(t) = 15t² − t³

Reaksi akan maksimum jikalau :
f '(t) = 0
30t − 3t² = 0
3t (10 − t) = 0
t = 0 atau t = 10

Jadi, reaksi maksimum tercapai sehabis 10 jam.

Jawaban : C 


11.  UN 2010
Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibentuk kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) biar volume maksimum berturut-turut adalah...
A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jikalau :
V' = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = \(\frac{10}{3}\) atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jikalau panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

Jawaban : E


12.  UN 2011
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar \(\mathrm{\left (9.000+1.000x+10x^{2}  \right )}\) rupiah. Jika tiruana hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka keuntungan maksimum yang sanggup diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jikalau :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, keuntungan akan maksimum jikalau perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan keuntungan maksimumnya yakni :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C


13.  UN 2012
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya \(\mathrm{\left ( 5x^{2}-10x+30 \right )}\) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jikalau :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = \(\frac{3}{2}\) atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jikalau perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya yakni :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D


14.  UN 2013
Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling \(\mathrm{\left ( 2x+24 \right )}\) m dan lebar \(\mathrm{\left ( 8-x \right )}\). Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jikalau :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman biar luas maksimum yakni 10 m.

Jawaban : C


15.  UN 2013
Dua bilangan m dan n memenuhi relasi 2m − n = 40. Nilai minimum dari \(\mathrm{p=m^{2}+n^{2}}\) adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jikalau :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A


16.  UN 2015
Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia memakai pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola sehabis ditiup adalah...
A.  \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{\pi }}}\) cm
B.  \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\) cm
C.  \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{\pi }}}\) cm
D.  \(\mathrm{\frac{2}{3\sqrt{\pi }}}\) cm
E.  \(\pi\) cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :
\(\mathrm{\frac{dV}{dt}}\) = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
\(\mathrm{\frac{dr}{dt}}\) = 20

Volume bola :
V = \(\frac{4}{3}\)πr³
\(\mathrm{\frac{dV}{dr}}\) = 4πr²

melaluiataubersamaini hukum rantai :
\(\mathrm{\frac{dV}{dt}}\) = \(\mathrm{\frac{dV}{dr}}\) × \(\mathrm{\frac{dr}{dt}}\)
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = \(\frac{1}{2\pi }\)
r = \(\sqrt{\frac{1}{2\pi }}\)
r = \(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\)

Jawaban : B

17.  UN 2016

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan memakai kawat berduri menyerupai pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar yakni yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang sanggup dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar yakni (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, alasannya kawat yang dipakai 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jikalau :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Kaprikornus luas maksimum yakni 5000 m²

Jawaban : D


18.  UN 2017
Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari sangkar berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik menyerupai diperlihatkan pada gambar diberikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum sangkar yakni ...
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang sangkar p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang dipakai untuk memagari sangkar :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas sangkar :
L = pl   
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jikalau L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)²
L = 800 - 400
L = 400

Jawaban : B


19.  UN 2017
Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis sanggup memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jikalau jari-jari tabung sama dengan ...
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = \(\frac{27}{r^{2}}\)

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr(\(\frac{27}{r^{2}}\))
L = πr² + \(\frac{54 \pi}{r}\)

Turunan pertama L terhadap r :
L' = 2πr - \(\frac{54 \pi}{r^{2}}\) 

Luas akan minimum jikalau L' = 0
2πr - \(\frac{54 \pi}{r^{2}}\) = 0  (kali r²)
2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E


20.  UN 2017
Sebuah akuarium tanpa tutup mempunyai ganjal berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium yakni 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut yakni ...
A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :
\(\frac{p}{l}\) = \(\frac{2}{3}\)→   p = \(\frac{2}{3}\)l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
(\(\frac{2}{3}\)l)l + 2(\(\frac{2}{3}\)l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l²
t = \(\frac{540}{l}\) - \(\frac{1}{5}\)l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = \(\frac{2}{3}\)l . l . (\(\frac{540}{l}\) - \(\frac{1}{5}\)l)
V = 360l - \(\frac{2}{15}\)l³

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - \(\frac{6}{15}\)l²

Volume akan maksimum jikalau V' = 0
360 - \(\frac{6}{15}\)l² = 0
360 = \(\frac{6}{15}\)l²
l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - \(\frac{2}{15}\)(30)³
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200

Jawaban : D