Contoh Soal Dan Pembahasan Barisan Aritmatika Dengan Konsep Turunan

.com - Kumpulan soal dan pembahasan wacana cara memilih suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan memakai konsep turunan. Pada pembahasan wacana deret aritmatika, sudah dijelaskan bahwa rumus jumlah n suku pertama sanggup diubah ke dalam bentuk fungsi kuadrat, dan dengan konsep turunan, kita sanggup memilih suku ke-n dan beda deret tersebut menurut fungsi kuadrat yang diketahui. Pada peluang ini, edutafsi akan mengulas beberapa model soal yang bekerjasama dengan penerapan konsep turunan dalam barisan atau deret aritmatika. melaluiataubersamaini model soal ini dibutuhkan sanggup memmenolong anakdidik untuk lebih memahami konsep barisan dan deret aritmatika serta memperkaya model soal mereka.

misal 1 : Hubungan Sn dan Un

Secara umum, rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup ditetapkan dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu Sn = An² + Bn. Berdasarkan rumus tersebut, maka rumus suku ke-n deret itu yaitu ....
A. Un = 2An + (B - A)
B. Un = 2An + (A - B)
C. Un = 2An + (B + A)
D. Un = An + (B - A)
E. Un = An + (A - B)

Pembahasan :
Dik : Sn = An² + Bn
Dit : n = ....?

Hubungan antara rumus jumlah n suku pertama (Sn) dengan rumus suku ke-n (Un) suatu deret aritmatika yaitu sebagai diberikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.A n^2-1 + 1.B n^1-1
⇒ Sn' = 2An + B

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.2A n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 2A

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2An + B - A
⇒ Un = 2An + (B - A)

Jadi, rumus suku ke-n sanggup ditetapkan dengan Un = 2An + (B - A).

Jawaban : A

misal 2 : Menentukan Beda Barisan

Jika Sn = 5n² + 7n menyatakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, maka selisih antara setiap dua suku yang berdekatan dalam deret tersebut yaitu ....
A. b = 13
B. b = 10
C. b = 7
D. b = 5
E. b = 3

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : b = .... ?

melaluiataubersamaini memakai konsep turunan, kita sanggup memilih beda suatu deret menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Beda deret aritmatika sama dengan turunan kedua dari Sn atau sanggup ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

melaluiataubersamaini demikian, diperoleh beda :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Jadi, beda barisan aritmatika tersebut yaitu 10.

Jawaban : B

misal 3 : Menentukan Suku ke-n Deret Aritmatika

Jumlah total sebuah deret aritmatika yang terdiri dari n suku ditetapkan dengan Sn = 2n² + 5n. Suku ketiga dan suku keenam deret tersebut berturut-turut yaitu ....
A. 35 dan 25
B. 15 dan 25
C. 25 dan 15
D. 15 dan 45
E. 15 dan 30

Pembahasan :
Dik : Sn = 2n² + 5n
Dit : U₃ dan U₆ = .... ?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.2 n^2-1 + 1.5 n^1-1
⇒ Sn' = 4n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.4 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 4

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 4n + 5 - ½(4)
⇒ Un = 4n + 5 - 2
⇒ Un = 4n + 3

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₃ = 4.3 + 3
⇒ U₃ = 12 + 3
⇒ U₃ = 15

Suku ketiga, substitusi n = 3 :
⇒ Un = 4n + 3
⇒ U₆ = 4.6 + 3
⇒ U₆ = 24 + 3
⇒ U₆ = 25

Jadi, suku ketiga dan suku keenam deret teresebut yaitu 15 dan 25.

Jawaban : B

misal 4 : Menentukan Jumlah Suku Pertama dan Beda

Jumlah n suku pertama deret aritmatika yaitu Sn = 5n² + 7n. Jika a yaitu suku pertama dan b yaitu beda, maka nilai a + b sama dengan ....
A. a + b = 22
B. a + b = 20
C. a + b = 18
D. a + b = 16
E. a + b = 15

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 7n
Dit : a + b = ...?

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.5 n^2-1 + 1.7 n^1-1
⇒ Sn' = 10n + 7

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.10 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 10

Beda deret tersebut :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 10

Suku pertama :
⇒ a = S1
⇒ a = 5(1)² + 7(1)
⇒ a = 5 + 7
⇒ a = 12

melaluiataubersamaini demikian, diperoleh penjumlahan :
⇒ a + b = 12 + 10
⇒ a + b = 22.

Jawaban : A

misal 5 : Menentukan Rumus Suku ke-n

Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditetapkan dengan Sn = 4n² + 3n, maka rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut yaitu ....
A. Un = 8n - 1
B. Un = 8n - 2
C. Un = 8n + 1
D. Un = 8n + 2
E. Un = 10n - 1

Pembahasan :
Dik : Sn = 4n² + 3n
Dit : Un = .... ?

Berdasarkan konsep deret aritmatika dan penerapan turunan, relasi antara jumlah n suku pertama dan suku ke-n suatu deret yaitu sebagai diberikut :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''

Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 2.4 n^2-1 + 1.3 n^1-1
⇒ Sn' = 8n + 3

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 1.8 n^1-1  + 0
⇒ Sn'' = 8

Rumus suku ke-n diperoleh :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 8n + 3 - ½(8)
⇒ Un = 8n + 3 - 4
⇒ Un = 8n - 1

Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut yaitu Un = 8n - 1.

Jawaban : A